Доказать, что 1 2 3 2 4 3 5 4 6 4 не является ограниченной

[Ktina]

Рассмотрим последовательность 1, 2, 3, 2, 4, 3, 5, 4, 6, 4, ....
$n$-ный её член выражает наименьшее число факториалов, дающих в сумме $n$-ное простое число.
Например, число 11 (являющееся пятым по счёту простым числом) можно представить в виде суммы четырёх факториалов $(3!+2!+2!+1!=11)$, а в виде суммы меньшего числа фаткориалов - нельзя.

Доказать, что вышеописанная последовательность не является ограниченной.

[arseniiv]

Иначе говоря, надо показать, что в каждом $\mathbb N\setminus A_n$ содержится как минимум одно простое; $A_n$ — множество чисел, представимых суммой $n$ факториалов и единицы (сразу выкинем заведомо непростые суммы). Верно переформулирую?

[Ktina]

arseniiv в сообщении #1093719 писал(а):

Иначе говоря, надо показать, что в каждом $\mathbb N\setminus A_n$ содержится как минимум одно простое; $A_n$ — множество чисел, представимых суммой $n$ факториалов и единицы (сразу выкинем заведомо непростые суммы). Верно переформулирую?

Я думаю, да.
Потому что если, скажем, в подмножестве $\mathbb N\setminus A_{2016}$ нет простых чисел, то любое простое число можно представить в виде суммы 2016 факториалов и единицы. Но тогда в нашей последовательности все члены были бы не больше 2016.
Как-то так?

[Ktina]

arseniiv
Э, нет.
Здесь что-то не так.
Число 2 входит во все описанные Вами подмножества, кроме первого. И что это доказывает?

[NSKuber]

Пусть $A_n$ - множество всех чисел, представимых суммой $n$ или меньшего числа факториалов. Сколько чисел в $A_n$ не превосходит $n!-1$? Столько, сколько может быть различных сумм $n$ или меньшего числа факториалов, каждый из которых не превосходит $(n-1)!$. Таких различных сумм $\binom{2n-1}{n-1}$. Асимптотически - $\frac{2^{2n-1}}{\sqrt{\pi n}}$. А простых чисел, не превосходящих $n!-1$ асимптотически $\frac{n!}{\ln(n!)}$. Второе выражение быстрее стремится к бесконечности, значит найдётся $N$ такое, что для любого $n>N$ простых чисел, меньших $n!$ больше, чем чисел, меньших $n!$ и представимых в виде суммы $n$ или меньшего числа факториалов, значит для любого $n>N$ найдётся простое, не представимое в виде суммы $n$ или меньшего числа факториалов, ч.т.д.

[Ktina]

NSKuber
Спасибо!

[Andrey A]

Ktina в сообщении #1093711 писал(а):

Рассмотрим последовательность 1, 2, 3, 2, 4, 3, 5, 4, 6, 4, ... не является ограниченной.

Ряд простых в факториальной системе счисления (без запятых):
$10;11;21;101;121;201;221;301;321;1021;...$ Суммы "Цифр" $s$ соответствуют Вашей последовательности. Если она ограничена, то дальше некоторого порога $s$ - все составные. Для чисел вида $n!-1$ во всяком случае $s=n(n-1)/2$ растет, а известно только что $p\mid (p-2)!-1$ при простом $p$.
В $p$-ичных системах такое предположение означало бы конечное количество простых из единиц (суммы степенного ряда).