По настороженной реакции участников форума на предварительный вариант моего доказательства частного случая ВТФ: соседние кубы в предыдущей теме можно сделать вывод о том, что существует не понимание: каким боком треугольные числа относятся к ВТФ. Постараюсь объяснить это по подробнее. Вспомним формулировку ВТФ данную самим Ферма:"Невозможно разложить куб на два куба, биквадрат - на два биквадрата и, вообще, любую степень целого числа - на два числа той же степени."Однако, при попытках доказательства ВТФ практически всегда используется другая формулировка:"Невозможно найти два целых числа сумма степеней которых была бы равна той же степени другого целого числа". С токи зрения формальной логики и здравого смысла- обе формулировки одинаковы.Но история науки,особенно физики в 20-ом веке,знает множество примеров, когда формальная логика заводила учёных в такие дебри,выход от куда был возможен только при полном отказе от формальной логики и принятии совершенно сумашедших с точки зрения здравого смысла теорий.Для физика или химика,привыкших связывать свойства изучаемого объекта с его внутренней структурой,формулировка Ферма более информативна,чем традиционная формулировка. Ферма словно говорит нам:"Ребята!Степени целого числа-не просто числа.Они имеют сложную внутреннюю структуру.Их можно раскладывать на части, сравнивать эти части.Свойства этих чисел, в основном, определяются этой внутренней структурой." Если принять эту подсказку Ферма в качестве руководства к действию,то необходимо прежде всего отыскать формулу внутренней структуры степеней целых чисел.Естественно,начать следует с кубов.
Классическая формула для куба
мало что нам даёт в этом плане,скорее она как раз и толкает нас из-за этого к традиционной формулировке ВТФ. Преобразуем её следующим образом:
Получаем удивительную формулу:любой куб является произведением трёх соседних чисел плюс небольшой хвостик равный основанию куба. Но этот хвостик является,как раз, тем хвостом, который "виляет"собакой.
Уже в таком предварительном виде эта формула даёт нам возможность судить о внутренней структуре куба.Представим её в следующем виде:
где
математическая прогрессия или треугольное число.
Отсюда мы видим, что основное тело куба состоит из треугольных чисел.Теперь вполне естественно попробовать с помощью этой формулы доказать частный, но очень важный случай ВТФ: соседние кубы.
Необходимо доказать, что разность кубов соседних целых чисел не может быть кубом целого числа,т.е. равенство
не может быть справедливым для любых не тривиальных целых чисел
.
Для записи
воспользуемся как раз найденной формулой внутренней структуры куба
:
. Тогда равенство
примет следующий вид:
Без ограничения общности положим
, где
-любое целое число,
, где
, где
-любое целое число.
Тогда наше равенство примет следующий вид
Разделив обе части на 6, получим
или
Для удобства введём следующее обозначение:любое треугольное число
будем обозначать
, т.е
.Перепишем наше равенство в этом обозначении:
Таким образом , равенство
. превращается в равенство
и для доказательства несправедливости равенства
необходимо доказать, несправедливость равенства
в области целых чисел т.е. помним , что значения
только целые.
Выразим в равенстве
число
,воспользовавшись законом преобразования треугольных чисел- умножения треугольного числа на целочисленный коэффициент,который получается из основного для треугольных чисел закона -закона сложения треугольных чисел,как было показано в предыдущей теме:
Получим
И равенство
принимает вид
Преобразуем его следующим образом:
Отсюда видно, что по абсолютной величине число
значительно больше числа
т.е.
Следовательно,число
мы всегда можем представить в виде
,где
-количество вычетов из прогрессии её последних членов до получения прогрессии или треугольного числа
Поскольку мы рассматриваем только целые числа,то и
будет целым числом, удовлетворяющим
неравенству
Для нахождения разности двух четных треугольных чисeл не трудно получить следующую формулу:
. Применим её к нашему случаю:
Подставим его в наше равенство:
Осталось найти
при котором
Причём помним, что
. После преобразований этого равенства получим:
Очевидно,что для выполнения этого равенства необходимо что бы
,где
-целое число.Подставим это
в равенство
и проведя преобразования получим:
Для выполнения этого равенства необходимо что бы
,где
-целое число,причём
,следовательно
т.е. допустимые значения
и
Подставим это значение
в равенство
и проведя преобразования получим:
Легко проверить, что при всех допустимых значениях
равенство
не выполняется.
Следовательно не существует таких значений
при котором выполнялось бы равенство
.
Таким образом,предположение о том,что разность кубов соседних целых чисел может быть равна кубу целого числа оказывается действительно не верным, поскольку не выполняется равенство
,которое было получено из этого предположения.
Как мы видим новая формула представления куба с учетом его внутренней структуры,имеющей в основе своей - треугольные числа, позволила получить весьма надёжное,на мой взгляд,доказательство частного случая ВТФ, поскольку оно опирается на единственный фундаментальный закон -закон сложения треугольных чисел.
Однако это доказательство является ,как бы, самодостаточным:оно не показывает механизм возникновения противоречия в явном виде,но это уже - другая тема.