Симметричная фигура

[Mihr]

svv в сообщении #1095360 писал(а):

В каком смысле у уголка $(0,0), (1,0), (0,1)$ есть ось симметрии, проходящая через точку $(0,0)$ ?

Прямая, содержащая одну из диагоналей квадратика (0,0), вполне подходит, по-моему.

[svv]

И ещё. Раз Вы рассматриваете только связные фигуры, тогда и удалять точки, наверное, разрешено лишь так, чтобы фигура осталась связной?

[gris]

Кстати, это называется полимино. Я в детстве читал книжку Гарднера по теме. Там навороченная теория. Но у меня как-то не пошло дальше домино А, ну тетрис, конечно.

[HyperNumber]

svv в сообщении #1095365 писал(а):

И ещё. Раз Вы рассматриваете только связные фигуры, тогда и удалять точки, наверное, разрешено лишь так, чтобы фигура осталась связной?

Да, фигура должна остаться связной.

-- 30.01.2016, 23:11 --

gris в сообщении #1095367 писал(а):

Кстати, это называется полимино. Я в детстве читал книжку Гарднера по теме. Там навороченная теория. Но у меня как-то не пошло дальше домино А, ну тетрис, конечно.

Действительно, очень похоже по свойствам.

[svv]

А оси симметрии, пересекающие нашу плоскость (перпендикулярно ей) в точках с дробными координатами, считаются? Например, фигура $(0,0), (1,0), (1,1), (2,1)$, имеет ось симметрии, проходящую через $(1, \frac 1 2)$.

[HyperNumber]

svv в сообщении #1095381 писал(а):

А оси симметрии, пересекающие нашу плоскость (перпендикулярно ей) в точках с дробными координатами, считаются? Например, фигура $(0,0), (1,0), (1,1), (2,1)$, имеет ось симметрии, проходящую через $(1, \frac 1 2)$.

Да, считаются. В указанном вами примере также есть ось симметрии проходящая через точки $(\frac 1 2, 0), (\frac 3 2, 1)$, она тоже будет считаться.

[svv]

Хорошо. Уточните, пожалуйста, ещё раз вопрос.

Если Вы спросите: «Дана фигура. Какое минимальное количество точек надо удалить, чтобы полученная фигура имела ось симметрии?» — я отвечу: «В каждом случае по-разному. Иногда вообще ничего не надо удалять, иногда надо».

[Someone]

HyperNumber в сообщении #1095384 писал(а):

svv в сообщении #1095381 писал(а):

А оси симметрии, пересекающие нашу плоскость (перпендикулярно ей) в точках с дробными координатами, считаются? Например, фигура $(0,0), (1,0), (1,1), (2,1)$, имеет ось симметрии, проходящую через $(1, \frac 1 2)$.

Да, считаются. В указанном вами примере также есть ось симметрии проходящая через точки $(\frac 1 2, 0), (\frac 3 2, 1)$, она тоже будет считаться.

Это не ось симметрии. А в точке $(1,\frac 12)$ — центр симметрии.

[ИСН]

У фигур на плоскости, даже если ограничиться квадратными полимино, бывает довольно много разных типов симметрии. Мы к какому стремимся?

[HyperNumber]

svv в сообщении #1095390 писал(а):

Если Вы спросите: «Дана фигура. Какое минимальное количество точек надо удалить, чтобы полученная фигура имела ось симметрии?» — я отвечу: «В каждом случае по-разному. Иногда вообще ничего не надо удалять, иногда надо».

В изначальных условиях задачи сказано, что фигура НЕ находится в состоянии симметрии, поэтому вы не можете ничего не удалить. Если вы скажете, что нет такой константы, которая будет истинна для любой фигуры, то я попрошу вас это доказать.
В данный момент меня больше интересует, что если выявленная константа будет истинна только для таких фигур, которые состоят из количества точек $k \geqslant a$, так как искомая константа $C=a-1$ и фигуры, состоящие из $k \leqslant a-1$ точек, просто не мог столько отдать.

-- 31.01.2016, 01:35 --

ИСН в сообщении #1095395 писал(а):

У фигур на плоскости, даже если ограничиться квадратными полимино, бывает довольно много разных типов симметрии. Мы к какому стремимся?

HyperNumber в сообщении #1095301 писал(а):

фигура не находится в состоянии симметрии (она не имеет таких точек A или таких прямых a, с помощью которых можно было бы образовать центральную или осевую симметрию)

К осевой и центральной симметриям. То есть чтобы либо центральная, либо осевая (либо вместе) симметрия была.

[svv]

Представьте латинскую букву F, составленную из квадратиков (= мономино). Буква такая огромная (или квадратики маленькие), что состоит из миллиарда квадратиков. Мы хотим сделать её симметричной. Вы понимаете, что ни двумя-тремя, ни сотней удалённых квадратиков мы не обойдёмся? Это не надо доказывать?

[HyperNumber]

svv в сообщении #1095404 писал(а):

Представьте латинскую букву F, составленную из квадратиков (= мономино). Буква такая огромная (или квадратики маленькие), что состоит из миллиарда квадратиков. Мы хотим сделать её симметричной. Вы понимаете, что ни двумя-тремя, ни сотней удалённых квадратиков мы не обойдёмся? Это не надо доказывать?

Хорошо. Допустим, что минимальное количество удаленных точек равно, ну пусть, миллиону, как вы докажете, что есть такая фигура, состоящая из $k \geqslant 1 000 001$, у которой в допустимых значениях числа удаленных точек нет миллиона? Да и вообще, что если есть фигуры, состоящие $k \geqslant a$ точек, для которых всегда будет подходить константа C и нет ни одной такой фигуры в этой зоне, для которой она бы не подходила?
Хотя на изначальный вопрос вы ответили, спасибо.

[svv]

HyperNumber в сообщении #1095407 писал(а):

как вы докажете, что есть такая фигура, состоящая из $k \geqslant 1 000 001$, у которой в допустимых значениях числа удаленных точек нет миллиона?

Если только я правильно понял Ваш вопрос.

Теперь я возьму симметричную фигуру (для примера — какую нибудь букву, вроде O, W, H), составленную из $k$ точек. Затем я её испорчу добавлением одной-двух-трёх точек, так, чтобы она стала несимметричной. Получаем несимметричную фигуру из $k$ точек, которую можно превратить в симметричную удалением 3 точек.

[HyperNumber]

svv в сообщении #1095408 писал(а):

Теперь я возьму симметричную фигуру (для примера — какую нибудь букву, вроде O, W, H), составленную из $k$ точек. Затем я её испорчу добавлением одной-двух-трёх точек, так, чтобы она стала несимметричной. Получаем несимметричную фигуру из $k$ точек, которую можно превратить в симметричную удалением 3 точек.

Да, вы правы, но нужно также учесть, что не только 3 точки можно удалить, но и $k-1$, $k-2$, $k-3$ и так далее (следующие значения уже нужно высчитывать, так как при $k-4$ вы рискуете составить несимметричную фигуру). Еще добавлю, что в описанных вами фигурах константа (3 точки) общая с любой фигурой, состоящей из 4 точек, 5 точек, 6 точек, но с 7 точками это уже не работает (возможно, потому, что не каждая фигура состоящая из 4 точек симметрична(это предположение, можете попытаться его доказать)), если мы рассматриваем только "плотные" фигуры.

[Aritaborian]

HyperNumber, вы просили пример. Вам его привели. Я даже ещё проще приведу: квадрат $n \times n$ ($n$ — любое) с удалёнными тремя точками по углам. Превратить его в симметричную фигуру можно удалением одной точки. Вы спрашивали об этом. Ежели снова не об этом, корректируйте формулировку задачи.