2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Запись элемента группы Ли в виде экспоненты
Сообщение04.02.2016, 15:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Metford
, скачайте в сети лекции лекции Шапиро, в них есть достаточно простые объяснения начал групп и алгебр Ли.

 Профиль  
                  
 
 Re: Запись элемента группы Ли в виде экспоненты
Сообщение04.02.2016, 20:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Metford в сообщении #1096754 писал(а):
Как по виду матрицы можно сказать, что она не может быть представлена в экспоненциальной форме, мне пока что непонятно.

Мне тоже, но я попытался извлечь хотя бы квадратный корень, и получил $\varnothing$ решений.

alcoholist
Всё-таки интересно, а при чём тут компактность, сюръективность, и почему не накрытием.

 Профиль  
                  
 
 Re: Запись элемента группы Ли в виде экспоненты
Сообщение04.02.2016, 20:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
Munin в сообщении #1096807 писал(а):
Metford в сообщении #1096754 писал(а):
Как по виду матрицы можно сказать, что она не может быть представлена в экспоненциальной форме, мне пока что непонятно.

Мне тоже, но я попытался извлечь хотя бы квадратный корень, и получил $\varnothing$ решений.

Собственные значения экспоненты от матрицы равны экспонентам от собственных значений исходной матрицы, и, следовательно, положительны. И обратно. Если собственные значения матрицы положительны, то от неё можно взять логарифм. (Речь идёт о действительных матрицах).

-- Чт фев 04, 2016 21:44:21 --

мат-ламер в сообщении #1096815 писал(а):
(Речь идёт о действительных матрицах).

Для комплексных тоже. См. Кострикин. Линейная алгебра. Пар. 7.1. Теорема 6.

 Профиль  
                  
 
 Re: Запись элемента группы Ли в виде экспоненты
Сообщение04.02.2016, 20:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
мат-ламер в сообщении #1096815 писал(а):
Если собственные значения матрицы положительны, то от неё можно взять логарифм. (Речь идёт о действительных матрицах).
Как взять логарифм? :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Запись элемента группы Ли в виде экспоненты
Сообщение04.02.2016, 20:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
Brukvalub в сообщении #1096823 писал(а):
Как взять логарифм? :shock:


Функции от матриц рассатриваются в Гантмахере (Теория матриц). Через жорданову форму. Сейчас поищу подробности.

-- Чт фев 04, 2016 21:54:32 --

мат-ламер в сообщении #1096824 писал(а):
Функции от матриц рассатриваются в Гантмахере (Теория матриц). Через жорданову форму. Сейчас поищу подробности.


Чего-то Гантмахера не нашёл на этом компьютере. По памяти. Функция от жодановой клетки - на диагонали - функция от собственных чисел. На наддиагонали - производные и т.д. Типа ряда Тейлора. Только несколько первых членов (смотря какой размер клетки). Но это по памяти. Подробностей не помню.

-- Чт фев 04, 2016 21:56:21 --

мат-ламер в сообщении #1096824 писал(а):
Через жорданову форму.

Но есть и другие способы. (Допустим, через интерполяционные многочлены).

 Профиль  
                  
 
 Re: Запись элемента группы Ли в виде экспоненты
Сообщение04.02.2016, 21:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Вот как раз в Гантмахере и написано, что положительность всех собственных чисел не является необходимым условием для логарифмирования вещественной матрицы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Запись элемента группы Ли в виде экспоненты
Сообщение04.02.2016, 21:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
мат-ламер в сообщении #1096815 писал(а):
Если собственные значения матрицы положительны, то от неё можно взять логарифм.


Brukvalub в сообщении #1096829 писал(а):
Вот как раз в Гантмахере и написано, что положительность всех собственных чисел не является необходимым условием для логарифмирования вещественной матрицы.


Про необходимое условие я не говорил. А что насчёт достаточности? Гантмахер на другом компьютере. Завтра разберусь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Запись элемента группы Ли в виде экспоненты
Сообщение04.02.2016, 21:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
мат-ламер в сообщении #1096830 писал(а):
Про необходимое условие я не говорил.
Что же означает вот это высказывание:
мат-ламер в сообщении #1096815 писал(а):
Собственные значения экспоненты от матрицы равны экспонентам от собственных значений исходной матрицы, и, следовательно, положительны.
?

 Профиль  
                  
 
 Re: Запись элемента группы Ли в виде экспоненты
Сообщение04.02.2016, 21:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
Brukvalub в сообщении #1096834 писал(а):
мат-ламер в сообщении #1096830 писал(а):
Про необходимое условие я не говорил.
Что же означает вот это высказывание:
мат-ламер в сообщении #1096815 писал(а):
Собственные значения экспоненты от матрицы равны экспонентам от собственных значений исходной матрицы, и, следовательно, положительны.
?

Я сначала предположил про действительность матриц. Потом от этого отказался, и зря. Кострикин меня смутил. Там рассматривались матрицы над полем комплексных чисел. Но я забыл, что писал про положительность. Над полем комплексных чисел положительность надо заменить на "отличие от нуля". Подробности завтра продумаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Запись элемента группы Ли в виде экспоненты
Сообщение04.02.2016, 22:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
Munin в сообщении #1096807 писал(а):
почему не накрытие

$SO_3$ диффеоморфно проективному пространству. Оно не накрывается $\mathbb{R}^3$ по топологическим причинам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Запись элемента группы Ли в виде экспоненты
Сообщение04.02.2016, 22:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Дык накрывать-то надо сферой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Запись элемента группы Ли в виде экспоненты
Сообщение05.02.2016, 00:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
Munin в сообщении #1096873 писал(а):
Дык накрывать-то надо сферой.

но алгебра -- линейное пространство

 Профиль  
                  
 
 Re: Запись элемента группы Ли в виде экспоненты
Сообщение05.02.2016, 01:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
мат-ламер в сообщении #1096839 писал(а):
Я сначала предположил про действительность матриц. Потом от этого отказался, и зря. Кострикин меня смутил. Там рассматривались матрицы над полем комплексных чисел. Но я забыл, что писал про положительность. Над полем комплексных чисел положительность надо заменить на "отличие от нуля". Подробности завтра продумаю.


Тут думать особенно нечего. Чтобы определить $f(A)$, достаточно, чтобы $f$ была голоморфна в окрестности спектра (т. е. множества собственных значений) матрицы $A$. Определять можно, например, через интеграл типа Коши. Впрочем, это эквивалентно определению через жорданову форму.

Если спектр не содержит нуля, то существет нужная аналитическая ветвь логарифма.

-- Чт, 04 фев 2016 15:43:30 --

Дальше, например, можно рассмотреть отображение из $\mathfrak su(2,\mathbb C)$ в $SU(2)$ вида $A\mapsto \exp{A}$ и понять, почему оно не является накрытием. Неплохое упражнение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Запись элемента группы Ли в виде экспоненты
Сообщение05.02.2016, 13:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
alcoholist в сообщении #1096891 писал(а):
но алгебра -- линейное пространство

Ага. А окрестность единицы в группе - не линейное (если сама группа неабелева). Это важно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Запись элемента группы Ли в виде экспоненты
Сообщение05.02.2016, 16:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
Munin в сообщении #1096953 писал(а):
Ага. А окрестность единицы в группе

гомеомерфна шару, который гомеоморфен $\mathbb{R}^n$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 38 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Mikhail_K, Vladimir Pliassov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group