Запись элемента группы Ли в виде экспоненты

[Metford]

Здравствуйте!

У меня возник вопрос по поводу возможности записи элемента группы Ли в виде экспоненты. Как-то меня несколько книг запутали...
Практически всюду можно найти утверждение, что для элемента однопараметрической подгруппы группы Ли существует форма записи
$g(\theta)=\exp(I_{\theta}\theta). (1)$
Рядом с этим утверждением, например, в книге Петрашень и Трифонова "Применение теории групп в квантовой механике" читаем, что любой элемент группы Ли либо является элементом однопараметрической подгруппы, либо представляется в виде произведения таких элементов. Отсюда можно сделать вывод, что элемент группы Ли в общем случае можно записать в виде произведения экспонент вида (1) - со ссылкой на Эйзенхарта, а тот в свою очередь на некую статью, которую раздобыть не удалось. Однако, так как генераторы могут не коммутировать, то объединять экспоненты в одну нельзя. Вроде так.

После этого в той же цитированной книге в связи с группой вращений для произвольного вращения встречается запись в виде экспоненты вида
$\exp(\alpha_1 I_1+\alpha_2 I_2+\alpha_3 I_3).$
Хорошо, допустим есть теорема (не вспомню сейчас - имени кого), что любое вращение можно представить как поворот вокруг мгновенной оси. Похоже, что речь об элементе однопараметрической подгруппы.

Затем я открываю книгу Вайнберга по КТП. В самом начале второго тома, приступая к неабелевым калибровочным теориям, Вайнберг пишет для преобразования, явно не являющегося вращением,
$\exp(it_{\alpha}\Lambda^{\alpha}(x)).$
Пескин и Шрёдер хитрее поступают: у них всё в инфинитезимальных преобразованиях написано в аналогичном месте.
У Прохорова и Шабанова в "Гамильтоновой механике калибровочных систем" просто и без уточнений конечное преобразование записано в виде
$\exp(\omega_aL_a),$
подразумевая под $L_a$ генераторы.

В строгой математической литературе везде очень подробно расписано на этот счёт только про однопараметрические группы или подгруппы. Где-то нашлось указание, что экспоненты можно объединять в одну не иначе как в случае абелевых групп (что понятно).
Объясните, пожалуйста, какое есть утверждение для групп с несколькими параметрами? И особенно, почему в физической литературе зачастую без всяких сомнений сразу пишется одна экспонента со всеми генераторами и параметрами?

[Brukvalub]

Я не спец. в применении групп Ли в физике, но то, о чем вы спрашиваете, сильно напоминает так называемое экспоненциальное отображение - специальную конструкцию в теории групп Ли, позволяющую задать локальные координаты в окрестности единицы группы. Посмотрите, например, обзор Винберга и Онищика в серии ВИНИТИ Современные проблемы математики, фундаментальные направления, т. 20 - в нем это отображение подробно описано.

[VanD]

Metford в сообщении #1096279 писал(а):

Отсюда можно сделать вывод, что элемент группы Ли в общем случае можно записать в виде произведения экспонент вида (1) - со ссылкой на Эйзенхарта, а тот в свою очередь на некую статью, которую раздобыть не удалось

Насчёт экспоненциального отображения Вам уже ответили, а вторая часть - простое утверждение о том, что если группа Ли линейно связна, то все её элементы порождаются любой окрестностью единицы.

[alcoholist]

Metford
Группа Ли, в которой всякий элемент -- экспонента, называется экспоненциальной (см. матчасть).

Brukvalub в сообщении #1096285 писал(а):

так называемое экспоненциальное отображение - специальную конструкцию в теории групп Ли, позволяющую задать локальные координаты в окрестности единицы группы

Вообще говоря, это термин Римановой геометрии.

[Munin]

Metford в сообщении #1096279 писал(а):

Отсюда можно сделать вывод, что элемент группы Ли в общем случае можно записать в виде произведения экспонент вида (1) - со ссылкой на Эйзенхарта, а тот в свою очередь на некую статью, которую раздобыть не удалось. Однако, так как генераторы могут не коммутировать, то объединять экспоненты в одну нельзя. Вроде так.

Нужна связность (линейная связность). Экспоненты напрямую объединять нельзя, но для каждого элемента существует и соответствующая экспонента - вот только её не всегда можно легко найти.

Про такие экспоненты есть книжка
Назайкинский, Стернин, Шаталов. Методы некоммутативного анализа.

[alcoholist]

Munin в сообщении #1096416 писал(а):

для каждого элемента существует и соответствующая экспонента - вот только её не всегда можно легко найти

нет, только в экспоненциальных группах

-- Ср фев 03, 2016 19:49:18 --

хотя у физиков все группы экспоненциальные:^)

[Munin]

Хм. Линейно связную неэкспоненциальную группу можете показать? Чтобы я понял, о чём речь.

В общем, да, физики любят буквально отождествлять группы Ли и алгебры Ли...

[Metford]

Для одного дня слишком много информации :)

Brukvalub, книгу нашёл, спасибо!

VanD, спасибо, так лучше стало понятно. Не привык я смотреть с таких позиций на группы Ли. Видимо, пора начинать. Как-то в основном имел дело с литературой, где группы Ли рассматриваются без привлечения геометрической терминологии.

alcoholist в сообщении #1096382 писал(а):

Группа Ли, в которой всякий элемент -- экспонента, называется экспоненциальной (см. матчасть).

Я бы с удовольствием "см. матчасть", если бы мне хотя бы раз попалось на глаза такое название... Впрочем, не исключаю, что это результат моей невнимательности. Где это есть, чтобы прочитать можно было?

Вообще, правильно я понял, что представить в виде экспоненты можно любой элемент группы при соответствующем подборе параметров (в канонических координатах), но только локально - в некоторой окрестности единичного элемента? А для особых групп это возможно без ограничений?

alcoholist в сообщении #1096538 писал(а):

хотя у физиков все группы экспоненциальные:^)

Жаль как определение экспоненциальных групп использовать нельзя эту фразу. Как можно выяснить, является ли данная конкретная группа экспоненциальной? Ну, например, группы SU(n) таковы? И потом, шутки шутками, но всё-таки не являющиеся экспоненциальными группы в физических приложениях не возникают/не используются? Это я спрашиваю из-за приведённых мной выше цитат, где авторы-физики сразу безоговорочно пишут элемент группы через экспоненту.

Munin, книга интересная, спасибо! Пока просмотрел бегло, но для себя отметил.

[alcoholist]

Munin в сообщении #1096543 писал(а):

Линейно связную неэкспоненциальную группу можете показать?

$SL_2\mathbb{R}$

-- Ср фев 03, 2016 21:33:18 --

alcoholist в сообщении #1096382 писал(а):

Brukvalub в сообщении #1096285

писал(а):
так называемое экспоненциальное отображение - специальную конструкцию в теории групп Ли, позволяющую задать локальные координаты в окрестности единицы группы
Вообще говоря, это термин Римановой геометрии.

Для естественной римановой метрики на группе Ли это оно и есть

[lek]

Metford, обратите внимание на книгу А.А. Кириллова "Элементы теории представлений". Там (в параграфе 6 части I) весьма кратко, но вместе с тем очень ясно изложен материал по структурной теории алгебр и групп Ли, который необходимо знать физику-теоретику. Там же найдете и ответы на свои вопросы.

[Munin]

alcoholist в сообщении #1096538 писал(а):

нет, только в экспоненциальных группах

Боюсь, не произошла ли путаница. Какой конкретно элемент $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ не представим в виде экспоненты?

[alcoholist]

Munin в сообщении #1096681 писал(а):

Какой конкретно элемент $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ не представим в виде экспоненты?

попробуем $\operatorname{diag}\{-2,-1/2\}$

[Munin]

Да, спасибо, вы правы.

[Metford]

lek, спасибо за рекомендацию. Только уж очень кратко там, но это не самое страшное.

Только всё-таки в голове пока не укладывается. Например, в последнем диалоге нить я потерял. Как по виду матрицы можно сказать, что она не может быть представлена в экспоненциальной форме, мне пока что непонятно. Да и про группы SU(N) и физический контекст так никто и не сказал ничего.

[alcoholist]

Metford в сообщении #1096754 писал(а):

Как по виду матрицы можно сказать, что она не может быть представлена в экспоненциальной форме, мне пока что непонятно. Да и про группы SU(N)

Насчет компактных групп можете быть спокойны: экспоненциальное отображение в этом случае сюрьективно. Хотя, вообще говоря, там есть особенности. Например $\operatorname{exp}:\mathfrak{so}_3\to SO_3$ не является накрытием.