Подсказка Ферма.Доказательство част.случая ВТФ:соседние кубы

[PhisicBGA]

По настороженной реакции участников форума на предварительный вариант моего доказательства частного случая ВТФ: соседние кубы в предыдущей теме можно сделать вывод о том, что существует не понимание: каким боком треугольные числа относятся к ВТФ. Постараюсь объяснить это по подробнее. Вспомним формулировку ВТФ данную самим Ферма:"Невозможно разложить куб на два куба, биквадрат - на два биквадрата и, вообще, любую степень целого числа - на два числа той же степени."Однако, при попытках доказательства ВТФ практически всегда используется другая формулировка:"Невозможно найти два целых числа сумма степеней которых была бы равна той же степени другого целого числа". С токи зрения формальной логики и здравого смысла- обе формулировки одинаковы.Но история науки,особенно физики в 20-ом веке,знает множество примеров, когда формальная логика заводила учёных в такие дебри,выход от куда был возможен только при полном отказе от формальной логики и принятии совершенно сумашедших с точки зрения здравого смысла теорий.Для физика или химика,привыкших связывать свойства изучаемого объекта с его внутренней структурой,формулировка Ферма более информативна,чем традиционная формулировка. Ферма словно говорит нам:"Ребята!Степени целого числа-не просто числа.Они имеют сложную внутреннюю структуру.Их можно раскладывать на части, сравнивать эти части.Свойства этих чисел, в основном, определяются этой внутренней структурой." Если принять эту подсказку Ферма в качестве руководства к действию,то необходимо прежде всего отыскать формулу внутренней структуры степеней целых чисел.Естественно,начать следует с кубов.
Классическая формула для куба $x =xxx$ мало что нам даёт в этом плане,скорее она как раз и толкает нас из-за этого к традиционной формулировке ВТФ. Преобразуем её следующим образом:

$$x^3 = x(x^2) = x(x^2 - 1 + 1) =(x-1)x(x+1) + x . (1)$$

Получаем удивительную формулу:любой куб является произведением трёх соседних чисел плюс небольшой хвостик равный основанию куба. Но этот хвостик является,как раз, тем хвостом, который "виляет"собакой.
Уже в таком предварительном виде эта формула даёт нам возможность судить о внутренней структуре куба.Представим её в следующем виде:

$$x^3 = 2(x-1)x(x+1)/2 + x = 2(x-1)< x > + x $$

где $< x >= 1+2+3+.....+x $ математическая прогрессия или треугольное число.
Отсюда мы видим, что основное тело куба состоит из треугольных чисел.Теперь вполне естественно попробовать с помощью этой формулы доказать частный, но очень важный случай ВТФ: соседние кубы.
Необходимо доказать, что разность кубов соседних целых чисел не может быть кубом целого числа,т.е. равенство

$$(y+1)^3 - y^3 = x^3 .(2)$$

не может быть справедливым для любых не тривиальных целых чисел $x,y $.
Для записи $ x^3 $ воспользуемся как раз найденной формулой внутренней структуры куба $(1)$:
$x^3= (x-1)x(x+1)+x$. Тогда равенство $(2)$ примет следующий вид:

$$ 3y(y+1) + 1 = (x-1)x(x+1)+x $$

$$ 3y(y+1) = (x-1)x(x+1)+ (x-1) $$

Без ограничения общности положим $ y = 2c $, где $c $-любое целое число,
$ x = 2a +1 $, где $ a = 3n $, где $ n $-любое целое число.
Тогда наше равенство примет следующий вид

$$ 6c(2c+1) = 6n(6n +1)(6n+2)+ 6n $$

Разделив обе части на 6, получим

$$ c(2c+1) = n(6n +1)(6n+2)+ n $$

или

$$ 2c(2c+1) /2 = 2n(6n +1)(6n+2)/2+ n $$

Для удобства введём следующее обозначение:любое треугольное число $z(z+1)/2 = 1+2+3+....+ z$ будем обозначать $< z >$, т.е $ < z > = z(z+1)/2 = 1+2+3+....+ z $.Перепишем наше равенство в этом обозначении:

$$ <2c> = 2n <6n+1> + n .(3)$$

Таким образом , равенство $(2) $. превращается в равенство $(3) $ и для доказательства несправедливости равенства $(2) $ необходимо доказать, несправедливость равенства $(3) $ в области целых чисел т.е. помним , что значения $n $
только целые.
Выразим в равенстве $(3) $ число $ 2n <6n+1> $ ,воспользовавшись законом преобразования треугольных чисел- умножения треугольного числа на целочисленный коэффициент,который получается из основного для треугольных чисел закона -закона сложения треугольных чисел,как было показано в предыдущей теме:

$$ n<x >= <nx> - <n-1>x^2 $$

Получим

$$ 2n<6n+1> = <2n(6n+1) > - <2n-1>(6n+1)^2 = <2n(6n+1> - n(2n-1)(6n+1)^2 $$

И равенство $(3) $ принимает вид

$$ <2c> = < 2n(6n+1) > - <2n-1>(6n+1)^2 + n .(3) $$

Преобразуем его следующим образом:

$$ < 2n(6n+1) > - <2c> = <2n-1>(6n+1)^2 - n .(3) $$

Отсюда видно, что по абсолютной величине число$< 2n(6n+1) >$ значительно больше числа$<2c>$ т.е. $|< 2n(6n+1) >| >> |<2c>|$
Следовательно,число $<2c>$ мы всегда можем представить в виде

$$ <2c> =< 2[n(6n+1)-k] >$$

,где $k $ -количество вычетов из прогрессии её последних членов до получения прогрессии или треугольного числа $<2c>$
Поскольку мы рассматриваем только целые числа,то и $k $ будет целым числом, удовлетворяющим
неравенству $ k < 6n^2+n $
Для нахождения разности двух четных треугольных чисeл не трудно получить следующую формулу:

$$<2n>-<2(n-k)> = k( 4n+1-2k ) $$

. Применим её к нашему случаю:

$$ <2n(6n+1)>-<2[n(6n+1)-k]> = k[ 4n(6n+1)+1-2k] $$

Подставим его в наше равенство:

$$ k[ 4n(6n+1)+1-2k] = n(2n-1)(6n+1)^2 - n .(3) $$

Осталось найти $ k $ при котором

$$ n(2n-1)(6n+1)^2 - k[ 4n(6n+1)+1-2k] = n .(3)$$

Причём помним, что $ k < 6n^2 +n $. После преобразований этого равенства получим:

$$72n^4-12n^3-(24k+10)n^2-(4k+2)n+(2k-1)k = 0 .(4)$$

Очевидно,что для выполнения этого равенства необходимо что бы $k=bn$,где $b < 6n+1 $-целое число.Подставим это $k=bn$ в равенство $(4)$ и проведя преобразования получим:

$$72n^3-(24b+12)n^2+(2b^2-4b+10)n-(b+2) = 0 .(5)$$

Для выполнения этого равенства необходимо что бы $b+2 =zn$,где $z $-целое число,причём $ b=zn -2 < 6n+1 $,следовательно $ zn < 6n+3$ т.е. допустимые значения $ z < 6 $ и $ z= 6$
Подставим это значение $b=zn-2$ в равенство $(4)$ и проведя преобразования получим:

$$(72+2z^2-24z)n^2+(36-12z)n+ 6-z =0 .(6)$$

Легко проверить, что при всех допустимых значениях $ z $ равенство $(6)$ не выполняется.
Следовательно не существует таких значений $ k $ при котором выполнялось бы равенство $(3)$.
Таким образом,предположение о том,что разность кубов соседних целых чисел может быть равна кубу целого числа оказывается действительно не верным, поскольку не выполняется равенство $ (3)$,которое было получено из этого предположения.
Как мы видим новая формула представления куба с учетом его внутренней структуры,имеющей в основе своей - треугольные числа, позволила получить весьма надёжное,на мой взгляд,доказательство частного случая ВТФ, поскольку оно опирается на единственный фундаментальный закон -закон сложения треугольных чисел.
Однако это доказательство является ,как бы, самодостаточным:оно не показывает механизм возникновения противоречия в явном виде,но это уже - другая тема.

[vasili]

Уважаемый Phisic BGA! В уравнении (6) что является неизвестным? Если z, то имеем уравнение
$2n^2z^2 - z(24n^2 +12n + 1) + (78 + 36n) = 0$, откуда z существует , так как дискриминант
$(24n^2 +12n + 1)^2 - 8n^2(78 +36n) > 0$.
Если переменная n, то при $z>6$ из уравнения (6) следует,что $n >0$.
Если $z, n$ переменные, то мы имеем неопределенное уравнения.

[PhisicBGA]

Цитата:

В уравнении (6) что является неизвестным?

Уважаемый vasili!Как следует из приведённого выше доказательства, в уравнении (6) неизвестным является $n$-любое целое число, а $z$ - параметр,который может принимать только следующие допустимые значения:$z =1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 $ , что следует из неравенства $ zn < 6n + 3$. Нетрудно убедиться, что при всех допустимых значениях $ z $ равенство $(6)$ не выполняется:
$ z $ =1 ........................ $50 n^2+ 24 n+ 5 =0 $
$ z $ =2 ........................ $ 8n^2+ 3 n+ 1 =0 $
$ z $ =3 ........................ $ n^2+ 1 =0 $
$ z $ =4 ........................ $ 4 n^2- 6 n+ 1 =0 $
$ z $ =5 ........................ $ 2n^2 - 24 n+ 1 =0 $
$ z $ =6 ........................ $ - 36 n =0 $

[venco]

PhisicBGA в сообщении #1091597 писал(а):

Следовательно,число $<2c>$ мы всегда можем представить в виде

$$ <2c> =< 2[n(6n+1)-k] >$$

,где $k $ -количество вычетов из прогрессии её последних членов до получения прогрессии или треугольного числа $<2c>$

Вот начиная с этого "Следовательно" мне непонятно. Поподробнее, пожалуйста.

[vasili]

Уважаемый Phisic BGA! Вы хотите сказать, что при любых значениях числа z из уравнения (6) следует. что n - число не целое, что противоречит начальным условиям.?

[PhisicBGA]

venco писал(а):

Вот начиная с этого "Следовательно" мне непонятно. Поподробнее, пожалуйста.

Действительно,этот важный момент требует более подробного рассмотрения.Рассмотрим равенство $(3) $ :

$$ <2c> = < 2n(6n+1) > - <2n-1>(6n+1)^2 + n = < 2n(6n+1) > - [n(2n-1)(6n+1)^2 - n ] .(3) $$

Поскольку $< 2n(6n+1) >$ - треугольное число, т.е арифметическая прогрессия,его можно расписать так :
$< 2n(6n+1) > = 1+2+3+.....+[2n(6n+1) - 2k] +[2n(6n+1) - (2k -1)] + [2n(6n+1) - (2k-2)] +.....+[2n(6n+1) - 2]+[2n(6n+1) - 1] + 2n(6n+1) $.
Начнём последовательно суммировать последние члены этой прогрессии и ,если равенство $(3) $ верно, то на 2k-ом шаге этой процедуры сумма станет равна вычитаемому члену равенства:
$[2n(6n+1) - (2k -1)] + [2n(6n+1) - (2k-2)] +.....+[2n(6n+1) - 2]+[2n(6n+1) - 1] + 2n(6n+1) = n(2n-1)(6n+1)^2 - n $.
Тогда равенство $(3) $ превратится в следующее равенство:

$$ <2c> = 1+2+3+........+[2n(6n+1) - 2k] = < 2n(6n+1)- 2k > .(3) $$

Следовательно,условие справедливости равенства $(3) $ будет:
$[2n(6n+1) - (2k -1)] + [2n(6n+1) - (2k-2)] +.....+[2n(6n+1) - 2]+[2n(6n+1) - 1] + 2n(6n+1) = < 2n(6n+1) > - < 2n(6n+1)- 2k > = n(2n-1)(6n+1)^2 - n $.
И далее - по тексту доказательства.

vasili писал(а):

Вы хотите сказать, что при любых значениях числа z из уравнения (6) следует. что n - число не целое, что противоречит начальным условиям.?

Подобное утверждение в данном случае не имеет смысла : допустимые значения параметра $z$ определяются допустимыми значениями $k$-количеством вычетов из прогрессии$< 2n(6n+1) >$ её последних членов.Поскольку мы рассматриваем только целые числа,то и $k $ будет целым числом, удовлетворяющим неравенству $ k < 6n^2+n $. Поэтому все наши фантазии относительно $z > 6$ будут нас выбрасывать за пределы рассматриваемой прогрессии и не будут иметь ничего общего с реальной действительностью.

[venco]

Ок, понятно, что вы здесь имели в виду.
Далее.

PhisicBGA в сообщении #1091597 писал(а):

После преобразований этого равенства получим:

$$72n^4-12n^3-(24k+10)n^2-(4k+2)n+(2k-1)k = 0 .(4)$$

Очевидно,что для выполнения этого равенства необходимо что бы $k=bn$,где $b < 6n+1 $-целое число.

Совершенно не очевидно, по крайней мере, мне. Поподробнее, пожалуйста.

[PhisicBGA]

venco писал(а):

Совершенно не очевидно, по крайней мере, мне. Поподробнее, пожалуйста.

Да,следует признать,что здесь я допустил ошибку: $k=bn$,где $b < 6n+1 $-целое число - это частный случай, а в общем случае $ <2k-1> = bn$. Надо подумать.Большое спасибо,уважаемый venco ,за найденную ошибку.

[vasili]

Уважаемый Phisic BGA! Вы пишите ..."в общем случае $ <2k-1> = bn$"...., тогда $k(k-1) = bn = k$, что возможно только при $k = 2$. А значит $n = (1, 2)$, $x = 6n +1 =(7,13)$.

[PhisicBGA]

vasili писал(а):

Вы пишите ..."в общем случае $ <2k-1> = bn$"...., тогда $k(k-1) = bn = k$

Уважаемый vasili!Всё гораздо хуже:выполнение условия $ <2k-1> = bn$" возможно в трёх случаях:

$$1....................... k=bn $$

$$2....................... 2k-1=bn $$

$$3....................... 2k^2 - k = bn$$

Первый случай я рассмотрел,а два остальных-нет.Второй случай рассмотреть можно,а что делать с третьим-чесно говоря не знаю:здесь $k$ ищется из квадратного уравнения $ 2k^2- k-bn = 0 $

[yk2ru]

3 случай. $k={k_1}n$ и $b=b_1{k_1}$.
также - $2k={k_1}n+1$ и $b=b_1{k_1}$.

[vasili]

Уважаемый PhisicBGA! Вы пишете$ <2k-1> = bn$",
возможно в трёх случаях:

$$1....................... k=bn $$

$$2....................... 2k-1=bn $$

$$3....................... 2k^2 - k = bn$$

.
Из (4) следует, что число k кратно числу n. И вы правильно записали $k = bn$, тогда из уравнения

$2k^2-k-bn = 0$ имеем $2(bn)^2 -2bn=0$, отсюда $bn = 1$. Тот же результат получим и из уравнения $2k -1 =bn$.

[PhisicBGA]

Может я что-то неправильно понимаю? Имеем уравнение :

$$72n^4-12n^3-(24k+10)n^2-(4k+2)n+(2k-1)k = 0 .(4)$$

Оно может выполнятся, когда $(2k-1)k$ кратно $n$.Это возможно в трёх случаях:
случай 1, когда число $k$ кратно числу $n$ т.е. $k =bn $. Подставляем в уравнение и рассматриваем.Рассмотрели.
случай 2, когда число $2k-1$ кратно числу $n$ т.е. $2k-1=bn $. Отсюда получаем $k=(bn-1)/2 $ Подставляем в уравнение и рассматриваем. Не рассмотрел.
случай 3, когда число $2k^2 -k$ кратно числу $n$ т.е. $2k^2 - k=bn $. Отсюда (из уравнения $2k^2 - k- bn = 0$ ) необходимо получить$k $ и подставить в уравнение.Не знаю как это сделать . Не рассмотрел.
Уважаемый yk2ru!Если Вас не затруднит,распишите по подробнее Ваше предложение для случая 3.

[yk2ru]

Не то написал, пропускайте. Подставляйте в выражение $2k^2-k$ любое положительное число $k>0$ и получите ваше треугольное число, так что целое число $k$ получаете решением, если $bn$ - треугольное число $(1, 6, 15, 28, ...)$ .

[vasili]

Уважаемый PhisicBGA! Решая уравнение $2k^2-k-bn=0$ получим дискриминант $1 + 8bn$, который будет квадратом целого числа, если $bn = 1,3,6,10,15,21,.......$, т.е. треугольным числом, на что правильно указывает yk2ru.