2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Стереометрия; сфера, пересеченная плоскостями
Сообщение12.02.2016, 19:34 
Аватара пользователя


04/10/15
271
Здравствуйте, уважаемые форумчане!
Есть задача: Через центр сферы проведены несколько плоскостей. Окружности, по которым эти плоскости пересекают сферу, пересекаются в 22 различных точках, причем в 12 из этих точек пересекаются по две окружности, а в остальных 10 точках — по три. Сколько плоскостей было проведено?
Как можно перефразировать задачу, чтобы четче представить ситуацию в голове/на бумаге?

 Профиль  
                  
 
 Re: Стереометрия; сфера, пересеченная плоскостями
Сообщение12.02.2016, 19:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13371
Москва
Это стандартная задача на "малые шевеления". Малым шевелением ситуация приводится к "общему положению", в котором все тривиально считается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Стереометрия; сфера, пересеченная плоскостями
Сообщение14.02.2016, 03:35 
Аватара пользователя


04/10/15
271
Brukvalub в сообщении #1098896 писал(а):
Это стандартная задача на "малые шевеления". Малым шевелением ситуация приводится к "общему положению", в котором все тривиально считается.

Нашёл в своей библиотеке книгу: Канель-Белов, Ковальджи. Как решают нестандартные задачи. Собственно, оттуда и узнал о "малых шевелениях", но всё равно не понял, что нужно "шевелить" в этой задаче, точнее: откуда "шевелить", что взять за отправную точку. Еще немного затрудняет восприятие то, что в книге в примерах нужно было что-то доказать, а тут найти.

 Профиль  
                  
 
 Re: Стереометрия; сфера, пересеченная плоскостями
Сообщение14.02.2016, 09:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13371
Москва
Шевелить нужно плоскости, причем так, чтобы каждая тройная точка распалась на ... двойных.

 Профиль  
                  
 
 Re: Стереометрия; сфера, пересеченная плоскостями
Сообщение14.02.2016, 16:53 
Аватара пользователя


04/10/15
271
Brukvalub в сообщении #1099222 писал(а):
Шевелить нужно плоскости, причем так, чтобы каждая тройная точка распалась на ... двойных.

Так.. Судя по моему рисунку: если есть $3$ плоскости (окружности, нарисованные черным чернилами), которые пересекаются в двух тройных точках (я правильно понимаю, что факт прохождения плоскостями центра сферы обеспечивает $2$ тройные точки в силу симметрии?) и одну плоскость мы двигаем (красная пунктирная линия), то появятся $4$ новых двойных точки и $2$, что были тройными, то есть на случай $k$ окружностей при "шевелении" одной будут появляться $2(k-1)$ новых двойных?
Но сдаётся мне, что чего-то я решительно не понимаю..
off: рисунок

(Оффтоп)

Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Стереометрия; сфера, пересеченная плоскостями
Сообщение14.02.2016, 17:08 
Заслуженный участник


23/07/08
8156
Харьков
При шевелении плоскости каждая тройная точка, в которой эта плоскость «участвовала», разрушается, а вместо неё появляются три двойных точки. Вы это нарисовали.

Потрясём Вашу конструкцию. Тройных точек больше не будет, все они разлипнутся. А сколько теперь всего будет двойных?

 Профиль  
                  
 
 Re: Стереометрия; сфера, пересеченная плоскостями
Сообщение14.02.2016, 18:15 
Аватара пользователя


04/10/15
271
svv в сообщении #1099310 писал(а):
Потрясём Вашу конструкцию. Тройных точек больше не будет, все они разлипнутся. А сколько теперь всего будет двойных?

Было $10$ тройных точек, трясем конструкцию и, насколько я понимаю, должно получиться $30$ новых двойных точек (но разве не $60$ новых, ведь диаметрально противоположные тройные точки тоже разрушатся?). Если появилось $30$ новых двойных точек, то всего их станет $42$, поскольку $12$ уже было.
Это так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Стереометрия; сфера, пересеченная плоскостями
Сообщение14.02.2016, 18:55 
Заслуженный участник


23/07/08
8156
Харьков
iou в сообщении #1099331 писал(а):
но разве не $60$ новых, ведь диаметрально противоположные тройные точки тоже разрушатся?
Число $10$ уже учитывало все тройные точки, включая «диаметрально противоположные». Иными словами, это $5$ пар диаметрально противоположных точек.

Расцепившись, они дали $30$ двойных точек (или $15$ пар, если угодно).

Итак (Вы верно посчитали), всего у нас теперь $42$ точки пересечения. Теперь учтите правило, по которому они образуются:
Любые две несовпадающие плоскости, проходящие через центр сферы, порождают на этой сфере ровно $2$ точки пересечения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Стереометрия; сфера, пересеченная плоскостями
Сообщение14.02.2016, 19:56 
Аватара пользователя


04/10/15
271
svv в сообщении #1099345 писал(а):
Итак (Вы верно посчитали), всего у нас теперь $42$ точки пересечения. Теперь учтите правило, по которым они образуются:
Любые две несовпадающие плоскости, проходящие через центр сферы, порождают на этой сфере ровно $2$ точки пересечения.

Я рассуждал так:
Пусть количество окружностей - $l$, количество двойных точек - $k$, тогда
$$l=1 \to k=0$$
$$l=2 \to k=2$$
$$l=3 \to k=2+2\cdot2=2\cdot3$$
$$l=4 \to k=2\cdot3+2\cdot3=3\cdot4$$
$$l=n \to k=n\cdot(n-1)$$ Откуда количество плоскостей равно семи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Стереометрия; сфера, пересеченная плоскостями
Сообщение14.02.2016, 20:36 
Заслуженный участник


23/07/08
8156
Харьков
Да, правильно.

Что, на самом деле, имеет значение? Количество попарных пересечений («рукопожатий») плоскостей на сфере. Если понимать, что в каждой двойной точке таких пересечений $1$, а в тройной $3$, можно обойтись и без шевелений. В нашей задаче попарных пересечений было $12\cdot 1+10\cdot 3=42$ как до шевелений, так и после. После этого задача решается тривиально: $n$ плоскостей (из которых никакие две не совпадают) дают $n(n-1)$ попарных пересечений.

Контрольный вопрос. Сколько попарных пересечений было бы в четверной точке?

 Профиль  
                  
 
 Re: Стереометрия; сфера, пересеченная плоскостями
Сообщение14.02.2016, 21:01 
Аватара пользователя


04/10/15
271
svv в сообщении #1099373 писал(а):
Контрольный вопрос. Сколько попарных пересечений было бы в четверной точке?

Если я правильно понял, что такое попарное пересечение, то могу сказать, сколько оных в $n$-ерной точке - $\dfrac{n(n-1)}{2}$. (То есть в четверной $6$)

 Профиль  
                  
 
 Re: Стереометрия; сфера, пересеченная плоскостями
Сообщение14.02.2016, 21:24 
Заслуженный участник


23/07/08
8156
Харьков
Да, Вы верно поняли. Это, в самом деле, похоже на рукопожатия: 4 человека — 6 рукопожатий.

Выходит, даже если бы все $n$ плоскостей были вертикальными и пересекались бы на сфере в двух точках (на северном полюсе и на южном), то и в этом случае было бы $2\frac{n(n-1)}{2}=n(n-1)$ попарных пересечений.

Вот почувствовать этот инвариант, не зависящий от кратностей точек, не зависящий от того, как пересекаются плоскости, а только от количества плоскостей — и значит понять задачу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Стереометрия; сфера, пересеченная плоскостями
Сообщение14.02.2016, 21:29 
Аватара пользователя


04/10/15
271
svv в сообщении #1099395 писал(а):
Да, Вы верно поняли. Это, в самом деле, похоже на рукопожатия: 4 человека — 6 рукопожатий.

Выходит, даже если бы все $n$ плоскостей были вертикальными и пересекались бы на сфере в двух точках (на северном полюсе и на южном), то и в этом случае было бы $2\frac{n(n-1)}{2}=n(n-1)$ попарных пересечений.

Вот почувствовать этот инвариант, не зависящий от кратностей точек, не зависящий от того, как пересекаются плоскости, а только от количества плоскостей — и значит понять задачу.

Спасибо за столь подробное объяснение!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group