Обсуждение диофантовости простых чисел

[g______d]

vicvolf, ну тогда объясняйте, почему множество с факториалом алгебраическое.

[vicvolf]

g______d! Вы не совсем правильно поняли. Пример взят из Манина и Панчишкина "Введение в теорию чисел" (стр.96). Там же находится определение диофантова множества.

[g______d]

Да, хорошо; для множества простых чисел можно доказать существование уравнения без отсылки к теореме Матиясевича. Правда, полное доказательство всё равно довольно длинное, теорема о проекции и т. п. Но:

vicvolf в сообщении #1095605 писал(а):

Можно указать гораздо более простое диофантово уравнение, удовлетворяющее данному требованию.

"более простого уравнения" вы до сих пор не указали.

Более того, у меня сильное подозрение, что конструкция по вашей ссылке, если её тщательно не оптимизировать, даст более длинное уравнение.

[vicvolf]

g______d в сообщении #1096893 писал(а):

для множества простых чисел можно доказать существование уравнения без отсылки к теореме Матиясевича.

Я и не отсылал -

vicvolf в сообщении #1095973 писал(а):

По теореме Вильсона $p$ простое, если $(p-1)!+1$ делится на $p$. Поэтому множество простых чисел является проекцией множества решений системы уравнений: $p=f+1,q=f!,ap-bq=1$

Далее я показал диофантовость уравнений указанной системы -

vicvolf в сообщении #1096074 писал(а):

Пусть переменная $p$ принимает целые значения в области $p>1$. Тогда переменные $f,q$ принимают натуральные значения и функция $q-f!$ - целочисленная.

g______d в сообщении #1096893 писал(а):

"более простого уравнения" вы до сих пор не указали.
Более того, у меня сильное подозрение, что конструкция по вашей ссылке, если её тщательно не оптимизировать, даст более длинное уравнение.

Я обещал дать более простое диофантово уравнение, не уточняя критерий простоты. Уточняю - меньшее количество переменных. Критерий "длины уравнения" мне не понятен, хотя если сравнивать длину записи, то указанная система гораздо короче. Другое дело, что данная система не является алгебраической, так никто не обещал.

[grizzly]

vicvolf в сообщении #1096943 писал(а):

Я обещал дать более простое диофантово уравнение, не уточняя критерий простоты. Уточняю - меньшее количество переменных. Критерий "длины уравнения" мне не понятен, хотя если сравнивать длину записи, то указанная система гораздо короче.

А какая из них короче -- указанная Вами или та, на которую указывали другие? Если честно, очень сложно судить о Ваших голословных критериях. Различных многочленов подобного типа существует достаточно много. Дайте, пожалуйста, пример того, которых по Вашим критериям является более простым (надеюсь, Вы это сделаете, поскольку мы находимся в дискуссионном разделе). С моей точки зрения в данном случае попытка дать неконструктивное доказательство его существования (с учётом Вашего понимания критериев) только запутывает дело.

(Оффтоп)

P.S. Надеюсь, что большая часть этой ветки обсуждения будет выделена модераторами в отдельную тему, поэтому оформляю оффтопом этот абзац, а не предыдущий.

[vicvolf]

grizzly, пожалуйста, внимательно читайте сообщения, начиная с 31.01.2016.

[grizzly]

vicvolf в сообщении #1097015 писал(а):

внимательно читайте сообщения, начиная с 31.01.2016.

Да, я следил за темой очень внимательно. Вы имеете в виду какое-то конкретное сообщение? Убедитесь, пожалуйста, что оно присутствует в теме -- я очень опасаюсь, что произошёл какой-то сбой.

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #1095605 писал(а):

ovsov в сообщении #1095559 писал(а):

Совсем недавно был найден многочлен, все положительные значения
которого в целых точках совпадают с множеством всех простых чисел.
Этот многочлен имеет степень 25
Появился он в результате исследований диофантовых уравнений и связан с
решением 10- ой проблемы Гильберта советским математиком Ю. А. Матия-
севичем (см. "Квант", 1970, № 7, с. 39). --- конец цитаты.

Можно указать гораздо более простое диофантово уравнение, удовлетворяющее данному требованию.

Я предложил указать не многочлен, а диофантово уравнение решениями которого является множество простых чисел. Сравнивать по простоте многочлен и диофантово уравнение конечно не корректно. Под простотой я имел в виду более компактную запись.

[g______d]

Я тогда могу ещё более простое уравнение написать: $f(n)=1$, где $f$ — индикаторная функция множества простых чисел (равная $1$, если $n$ простое и $0$ наоборот, т. е. очевидно целочисленная).

По степени жульничества ничем не отличается от факториала.

[vicvolf]

g______d Вы считаете жульничеством утверждение, что данная система уравнений с факториалом является диофантовой?
Но я уже писал, что это не мое утверждение, а Манина и Панчишкина "Введение в теорию чисел" (стр.96).
Поэтому обвинение в жульничестве в данном случае не очень корректно. Тем более у нас идет дискуссия именно на на эту тему.

[g______d]

vicvolf в сообщении #1097214 писал(а):

Поэтому обвинение в жульничестве в данном случае не очень корректно. Тем более у нас идет дискуссия именно на на эту тему.

Я не понимаю вообще смысла вашего первого комментария про "более простое диофантово уравнение". Если речь идёт об алгебраических диофантовых уравнениях, то запись с факториалом таковой не является. Если речь идёт про диофантовые уравнения с произвольными целочисленными функциями, то никакие факториалы не нужны, любое подмножество $\mathbb N$ имеет вид $f(n)=1$ для некоторой функции $f$.

[atlakatl]

Опять я с тупым вопросом.
Как выяснили, старший член в сабжевом полиноме равен

arseniiv в сообщении #1095230 писал(а):

arseniiv в сообщении #1095226

писал(а):
$-256 d^4 k u^{16} y^4$

Т.е. этот полином при положительных значениях всех 26 переменных когда-то окончательно уйдёт в отрицательные значения.
Более того, это обычный полином, имеющий конечное значение экстремумов. И при всём его многообразии он не может покрывать всё множество простых чисел.
Внимательно перечитал текст из https://ru.wikipedia.org/?oldid=75977936 : " многочлены, множество положительных значений которых при неотрицательных значениях переменных совпадает с множеством простых чисел".
Что я не понимаю?

-- 06.02.2016, 15:50 --

grizzly
Ваш многочлен порождает счётное множество положительных целых значений.
Но есть отличие: $y<0$ - для всех сабжевых значений.
Между тем, все 26 переменных полинома положительны...

Извините, куда-то коммент grizzly подевался, на который я отвечал.

[grizzly]

atlakatl в сообщении #1097248 писал(а):

Что я не понимаю?

Любопытно было бы узнать. Вот пример получше: убедитесь, что множество положительных значений многочлена $P(x,y)=-xy^4+y^2$ при целых неотрицательных значениях переменных совпадает с множеством квадратов целых чисел

-- 06.02.2016, 12:53 --

atlakatl
Сорри, я удалил прошлое сообщение и дал пример получше, мне кажется.

[atlakatl]

grizzly
$f(3,4)=-752$
$f(1,3)=-72$
$f(2,5)=-1225$
Не так.

[manul91]

Что мешает пойти по такому пути на поиск положительных значений многочлена.... :
Найти член наивысшей степени многочлена, со следующими свойствами:
- коеффициент у него положительный
- все члены высших степеней имеют в множители другие переменные
Тогда стоит вести поиск положительных значений многочлена, в области неограниченно больших положительных значений переменных данного члена; а члены высших степеней обнулить (или зафиксировать некими произвольно заданными значениями) дополнительных переменных.

-- 06.02.2016, 14:16 --

grizzly в сообщении #1097259 писал(а):

целых неотрицательных значениях переменных

atlakatl в сообщении #1097260 писал(а):

Не так.

$P(0,y) = ?$