Prisms thrown in a cube

[ins-]

What do you mean by "треугольной" net? Can you draw a picture? / i mean the square with this network inside it /

[DeBill]

ins-

Я говорил об узлах гексагональной решетки. Картинку можно увидеть в посте
SENDER от 18.09.2015 этого форума ( Олимпиадные задачи, стр.3, тема "Made in China"). Посмотрите, кстати, эту тему. Там обсуждают задачу: как "наиболее плотно" расставить на плоскости $n$, так, чтобы попарные расстояния между ними были не менее 1. Наша задача очень похожа: какое наибольшее число точек можно расставить в кубе со стороной 8, чтобы попарные расстояния были не менее 3.54 (нам хочется уместить 41)

[TOTAL]

DeBill в сообщении #1094823 писал(а):

TOTAL
Призмы расположены произвольноЖ их Грани не обязательно параллельны грпням куба.
Так что Ваши подставки не сработают

Приложите подставку к грани призмы, не обращая внимания на параллельность.

[ins-]

DeBill, TOTAL,

I think you both have far more experience than me in math and obvious for you is not obvious for me. Even if I spend hours in thinking. For example - I opened "Made in China" and understand almost nothing. At least I don't understand what and how can be used to solve the problem. If someone of you have a complete solution - please post it with as many details as possible. I suppose it is hard to be explained and probably long for writing. Because of my limited capabilities what I can do is to read it carefully and to ask you questions in case it is not clear to me.

[DeBill]

TOTAL
Нет, так не получится. Да, верно, что Ваши призмы вместе с подставками имеют объем, меньший объема куба.
Ну и что? В оставшемся месте мы не можем поместить центр нашей сферы: нет никаких гарантий, что она не зацепит саму сферу
(подставку - да, не зацепит).

-- 29.01.2016, 21:36 --

ins-
Я не имею ни полного, ни частичного решения этой задачи.
И, как Вы сами писали - это странно, поскольку остальные 5 задач из вашей олимпиаду решились довольно быстро.
Это, видимо, означает, что мы ищем решение совсем не там - нужны какие-то новые идеи.
Про «Made in China :)»: я не умею рисовать картинки; я просто хотел указать (см. пост post1054731.html#p1054731), место, где нарисована гексагональная решетка. Кроме того, мне показалось, что обсуждаемая там задача - не формально, но идейно - близка с той , к которой мы пытались свести нашу задачу. (Кстати, как я понимаю, та задача из китайской олимпиады участниками форума так и не решена).
Итак, первая попытка - использовать Принцип Дирихле (Pigeonhole principle ?) в типичном виде (мы рассматривали 0.5- окрестности призм. Если бы их суммарный объем оказался меньше "внутренней" части куба (состоящей из точек, удаленных более чем на 0.5 от края куба), то задача бы решилась). Но - не получилось.
Вторая попытка (это, фактически, также попытка применить принцип Дирихле, но в другой редакции) состояла в следующем. Мы пытались в кубе со стороной 8 расположить 41 точку (или, что тоже самое, в кубе со стороной 9 расположить 41 сферу радиуса 0.5) так, чтобы их попарные расстояния оказались не менее 3.54 = 1 + диагональ призмы. Если бы это удалось, то задача была бы решена (действительно, тогда каждая призма пересекает не более одной сферы; сфер - 41, а призм -40....). Однако, все мои многочисленные попытки разместить так точки оказались безуспешными. Обсуждение этих попыток, и выводы - ниже.

[DeBill]

ins-

Одна из попыток - забавна:
Куб со стороной 8 содержит $9^3 = 729$ точек с целыми координатами. $\frac{729}{40} >18$. Рассмотрим сравнения $a\cdot x +b\cdot y +c \cdot z = C (\mod 18)$, $C = 0,1,2,...,17$. Значит, для некоторого $C$
это сравнение имеет не менее 41 решения в нашем кубе. Эти решения и отметим. Если бы оказалось, что для всякого ненулевого решения $(x,y,z)$ однородного уравнения

$a\cdot x +b\cdot y +c \cdot z = 0 (\mod 18)$

выполняется условие $x^2 + y^2 +z^2 > a^2$ , где $a=3.54$, то всё получилось бы. Увы, я перебрал все (?) тройки $a,b,c$ - для всех последнее условие не выполняется...

Rem. А как все таки выглядит кристаллическая решетка алмаза?

Вобщем, похоже, этот подход надо похоронить... Слишком он грубый: если бы это сработало, то то же самое решение прошло бы и для сфер (того же диаметра) вместо призм. Так что надо как то использовать то, что это все таки призмы...

-- 29.01.2016, 22:37 --

ins-
You wrote:
Problem 1. It can be solved just by observing $\frac{1}{a_n} \le 1$ and adding equations.
I did not understand.
Problem 6. ... Inscribed angles and trigonometry solve the problem.
Красивее - симметрией - т.е., так как в задаче 6. (Именно так доказывается экстремальность ортотреугольника в замечательной книге "Чила и фигуры".

[ins-]

About problem 1.
After squaring $a_{n+1} = a_n+\frac{1}{a_n}$ it is obvious $a_{n+1}^2=a_n^2+\frac{1}{a_n^2}+2$
We may conclude $a_{n+1}^2+2<a_{n+1}^2<a_n^2+3$. It is because $\frac{1}{a_n^2} < 1$
Then $a_{n+1}^2>a_0^2+2(n+1)$ => $a_{1974}^2 > 4+2.1974=3952>3844-62^2$ => $a_{1974}>62$
We also have $a_{n+1}^2<a_0^2+3(n+1)$ => $a_{1974}^2 < 4+3.1974=5926<5929=77^2$ => $a_{1974}<77$

This problem was also proposed for IMO by another country in the same or previous year.
What I wrote is a solution from the book I have. For Problem 6. - it is not solved in the book - it was mine idea.

(Оффтоп)

Thanks for the attempts to solve the problem. It is fully possible to have some mistakes in the solution they had in mind. Sometimes in Regional Round appears hard problems. If you like I can post some more problems from this competition that I think are interesting or hard or some problems, created by me. From time to time I create some problems in geometry. About this competition - in 1998 I reached regional round. Now I'm reading some books about computers and started a long journey through these problems - I started since 1960 and I try to find solutions to the problems, not solved in the book and to understand the solutions of the other problems. It is some strange way for me to feel good.

[DeBill]

ins-

ins- писал(а):

About problem 1.

Excellent!

Про первый способ: я пересчитал объем 0.5-окрестности призмы (раньше у меня была ошибка).
Получилось: объем всех 40 окрестностей равен 543, что совсем чуть-чуть больше, чем объем куба с ребром 8.
Не хватает совсем немного. Возможно, учет того, что эти окрестности должны около ребер большого куба быть ближе (выходить за пределы куба с ребром 8) (ранее вы писали именно об этом, да?), поможет. Примерно так: каждая точка из каркаса (объединения всех ребер) куба с ребром 8 должна быть накрыта некоторой 0.5-окресностью. Посмотрим, на сколько наши окрестности выходят за пределы кубика. В двумерном случае я бы это сделал.

Модельная задача: Рассмотрим прямой угол с вершиной на окружности радиуса 1. Какую наибольшую по площади часть круга может накрыть этот угол? Решение: угол накрывает полкруга и прямоуольный треугольник с гипотенузой 2. Значит, вне угла окажется не менее чем $\frac{\pi}{2} - 1$ . Ну, это мы рассмотрели , что будет в сечениях. Соответствующий объем получим, умножив на общую длину ребер; получается около 53 - хватает! Но, конечно, надо еще учесть, что в углах куба мы будем иметь наложение, так что получится меньше. И, конечно, надо как-то обосновывать, что у нас будет не хуже, чем в рассмотренной модельной задаче... Вобщем, еще надо повозиться. Но в целом - Ваша идея с рассмотрением реберных и угловых точек выглядит очень перспективно!
Удачи!

Ой, у нас же радиус 0.5...Черт возьми, опять не получается. Что ли, учитывать еще и наложения окрестностей??
Ужас какой-то...
Ну всё, я сдаюсь.

-- 30.01.2016, 00:53 --

А может, 0.5-окресность призмы не может накрыть более 18 точек с целыми координатами???

[ins-]

Thank you!
Once I composed a problem inspired by one of All Russian MOs and after some time a guy from Italy told me - it was given in 1993 on Romanian TST. This problem was solved by TOTAL and another guy on this site. It means TOTAL is very experienced in geometry, you also have lots of experience. I have some experience, a friend of mine is very experienced, too and we are all without solutions to this problem. We have some possibilities:
1. The problem may be correct but the author's idea for solution to be wrong;
2. The problem to be wrong as a statement;
3. The problem and solution are correct but the solution is not intuitive.
If we are in case 1. and 2. we have maybe not solvable problem. On some competition it happens in Bulgaria - in 10-th grade on municipality round of Bulgarian MO I saw the following problem: Find all integer numbers $m$, such that $7m^2+10m-8$ is a square of an integer. What they did was - they copied it from a magazine, but ... the solution in the magazine was wrong :). Then I published the problem in another magazine, but there was no complete solution again. So in that case we just loose our time, but it is provocative and may lead to another, new problem.
If we are in 3. - it is fully possible that the solution may be found after a long period of time. I wasn't capable to solve some problems for years, but then solved them.

A sphere with radii 0,5 may contains at most 4 points with integer coordinates. For prism, surrounded by 0,5 layer the points with integer coordinates are at most 27. It seems a very good idea. We may put the 9x9x9 cube at the beginning of the coordinate system. To not have a prism with radii 0,5 inscribed in the 9x9x9 cube - we should prove that all the points with integer coordinates that are not on its walls are inside one of the prisms. If we take the bottom layer it seems we cannot occupy all the points with integer coordinates by prisms with dimensions 2,5*2,5*2,4 / the new prisms with the layer /. But I don't know how to prove my last statement. I think some playing with the corners may be enough to prove it and thus - the problem to be solved.

[DeBill]

Нет, легко может.
А может, 0.5-окрестность не покрывает более 122 точек с полуцелыми координатами?
О, от вас - сообщение.
prism, surrounded by 0,5...- я называю это 0.5-окрестностью (она состоит из точек,
расстояние от которых до призмы не превышает 0.5).
Нда, я боюсь, что имеет место третья возможность...
Или неточности в формулировке. Может, сферы можно распологать и строго внутри призм?
Или: сферы ДИАМЕТРА 0.5?


$7m^2+10m-8 =x^2$

Хорошее уравнение... Хуже уравнения Пелля. И частные решения есть - надо искать бесконечную серию...

[ins-]

I think it is easier than we expected. Put the 9*9*9 cube in a 3D coordinate system. Let the cube be $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Put the vertex $A$ at the point with coordinates $(0,0,0)$. The point with coordinates $(0.5,0.5,1)$ should be contained in a prism with dimensions $1,5*1,5*1,4$. But if that point is surrounded by such a prism - the surrounding 3 or 7 points corners on a grid with size 1 should be in the same prism. With similar constructions we can get on the first layer at least 4*4 = 16 prisms. on the second 16 and i think this solves the problem. The key moments are 1) coordinate system 2) integer coordinates and 3) prism in the corner.

[DeBill]

$7m^2+10m-8 =x^2$

$49m^2 +70m-56 =7x^2$

$(7m +5)^2 -81 =7x^$

$7m+5 =a~~~ a^-7x^2=81$

$a=9u, x=9v~~~$ $u^2-7v^2=1$

Здесь, конечно, мы потеряли часть решений (в частности, решение $a_0=12, x_0=3$). зато
получили уранение Пелля!

Его примитивное решение :$u_0=8, v_0=3$. Далее их будем размножать - как обычно, по формулам:

$a_{n+1}=a_n \cdot u_0 +7 x_n \cdot v_0, x_{n+1}= x_n \cdot u_0 + a_n \cdot v_0$.

Например, $ a_1=159, x_1 = 60, m_1 =22$...
В результате получим ВСЕ решения

-- 30.01.2016, 02:54 --

Good bye!

[ins-]

Thank you for the solution! In what they shown as an official solution - it was written the equation, solved by you have finite set of solutions :) My "solution" to the initial problem is wrong again but it may have some useful moments.

[Lia]

ins- в сообщении #1095200 писал(а):

On some competition it happens in Bulgaria - in 10-th grade on municipality round of Bulgarian MO I saw the following problem: Find all integer numbers $m$, such that $7m^2+10m-8$ is a square of an integer.

ins-
Большая просьба размещать в теме не более одной задачи.

По крайней мере, делайте так, чтобы название темы соответствовало содержанию.

[ins-]

Lia,

Excuse me for posting this problem in a topic, dedicated to another problem. It was just an example of a problem with wrong solution and I think I posted it before on dxdy.

DeBill,

I think - this time I may come with a correct solution, thanks to you. Together we are stronger!

Solution:
Cube with edge 9 $ABCDA_1B_1C_1D_1$ is at the beginning of the 3D coordinate system Oxyz (all its points are with positive coordinates)
As we calculated in the previous posts every prism with dimensions 1,5*1,5*1,4 is contained in a sphere with radius 1,3. Such a sphere may
contains at most 9 points with integer coordinates. 40 such spheres may occupy 40*9 = 360 points with integer coordinates.
$ABCDA_1B_1C_1D_1$ on its walls and inside it 9*9*9 = 729 points with integer coordinates.
Let's start "occupying" points from a small cube with edge 1 with its center same as the center of the $ABCDA_1B_1C_1D_1$.
In this way we may occupy a cube with edge less than 8 (it is because the spheres may occupy at most 360 points with integer coordinates, but cube with edge 8 occupies 8*8*8=512 points with integer coordinates). It shows that we have at least 1 cube with edge 1 outside the cube with edge 8 and the center same as $ABCDA_1B_1C_1D_1$'s center that is not contained in our 40 spheres. But inside this cube we can inscribe a sphere with radii 0,5 as desired.

It solves our problem and looks simple - probably it is the reason for giving for this problem 6 points (not many). It is just not a standard problem and requires non-standard thinking.