Вопрос по правилу Лопиталя

[JuliaWhitem]

Добрый день. Помогите разобраться с таким моментом по правилу Лопиталя. В формулировке этого правила в Фихтенгольце, Никольском, по формуле, выданной семинаристом,

$$\lim\limits_{x\to a}^{}$$

а у лектора

$$\lim\limits_{x\to a+}^{}$$

Не могу найти объяснения формулировке лектора. И есть ли разница? Если есть, то почему не рассматривается левая полуокрестность точки $a$?
Надеюсь на помощь.

[Xaositect]

Посмотрите доказательство правила Лопиталя и поймите, что оно для одностороннего предела тоже сработает. А лектор сам доказательства не давал?

[Karan]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[ewert]

JuliaWhitem в сообщении #1089912 писал(а):

Не могу найти объяснения формулировке лектора. И есть ли разница?

Просто у лектора логически проще и, в известном смысле, сильнее. Непосредственно доказывается это правило именно для односторонних пределов. Результат же для двусторонних -- это уже очевидное следствие.

[JuliaWhitem]

Xaositect в сообщении #1089916 писал(а):

Посмотрите доказательство правила Лопиталя и поймите, что оно для одностороннего предела тоже сработает. А лектор сам доказательства не давал?

Смотрела, в принципе да, у Фихтенгольца это понятно. Лектор давал доказательство именно с правым пределом, не объясняя, почему именно правый (ну, или я забыла).

ewert в сообщении #1089968 писал(а):

Просто у лектора логически проще и, в известном смысле, сильнее. Непосредственно доказывается это правило именно для односторонних пределов. Результат же для двусторонних -- это уже очевидное следствие.

В общем, оба доказательства в какой-то мере равносильны.

Спасибо за ответы, вроде поняла.

[bot]

JuliaWhitem в сообщении #1089978 писал(а):

Лектор давал доказательство именно с правым пределом

А есть принципиальная разница между пределом справа и пределом слева? Можете потренироваться и переложить сами доказательство лектора на левый случай.

-- Вт янв 12, 2016 10:03:06 --

А, к примеру, Вас не удивило, что существование предела монотонной ограниченной последовательности, Ваш лектор доказывал тоже для одного случая? Скорее всего - для возрастающей.

-- Вт янв 12, 2016 10:08:05 --

Хотя нет - если Лопиталь у него справа, то логично предположить, что монотонность у него вниз.

[JuliaWhitem]

bot в сообщении #1090078 писал(а):

А, к примеру, Вас не удивило, что существование предела монотонной ограниченной последовательности, Ваш лектор доказывал тоже для одного случая? Скорее всего - для возрастающей.

да, для возрастающей, вниз же абсолютно аналогично

bot в сообщении #1090078 писал(а):

А есть принципиальная разница между пределом справа и пределом слева? Можете потренироваться и переложить сами доказательство лектора на левый случай.

в том доказательстве, которое он давал я этой разницы не вижу, поэтому и спрашиваю) Там переход идет через теорему Коши с заменой переменной на $c$.

[bot]

JuliaWhitem в сообщении #1090079 писал(а):

в том доказательстве, которое он давал я этой разницы не вижу, поэтому и спрашиваю

Ну, в таком случае логичнее было бы написать "... поэтому и не спрашиваю"

[ewert]

Кстати, Фихтенгольц -- он не секретен, в него можно и заглянуть. Он формулирует и доказывает правило Лопиталя для предела ровно справа. А про пределы слева и просто пределы -- кажется, вообще ничего не говорит (за ненадобностью).

[Munin]

JuliaWhitem в сообщении #1089978 писал(а):

Лектор давал доказательство именно с правым пределом, не объясняя, почему именно правый (ну, или я забыла).

Наверное, потому что лектор правша.

-- 12.01.2016 18:08:03 --

А левшам на экзамене разрешается рассказывать про левый предел.

[JuliaWhitem]

ewert в сообщении #1090089 писал(а):

Кстати, Фихтенгольц -- он не секретен, в него можно и заглянуть. Он формулирует и доказывает правило Лопиталя для предела ровно справа.

А это в каком? прямо сейчас посмотрела и в основы и в дифференциальное и интегральное исчисление - там правого точно нет, ну или издания разные, хотя не знаю, как такое может быть

Munin в сообщении #1090181 писал(а):

А левшам на экзамене разрешается рассказывать про левый предел.

ну, на экзамене мне не лопиталь попался, поэтому уже тему можно считать закрытой

[bot]

Про лево/праворуких подумал сразу, но убегал на экзамен - был дефицит времени подойти к вопросу со стороны психоаналитики, поэтому отложил. Вот плод моего анализа, не претендующий ни на полноту, ни на безгрешность - вообще ни на что. Всего лишь наблюдение на очень малой выборке из двух человек. Сказать социологам, у которых я экзамен принимал - засмеют. Так что очень прошу - не выдавайте.

Я - леворукий, поэтому мне толкать $x$ к $x_0$ удобнее левой рукой, поэтому правило Лопиталя доказываю для левосторонних пределов. Монотонную последовательность я толкаю тоже левой рукой - удобнее толкать, понятно, вправо, поэтому она у меня растёт.
К альтернативноруким отношусь толерантно и разрешаю студентам доказывать правило Лопиталя, теорему о монотонной последовательности (или функции) и некоторые другие (проверил себя сегодня на экзамене) хоть левой рукой, хоть правой.
Лектор (under discussion) правило Лопиталя доказывает правой рукой, а монотонную последовательность толкает левой. Ну, в таком случае в его толерантности тем более не приходится сомневаться.

[ewert]

JuliaWhitem в сообщении #1090342 писал(а):

прямо сейчас посмотрела и в основы и в дифференциальное и интегральное исчисление - там правого точно нет,

В ДИИ он точно есть, только Вы невнимательно читали формулировку. Правда, Фихтенгольц забыл поставить там плюсик под знаком предела; но это он явно просто по рассеянности. Но Вам-то кто мешал эту формулировку прочитать?... -- в совокупности она означает ровно правый предел, не больше и не меньше.