Шевелить нужно плоскости, причем так, чтобы каждая тройная точка распалась на ... двойных.
Так.. Судя по моему рисунку: если есть

плоскости (окружности, нарисованные черным чернилами), которые пересекаются в двух тройных точках (я правильно понимаю, что факт прохождения плоскостями центра сферы обеспечивает

тройные точки в силу симметрии?) и одну плоскость мы двигаем (красная пунктирная линия), то появятся

новых двойных точки и

, что были тройными, то есть на случай

окружностей при "шевелении" одной будут появляться

новых двойных?
Но сдаётся мне, что чего-то я решительно не понимаю..
off: рисунок
(Оффтоп)