Обсуждение диофантовости простых чисел

[grizzly]

atlakatl в сообщении #1097260 писал(а):

Не так.

Всё так. Вы не поняли утверждение.

[g______d]

manul91 в сообщении #1097262 писал(а):

Что мешает пойти по такому пути на поиск положительных значений многочлена.... :
Найти член наивысшей степени многочлена, со следующими свойствами:
- коеффициент у него положительный
- все члены высших степеней имеют в множители другие переменные

Мешает то, что такой член может не найтись.

[manul91]

g______d в сообщении #1097266 писал(а):

Мешает то, что такой член может не найтись.

Т.е. для любого члена с положительным коеффициентом, существует член высшей степени с отрицательном коеффициентом в котором входят только те же переменные (или их подмножество).
Оно конечно, может и так - тогда такой подход не годится... Но ведь можно проверить так или нет, на конкретном многочлене?

[atlakatl]

grizzly
Надо в смысле manul91 - $x=0$?
Читаем ещё раз:

grizzly в сообщении #1097259 писал(а):

множество положительных значений многочлена $P(x,y)=-xy^4+y^2$ при целых неотрицательных значениях переменных совпадает с множеством квадратов целых чисел

На переменные накладывается единственное ограничение: они неотрицательны.

[NVV]

atlakatl

atlakatl в сообщении #1097268 писал(а):

множество положительных значений многочлена $P(x,y)=-xy^4+y^2$ при целых неотрицательных значениях переменных совпадает с множеством квадратов целых чисел

Нужное выделил)

[grizzly]

atlakatl в сообщении #1097268 писал(а):

На переменные накладывается единственное ограничение: они неотрицательны.

Если Вы так же поняли утверждение теоремы Матиясевича, то в этом и есть причина непонимания. И здесь и там ограничения накладываются не только на переменные, но и на значения многочлена. То есть, Вы можете поступить так:
1) рассмотреть множество всех значений предложенного мной многочлена при неотрицательных целых значениях переменных;
2) удалить из полученного множества все отрицательные числа;
3) убедиться, что останутся только квадраты целых чисел.

Для многочлена Матиясевича (я удивлён -- в прошлом веке его точно называли многочленом Джонса, но теперь это название не встречается) всё точно так же.

Но у Вас явно имеется также непонимание какого-то другого рода и я пока не могу его однозначно определить. Надеюсь, что если Вы разберётесь с этим примером и с корректным пониманием формулировки, то всё автоматически станет на свои места.

-- 06.02.2016, 14:06 --

atlakatl в сообщении #1097268 писал(а):

Надо в смысле manul91 - $x=0$?

Ну да, в данном упрощённом примере всё нужное бывает только при $x=0$.

[atlakatl]

grizzly
Кажется, начало доходить. Я зациклился на графике от одной переменной, а их 26. Образно представить сие пространство я не способен, но допускаю, что в нём имеется счётное число максимумов.
Что ж, чудо из чудес. Множество, включающее в себя все простые числа, но ни одного из них локализовать пока не удалось.
Спасибо.

[vicvolf]

g______d в сообщении #1097232 писал(а):

Если речь идёт об алгебраических диофантовых уравнениях, то запись с факториалом таковой не является. Если речь идёт про диофантовые уравнения с произвольными целочисленными функциями, то никакие факториалы не нужны, любое подмножество $\mathbb N$ имеет вид $f(n)=1$ для некоторой функции $f$.

Мы расходимся в определении диофантова уравнения. Под диофантовым уравнением я понимаю:
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0 ... 0%B8%D0%B5
В этом случае Ваш и мой примеры являются диофантовыми уравнениями, решениями которого являются простые числа.
Вы же считаете, что слева обязательно должен стоять многочлен. Такой вариант в литературе также распространен. Правда в этом случае не понятно, зачем используется, в том числе и Вами, термин алгебраическое диофантово уравнение, если все диофантовы уравнения алгебраические. При этом определении наши примеры не являются диофантовыми уравнениями.

Теперь вернусь к обсуждаемой теме -диофантовости множества простых чисел. Об этом я говорил в сообщении:

vicvolf в сообщении #1095973 писал(а):

По теореме Вильсона $p$ простое, если $(p-1)!+1$ делится на $p$. Поэтому множество простых чисел является проекцией множества решений системы уравнений: $p=f+1,q=f!,ap-bq=1$, которое диофантово в силу диофантовости $q=f!$.

Доказательство диофантовости факториала приведено в книге Манина и Панчишкина на стр 95-96, поэтому множество простых чисел является диофантовым. Это означает, в частности, что множество простых чисел является перечислимым, поэтому на основании доказательства Матиясевича совпадает с множеством положительных значений, принимаемых при целых параметрах некоторым полиномом с целыми коэффициентами. Это и объединяет два обсуждаемых вопроса в данной теме.

[arseniiv]

atlakatl в сообщении #1097346 писал(а):

Я зациклился на графике от одной переменной, а их 26. Образно представить сие пространство я не способен, но допускаю, что в нём имеется счётное число максимумов.

Зачем максимумов? Вы почему-то решили, что на бесконечности многочлен будет везде стремиться к $-\infty$? Это не так. Возьмите $x^2 - y^4$. Даже при неотриццательных аргументах он и так, и эдак.

[hurtsy]

Используется синтаксис Matlab M

prim := (k+2)*(1-(w*z+h+j-q)^2-((g*k+2*g+k+1)*(h+j)+h-z)^2-(2*n+p+q+z-e)^2-(16*(k+1)^3*(k+2)*(n+1)^2+1-f^2)^2-(e^3*(e+2)*(a+1)^2+1   -o^2)^2-((a^2-1)*y^2+1-x^2)^2-(16*r^2*y^4*(a^2-1)+1-u^2)^2-(((a+u^2*(u^2-a))^2-1)(4*d*y+n)^2+1-(c*u+x)^2)^2-(n+l+v-y)^2-((a^2-1)*l^2+1-m^2)^2-(a*i-i+k-l+1)^2-(p+l*(a-n-1)+b*(2*a*n-n^2+2*a-2*n-2)-m)^2-(q+y*(a-p-1)+s*(2*a*p-p^2+2*a-2*p-2)-x)^2-(z+p*l*  (a-p)+t*(2*a*p-p^2-1)-p*m)^2);

Используется синтаксис Matlab M

primz := (k+2)*(1-(w*z+h+j-q)^2-(2*n+p+q+z-e)^2-(a^2*y^2-x^2-y^2+1)^2*((e^4+2*e^3)*(a+1)^2+1-o^2)^2-(16*(k+1)^3*(k+2)*(n+1)^2+1-f^2)^2-(((u^4-a*u^2+a)^2-1)*(4*d*y+n)^2+1-(c*u+x)^2)^2-(a*i-i+k-l+1)^2-((g*k+2*g+k+1)*(h+j)+h-z)^2-(16*r^2*y^4*(a^2-1)+1-u^2)^2-(p-m+l*(a-n-1)+b*(2*a*n-n^2+2*a-2*n-2))^2-(z-p*m+p*l*a-p^2*l+t*(2*a*p-p^2-1))^2-q+x-y*(a-p-1)-s*(2*a*p-p^2+2*a-2*p-2)-(a^2*l^2-l^2-m^2+1)^2-(n+l+v-y)^2)

prim - полином из Википедии, primz - Д. Цагер, Первые 50 миллионов простых чисел, УМН,
1984, том 39, выпуск 6(240), 175–190 В обоих полиномах есть делитель (k+2), так что у кого есть корректный полином опубликуйте на форуме. 26 переменных, степень 25. С уважением,

[venco]

Во втором варианте явные опечатки. Если их исправить, то он становится равным первому.

[grizzly]

hurtsy
Насколько я могу судить, оба Ваши многочлена содержат опечатки (upd. действительно, только второй). Но в них явно имеется в виду один и тот же многочлен, только скобки раскрыты по-разному.

Пожалуйста, используйте оригинальный многочлен по ссылке из статьи в этом сообщении. Я ранее сверял этот многочлен с многочленом в Википедии и уверен, что в Википедии многочлен указан без ошибки.

[arseniiv]

Если в вике код верен, тогда можно использовать сразу приготовленный мной его ASCII-вариант из этого поста ранее в той же теме.

[DVN]

hurtsy в сообщении #1098784 писал(а):

Используется синтаксис Matlab M

prim := (k+2)*(1-(w*z+h+j-q)^2-((g*k+2*g+k+1)*(h+j)+h-z)^2-(2*n+p+q+z-e)^2-(16*(k+1)^3*(k+2)*(n+1)^2+1-f^2)^2-(e^3*(e+2)*(a+1)^2+1   -o^2)^2-((a^2-1)*y^2+1-x^2)^2-(16*r^2*y^4*(a^2-1)+1-u^2)^2-(((a+u^2*(u^2-a))^2-1)(4*d*y+n)^2+1-(c*u+x)^2)^2-(n+l+v-y)^2-((a^2-1)*l^2+1-m^2)^2-(a*i-i+k-l+1)^2-(p+l*(a-n-1)+b*(2*a*n-n^2+2*a-2*n-2)-m)^2-(q+y*(a-p-1)+s*(2*a*p-p^2+2*a-2*p-2)-x)^2-(z+p*l*  (a-p)+t*(2*a*p-p^2-1)-p*m)^2);

Используется синтаксис Matlab M

primz := (k+2)*(1-(w*z+h+j-q)^2-(2*n+p+q+z-e)^2-(a^2*y^2-x^2-y^2+1)^2*((e^4+2*e^3)*(a+1)^2+1-o^2)^2-(16*(k+1)^3*(k+2)*(n+1)^2+1-f^2)^2-(((u^4-a*u^2+a)^2-1)*(4*d*y+n)^2+1-(c*u+x)^2)^2-(a*i-i+k-l+1)^2-((g*k+2*g+k+1)*(h+j)+h-z)^2-(16*r^2*y^4*(a^2-1)+1-u^2)^2-(p-m+l*(a-n-1)+b*(2*a*n-n^2+2*a-2*n-2))^2-(z-p*m+p*l*a-p^2*l+t*(2*a*p-p^2-1))^2-q+x-y*(a-p-1)-s*(2*a*p-p^2+2*a-2*p-2)-(a^2*l^2-l^2-m^2+1)^2-(n+l+v-y)^2)

prim - полином из Википедии, primz - Д. Цагер, Первые 50 миллионов простых чисел, УМН,
1984, том 39, выпуск 6(240), 175–190 В обоих полиномах есть делитель (k+2), так что у кого есть корректный полином опубликуйте на форуме. 26 переменных, степень 25. С уважением,

Люди, а вам не кажется, что вас развели?
Полином, дающий простые числа, состоит из двух сомножителей!
Ждем положительных чисел при положительных переменных, но при этом первая скобка явно положительна, а вторая явно отрицательна при k>0?
И вообще, слишком полный набор переменных, как раз на весь алфавит.
Номер Кванта за апрель!!!

[grizzly]

DVN в сообщении #1098829 писал(а):

Люди, а вам не кажется, что вас развели?

Столько эмоций и смайликов. При этом совершенно не обязательно наслаждаться манией величия, чтобы понять, что один из упомянутых Вами множителей в интересующих нас случаях будет равен 1 -- для этого достаточно усвоить программу по математике за 5-й класс на твёрдую тройку.