Стереометрия; сфера, пересеченная плоскостями

[iou]

Здравствуйте, уважаемые форумчане!
Есть задача: Через центр сферы проведены несколько плоскостей. Окружности, по которым эти плоскости пересекают сферу, пересекаются в 22 различных точках, причем в 12 из этих точек пересекаются по две окружности, а в остальных 10 точках — по три. Сколько плоскостей было проведено?
Как можно перефразировать задачу, чтобы четче представить ситуацию в голове/на бумаге?

[Brukvalub]

Это стандартная задача на "малые шевеления". Малым шевелением ситуация приводится к "общему положению", в котором все тривиально считается.

[iou]

Brukvalub в сообщении #1098896 писал(а):

Это стандартная задача на "малые шевеления". Малым шевелением ситуация приводится к "общему положению", в котором все тривиально считается.

Нашёл в своей библиотеке книгу: Канель-Белов, Ковальджи. Как решают нестандартные задачи. Собственно, оттуда и узнал о "малых шевелениях", но всё равно не понял, что нужно "шевелить" в этой задаче, точнее: откуда "шевелить", что взять за отправную точку. Еще немного затрудняет восприятие то, что в книге в примерах нужно было что-то доказать, а тут найти.

[Brukvalub]

Шевелить нужно плоскости, причем так, чтобы каждая тройная точка распалась на ... двойных.

[iou]

Brukvalub в сообщении #1099222 писал(а):

Шевелить нужно плоскости, причем так, чтобы каждая тройная точка распалась на ... двойных.

Так.. Судя по моему рисунку: если есть $3$ плоскости (окружности, нарисованные черным чернилами), которые пересекаются в двух тройных точках (я правильно понимаю, что факт прохождения плоскостями центра сферы обеспечивает $2$ тройные точки в силу симметрии?) и одну плоскость мы двигаем (красная пунктирная линия), то появятся $4$ новых двойных точки и $2$, что были тройными, то есть на случай $k$ окружностей при "шевелении" одной будут появляться $2(k-1)$ новых двойных?
Но сдаётся мне, что чего-то я решительно не понимаю..
off: рисунок

(Оффтоп)

[svv]

При шевелении плоскости каждая тройная точка, в которой эта плоскость «участвовала», разрушается, а вместо неё появляются три двойных точки. Вы это нарисовали.

Потрясём Вашу конструкцию. Тройных точек больше не будет, все они разлипнутся. А сколько теперь всего будет двойных?

[iou]

svv в сообщении #1099310 писал(а):

Потрясём Вашу конструкцию. Тройных точек больше не будет, все они разлипнутся. А сколько теперь всего будет двойных?

Было $10$ тройных точек, трясем конструкцию и, насколько я понимаю, должно получиться $30$ новых двойных точек (но разве не $60$ новых, ведь диаметрально противоположные тройные точки тоже разрушатся?). Если появилось $30$ новых двойных точек, то всего их станет $42$, поскольку $12$ уже было.
Это так?

[svv]

iou в сообщении #1099331 писал(а):

но разве не $60$ новых, ведь диаметрально противоположные тройные точки тоже разрушатся?

Число $10$ уже учитывало все тройные точки, включая «диаметрально противоположные». Иными словами, это $5$ пар диаметрально противоположных точек.

Расцепившись, они дали $30$ двойных точек (или $15$ пар, если угодно).

Итак (Вы верно посчитали), всего у нас теперь $42$ точки пересечения. Теперь учтите правило, по которому они образуются:
Любые две несовпадающие плоскости, проходящие через центр сферы, порождают на этой сфере ровно $2$ точки пересечения.

[iou]

svv в сообщении #1099345 писал(а):

Итак (Вы верно посчитали), всего у нас теперь $42$ точки пересечения. Теперь учтите правило, по которым они образуются:
Любые две несовпадающие плоскости, проходящие через центр сферы, порождают на этой сфере ровно $2$ точки пересечения.

Я рассуждал так:
Пусть количество окружностей - $l$, количество двойных точек - $k$, тогда

$$l=1 \to k=0$$

$$l=2 \to k=2$$

$$l=3 \to k=2+2\cdot2=2\cdot3$$

$$l=4 \to k=2\cdot3+2\cdot3=3\cdot4$$

$$l=n \to k=n\cdot(n-1)$$

Откуда количество плоскостей равно семи.

[svv]

Да, правильно.

Что, на самом деле, имеет значение? Количество попарных пересечений («рукопожатий») плоскостей на сфере. Если понимать, что в каждой двойной точке таких пересечений $1$, а в тройной $3$, можно обойтись и без шевелений. В нашей задаче попарных пересечений было $12\cdot 1+10\cdot 3=42$ как до шевелений, так и после. После этого задача решается тривиально: $n$ плоскостей (из которых никакие две не совпадают) дают $n(n-1)$ попарных пересечений.

Контрольный вопрос. Сколько попарных пересечений было бы в четверной точке?

[iou]

svv в сообщении #1099373 писал(а):

Контрольный вопрос. Сколько попарных пересечений было бы в четверной точке?

Если я правильно понял, что такое попарное пересечение, то могу сказать, сколько оных в $n$-ерной точке - $\dfrac{n(n-1)}{2}$. (То есть в четверной $6$)

[svv]

Да, Вы верно поняли. Это, в самом деле, похоже на рукопожатия: 4 человека — 6 рукопожатий.

Выходит, даже если бы все $n$ плоскостей были вертикальными и пересекались бы на сфере в двух точках (на северном полюсе и на южном), то и в этом случае было бы $2\frac{n(n-1)}{2}=n(n-1)$ попарных пересечений.

Вот почувствовать этот инвариант, не зависящий от кратностей точек, не зависящий от того, как пересекаются плоскости, а только от количества плоскостей — и значит понять задачу.

[iou]

svv в сообщении #1099395 писал(а):

Да, Вы верно поняли. Это, в самом деле, похоже на рукопожатия: 4 человека — 6 рукопожатий.

Выходит, даже если бы все $n$ плоскостей были вертикальными и пересекались бы на сфере в двух точках (на северном полюсе и на южном), то и в этом случае было бы $2\frac{n(n-1)}{2}=n(n-1)$ попарных пересечений.

Вот почувствовать этот инвариант, не зависящий от кратностей точек, не зависящий от того, как пересекаются плоскости, а только от количества плоскостей — и значит понять задачу.

Спасибо за столь подробное объяснение!