Колебания двух тел на пружине

[mindroz]

Имеется вот такая конструкция. Масса $m_2>m_1$, жесткость пружины $ k $ и сначала она сжата на $x$. Затем упор со стороны тела массой $m_1$ убирают. Необходимо найти максимальную скорость тела $m_2$ в процессе движения грузов.

Я знаю, что будут происходить колебания около центра масс системы, нашел скорость центра масс $ u; v $ - скорость левого тела после "распрямления" пружины.
ЗСЭ:
$ \frac{{kx}^{2}}{2}=\frac{{m_1v}^{2}}{2}$
$v=l \cdot\sqrt{\frac{k}{m_1}}$
ЗСИ:
$m_1v=(m_1+m_2)u$
$u=\frac{m_1v}{m_1+m_2}$

Нашел максимальную деформацию пружинки во время движения $x_{m}$:
$\frac{m_1v^2}{2}=\frac{kx_m^2}{2}+\frac{(m_1+m_2)u^2}{2}$
Подставляя выражения для $u$ и $v$ получаем:
$x_m=l\cdot\sqrt{\frac{m_2}{m_1+m_2}}$

А вот с максимальной скоростью что-то никак. Я думаю, что она будет максимальной, когда пружина будет не растянута, но не могу сам понять, как найти это максимальную скорость. Помогите, пожалуйста.

[Mihr]

mindroz, недостаточно заявить: я нашёл то-то и то-то. Продемонстрируйте, что у Вас получилось, тогда можно будет продолжить.

[Munin]

Вы можете найти максимальную скорость в системе отсчёта центра масс?

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[Mihr]

mindroz, подумайте: в момент отрыва второго груза от своего упора пружина деформирована или нет?
Затем ответьте на такие вопросы:
Какова скорость второго груза в системе отсчёта, связанной с центром масс колебательной системы, в этот момент?
В какой момент периода колебаний эта скорость будет максимальной в системе отсчёта, связанной со столом?
Мне кажется, ответив на эти вопросы, Вы самостоятельно вплотную подойдёте к ответу.

[mindroz]

В момент отрыва второго груза пружина не деформирована. А его скорость относительно центра масс равна $ -u$. Затем, при растягивании пружины, скорость второго груза будет увеличиваться. После того, как пружина растянется максимально и начнет сжиматься и до момента её не растянутого состояния скорость второго груза тоже будет увеличиваться, т.к. сила упругости пружинки, действующая на второй груз будет направлена в направлении движения центра масс.
Получается, что если отсчитывать время с момента отрыва второго груза, его максимальная скорость будет в момент $t=\frac{T}{2}$.
Меня сильно тормозит то, что два груза колеблются и я путаюсь. Скажите, пожалуйста, идею решения. Когда скорость будет максимальной?

[Munin]

mindroz в сообщении #1089809 писал(а):

Меня сильно тормозит то, что два груза колеблются и я путаюсь.

Я вам предложил простой способ рассуждения. Повторяю:

Munin в сообщении #1089613 писал(а):

Вы можете найти максимальную скорость в системе отсчёта центра масс?

Путь рассуждений Mihr тоже ведёт к ответу, но именно на нём вы путаетесь.

[Mihr]

mindroz,
немного странно. Вы почти всё сказали сами, но ответа всё же не увидели.
Вы верно говорите, что в системе отсчёта, связанной с центром масс осциллятора, в момент отрыва второго груза от опоры его скорость равна $-u$. Верно говорите, что в этот момент пружина не деформирована. Но ведь в тот момент, когда потенциальная энергия осциллятора равна нулю, его кинетическая энергия максимальна. А так как оба груза движутся согласованно (колеблются вокруг общего центра масс с одинаковой частотой), то скорость каждого из них в этой системе отсчёта в момент отрыва 2-го груза по модулю максимальна. Через полпериода она вновь будет максимальна, но теперь уже второй груз будет двигаться обратно, и его скорость в системе отсчёта, связанной со столом будет не вычитаться из скорости центра масс, а прибавляться к ней. Таким образом, максимальная скорость 2-го груза равна $2u$ (в Ваших обозначениях).

[Skeptic]

Mihr в сообщении #1089839 писал(а):

(колеблются вокруг общего центра масс с одинаковой частотой)

Период колебаний груза на пружине $T=2\pi\sqrt\frac m k$.

profrotter:
Замечание за бессодержательное сообщение.

(Подробно)

Forum Administration в сообщении #27356 писал(а):

I. Нарушения и санкции
1) Нарушением считается:
ж) Оффтопик, флуд, троллинг, размещение заведомо бессодержательных сообщений и тем, увод дискуссии в сторону от основного обсуждения, размещение большого числа сообщений в пределах одной темы подряд. Создание тем в стиле личного блога, не предполагающих обсуждения какого-либо вопроса. Искусственное поднятие темы бессодержательными сообщениями.

[Cos(x-pi/2)]

Mihr выше дал правильный ответ и хорошее объяснение.

При этом формула, указанная Skeptic-ом, не нужна для ответа на вопрос о максимальной скорости в задаче ТС; а чтобы по ней найти (если захочется) период колебаний двух грузов в данной задаче, надо подставить в роли $m$ "приведённую массу" системы:

$m = \frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\,.$

Ещё замечание для ТС о небольшой путанице в обозначениях; если в условии задачи сказано про пружину, что

mindroz в сообщении #1089601 писал(а):

сначала она сжата на $x$

то в формуле для скорости $v,$ входящей в $u,$ должно быть написано $x,$ а не $l.$

[mindroz]

Mihr в сообщении #1089839 писал(а):

mindroz,
немного странно. Вы почти всё сказали сами, но ответа всё же не увидели.
Вы верно говорите, что в системе отсчёта, связанной с центром масс осциллятора, в момент отрыва второго груза от опоры его скорость равна $-u$. Верно говорите, что в этот момент пружина не деформирована. Но ведь в тот момент, когда потенциальная энергия осциллятора равна нулю, его кинетическая энергия максимальна. А так как оба груза движутся согласованно (колеблются вокруг общего центра масс с одинаковой частотой), то скорость каждого из них в этой системе отсчёта в момент отрыва 2-го груза по модулю максимальна. Через полпериода она вновь будет максимальна, но теперь уже второй груз будет двигаться обратно, и его скорость в системе отсчёта, связанной со столом будет не вычитаться из скорости центра масс, а прибавляться к ней. Таким образом, максимальная скорость 2-го груза равна $2u$ (в Ваших обозначениях).

Большое спасибо за подробное объяснение! Теперь я разобрался:).