Пусть

- множество всех чисел, представимых суммой

или меньшего числа факториалов. Сколько чисел в

не превосходит

? Столько, сколько может быть различных сумм

или меньшего числа факториалов, каждый из которых не превосходит

. Таких различных сумм

. Асимптотически -

. А простых чисел, не превосходящих

асимптотически

. Второе выражение быстрее стремится к бесконечности, значит найдётся

такое, что для любого

простых чисел, меньших

больше, чем чисел, меньших

и представимых в виде суммы

или меньшего числа факториалов, значит для любого

найдётся простое, не представимое в виде суммы

или меньшего числа факториалов, ч.т.д.