Симметричная фигура

[HyperNumber]

Aritaborian, если я правильно вас понял, то не совсем. Я спрашивал о том любая ли фигура, оказалось что нет. Но я также предположил, что есть такое число k, что для каждой фигуры, составленной из $n \geqslant k$ точек, есть такая константа C, что удалив C определенных точек у этих фигур мы всегда можем добиться симметричности у этих фигур.

[Aritaborian]

Мне кажется, что ваша гипотеза всё же неверна, но подтвердить её или опровергнуть это большой машинный труд: нужно перебирать все полиомино порядка $n$, да не просто их перебирать, а для каждого из них устраивать перебор...

[svv]

HyperNumber в сообщении #1095419 писал(а):

Но я также предположил, что есть такое число k, что для каждой фигуры, составленной из $n \geqslant k$ точек, есть такая константа C, что удалив C определенных точек у этих фигур мы всегда можем добиться симметричности у этих фигур.

Уточните. Константа, не зависящая ни от чего? Допускается зависимость константы от $n$? От фигуры? Это всё будут разные гипотезы.

[arseniiv]

Как уже писал на предыдущей странице svv, возьмём F-образную фигуру (со средней перекладиной меньших размеров, чем верхняя). Её можно сделать такой большой, как захочется. При этом, чтобы добиться осевой симметрии, нужно удалить как минимум (1) верхнюю перекладину и откусить, возможно, низ вертикальной палки или (2) удалить среднюю перекладину и откусить низ вертикальной палки или правую сторону верхней перекладины (всё можно сделать точнее, если зафиксировать класс подобия таких фигур); остальные манипуляции потребуют убирать больше. А чтобы центральную симметрию сделать — ещё больше стараться: нужно оставить лишь одну из палок. По идее, так и есть. Получаем, что количество убираемых точек неограниченно.

[HyperNumber]

arseniiv в сообщении #1095440 писал(а):

Возьмём F-образную фигуру (со средней перекладиной меньших размеров, чем верхняя). Её можно сделать такой большой, как захочется. При этом, чтобы добиться осевой симметрии, нужно удалить как минимум (1) верхнюю перекладину и откусить, возможно, низ вертикальной палки или (2) удалить среднюю перекладину и откусить низ вертикальной палки или правую сторону верхней перекладины (всё можно сделать точнее, если зафиксировать класс подобия таких фигур); остальные манипуляции потребуют убирать больше. А чтобы центральную симметрию сделать — ещё больше стараться: нужно оставить лишь одну из палок. По идее, так и есть. Получаем, что количество убираемых точек неограниченно.

То есть вы хотите сказать, что с возрастающим количеством точек $k$ есть такие фигуры, у которых вместе с $k$ возрастает и $C$ (константа удаленных точек)? Тогда моя гипотеза неверна. Не могли бы вы, все-таки, составить полное доказательство этого? Тогда я могу считать тему закрытой.

-- 31.01.2016, 14:21 --

svv в сообщении #1095426 писал(а):

Уточните. Константа, не зависящая ни от чего? Допускается зависимость константы от $n$? От фигуры? Это всё будут разные гипотезы.

Нет, константа остается неизменной для любого $n$. Разве что она не может быть больше $n$ (по очевидным причинам).

[gris]

Захотелось ещё больше упростить фигуру. Возьмем букву Г толщиной в один квадрат, с горизонтальной чертой чуть меньшей половины вертикальной. Для делания её симметричной надо минимум удалить горизонтальную черту. То есть удалить треть всех квадратов. С возрастанием числа квадратов, образующих фигуру Г, растёт и число минимально необходимо удаляемых точек.
Но. Доля удаляемых точек остаётся одинаковой. Интересно, если подумать в относительном смысле, существуют ли фигуры, у которых надо удалить не меньше, скажем, $90\%$ точек? Ну и вообще, какой может быть эта доля?

(Оффтоп)

Mihr, спасибо

[Mihr]

(Оффтоп)

gris,
после выделения долларами символ процентов не отображается.

[arseniiv]

(Дальше идёт предельно конкретный пример с неупрощённой фигурой; оставим его здесь для полноты.)

HyperNumber в сообщении #1095489 писал(а):

Не могли бы вы, все-таки, составить полное доказательство этого?

Это, чай, не гипотеза Римана — вы могли бы попробовать и сами и доказать, и поискать опровержения. Ну ладно,



Очевидно, симметричные подмножества этой фигуры наибольшей площади — это 456789ABC, 4567D89A, 1234567, 34567D, а дальше уже всякая мелочь. Внимание: в перечисленные нельзя добавить кусочки квадратов. Если убрать меньше точек, чем содержится в дополнении к этим подмножествам, симметричной фигуры не получится. Наименьший кусок, который мы можем убрать для получения симметрии — это 123D, дополнение до 456789ABC. Теперь увеличим площадь всей фигуры в $n$ раз — площадь 123D тоже увеличится в $n$ раз.

Здесь уже пробелы как-нибудь без меня пусть заполнятся.

-- Вс янв 31, 2016 14:52:46 --

gris в сообщении #1095491 писал(а):

Интересно, если подумать в относительном смысле, существуют ли фигуры, у которых надо удалить не меньше, скажем, $90\%$ точек? Ну и вообще, какой может быть эта доля?

Что-то спиралеобразное в голову приходит.

[Aritaborian]

(gris, про TeX)

Ага. Нужно набирать \%

[Someone]

Рисуем такую фигуру: отмечаем начальную клетку, затем рисуем шаг вниз, $1$ шаг направо, шаг вниз, $2$ шага направо, шаг вниз, $3$ шага направо, …, шаг вниз, $n-1$ шагов направо. Фигура содержит $1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}2$ клеток. При $n>3$ самая большая симметричная часть, которую я разглядел, получается из трёх последних горизонтальных линий, причём, из последней надо удалить $2$ клетки. Всего получается $(n-2)+(n-1)+(n-2)=3n-5$ клеток. Отношение $(3n-5)\mathop{:}\frac{n(n+1)}2$ стремится к $0$ при $n\to\infty$.