Пятая аксиома Пеано и Ларина

[Unx]

Someone в сообщении #1088779 писал(а):

И, кстати, там $M$ — не множество, а свойство. Это более широкое понятие, чем множество. Запись $x\in M$ означает, что элемент $x$ обладает свойством $M$; $\mathbb N\subseteq M$ — что каждый элемент $\mathbb N$ обладает этим свойством.

Теперь я совсем ничего не понимаю. Что такое свойства? Какова аксиоматика свойств? Чем не являются свойства? Можно ли определить равенство свойств?

(Оффтоп)

Полагаясь на интуитивное понимание, я бы написал так: пусть $M$ - свойство числа быть четным. Рассмотрим внимательно аксиому индукции: $0 \in M \land \forall x (x \in M \rightarrow Sx \in M) \rightarrow N \subseteq M$. Мы имеем два условия, соединенные знаком конъюнкции:
1) $0 \in M$, то есть ноль - четное число.
2) $\forall x (x \in M \rightarrow Sx \in M)$, в том числе и для случая $x=-10$. То есть поскольку $-10$ - четное, то, следовательно, и $S(-10)$ является четным.
Тогда из 1) и 2) следует, что все натуральные числа являются четными. Степень абсурда зашкаливает.

Однако я привел пример из книги Нечаева, где нет никаких свойств, где $M$ - это именно множество, не обязательно содержащее только лишь натуральные числа.

Someone в сообщении #1088779 писал(а):

Как раз решает самым радикальным образом: поскольку $M\subseteq\mathbb N$, то всякие "надмножества" полностью исключаются.

Вы действительно не читали то, что я написал выше, поэтому повторяю мысль еще раз специально для вас: c каких это пор ложная посылка в импликации полностью исключается?

[arseniiv]

Unx в сообщении #1088795 писал(а):

Что такое свойства?

Одноместный предикат. Говоря по-ZFC-множественному, класс.

Unx в сообщении #1088795 писал(а):

Полагаясь на интуитивное понимание, я бы написал так: пусть $M$ - свойство числа быть четным. Рассмотрим внимательно аксиому индукции: $0 \in M \land \forall x (x \in M \rightarrow Sx \in M) \rightarrow N \subseteq M$. Мы имеем два условия, соединенные знаком конъюнкции:
1) $0 \in M$, то есть ноль - четное число.
2) $\forall x (x \in M \rightarrow Sx \in M)$, в том числе и для случая $x=-10$. То есть поскольку $-10$ - четное, то, следовательно, и $S(-10)$ является четным.
Тогда из 1) и 2) следует, что все натуральные числа являются четными. Степень абсурда зашкаливает.

Степень неаккуратности зашкаливает, угу. С чего вы взяли, что (2) верна? Где доказательство? При чём здесь $-10$?

[Unx]

arseniiv в сообщении #1088798 писал(а):

Одноместный предикат.

Одноместное отношение? Тогда четность или нечетность прекрасно подойдет.

arseniiv в сообщении #1088798 писал(а):

При чём здесь $-10$?

При том, что на $x$ здесь уже не накладывается никаких ограничений.

arseniiv в сообщении #1088798 писал(а):

С чего вы взяли, что (2) верна?

Цитируйте, где я пишу будто (2) верна. Мне удивительно, как такое вообще можно предположить
В пункте (2) была именно конструкция "Если... ,то..." Именно она.

arseniiv в сообщении #1088798 писал(а):

Где доказательство?

Доказывать что? Истинность или ложность? Проблема в том, что никто не знает что такое $S(-10)$, проверить его на четность не представляется возможным. В результате выражение $\forall x (x \in M \rightarrow Sx \in M)$, как впрочем и вся аксиома, оказывается попросту некорректным.
Понятно, что я где-то страшно заблуждаюсь и пишу явный бред. Но я хотел бы понять, в чем именно мое заблуждение.

-- 07.01.2016, 22:24 --

Unx в сообщении #1088795 писал(а):

ложная посылка

Простите, тут не ложная посылка, а просто ложное условие, соединенное знаком конъюнкции.

[Someone]

Unx в сообщении #1088795 писал(а):

я привел пример из книги Нечаева, где нет никаких свойств, где $M$ - это именно множество, не обязательно содержащее только лишь натуральные числа.

Какой пример? Который "Вопрос 4.2.1"? Там нет той глупости, которую Вы тут нам втюхиваете. Там написано так:

Цитата:

Пусть $M$ — любое множество, не обязательно состоящее только из натуральных чисел. Доказать, что $M$ содержит все натуральные числа, если удовлетворяет следующим условиям:
а) $1\in M$;
б) $\forall(a\in N)a\in M\Rightarrow a+1\in M$.

Или, если переписать применительно к нашей ситуации, $((0\in M)\wedge\forall x((x\in\mathbb N)\Rightarrow((x\in M)\Rightarrow(Sx\in M))))\Rightarrow(\mathbb N\subseteq M)$.

Unx в сообщении #1088803 писал(а):

Проблема в том, что никто не знает что такое $S(-10)$

То есть как это — "никто не знает"??? Вы здесь дурь-то не гоните. Это ваша модель, и ваша обязанность как автора модели состояла в том, чтобы определить функцию следования на всех элементах модели. Я уже писал, что $S$ обязана быть определённой на всех элементах модели. Сами модель не определили как следует, а теперь какие-то претензии предъявляете.

Unx в сообщении #1088795 писал(а):

Вы действительно не читали то, что я написал выше, поэтому повторяю мысль еще раз специально для вас: c каких это пор ложная посылка в импликации полностью исключается?

Ложная посылка не исключается, только из неё не следует ни истинность, ни ложность заключения, поэтому из неё ничего не следует.

Unx в сообщении #1088803 писал(а):

Простите, тут не ложная посылка, а просто ложное условие, соединенное знаком конъюнкции.

Фигушки, я плотоядная! Если один из членов конъюнкции является ложным, то и вся конъюнкция ложна.

Unx в сообщении #1088803 писал(а):

Цитируйте, где я пишу будто (2) верна.

Unx в сообщении #1088795 писал(а):

Полагаясь на интуитивное понимание, я бы написал так: пусть $M$ - свойство числа быть четным. Рассмотрим внимательно аксиому индукции: $0 \in M \land \forall x (x \in M \rightarrow Sx \in M) \rightarrow N \subseteq M$. Мы имеем два условия, соединенные знаком конъюнкции:
1) $0 \in M$, то есть ноль - четное число.
2) $\forall x (x \in M \rightarrow Sx \in M)$, в том числе и для случая $x=-10$. То есть поскольку $-10$ - четное, то, следовательно, и $S(-10)$ является четным.
Тогда из 1) и 2) следует, что все натуральные числа являются четными.

Написать "тогда из 1) и 2) следует, что все натуральные числа являются четными" мы имеем право только в случае, если утверждения 1) и 2) оба истинны. Вы написали.

Unx в сообщении #1088795 писал(а):

Степень абсурда зашкаливает.

Я бы сказал, что степень …гм… зашкаливает. Я уже думаю, не пора ли тему в Пургаторий сносить. Она явно вышла за рамки раздела "Помогите решить / разобраться (М)".

[arseniiv]

Unx в сообщении #1088803 писал(а):

Цитируйте, где я пишу будто (2) верна.

Мне показалось, что вы предположили, что (2) верна и потому индукция верна и степень абсурда зашкаливает как раз в том, что все натуральные числа получились чётными. Ну ладно, дело не в этом.

Unx в сообщении #1088803 писал(а):

При том, что на $x$ здесь уже не накладывается никаких ограничений.

Непонятно, как из этого следует, что $-10\in M\to S(-10)\in M$.

Unx в сообщении #1088803 писал(а):

Проблема в том, что никто не знает что такое $S(-10)$, проверить его на четность не представляется возможным.

Ерунда. Истинность или ложность формулы легко проверяются в каждой отдельной интерпретации языка. Заметьте, что формула не обязана быть одновременно истинной или ложной сразу во всех интерпретациях, и если в одной формула истинна, а в другой ложна, это в общем случае нормально.

Unx в сообщении #1088803 писал(а):

В результате выражение $\forall x (x \in M \rightarrow Sx \in M)$, как впрочем и вся аксиома, оказывается попросту некорректным.

Ещё одна ерунда. В каждой интерпретации языка каждой его формуле приписывается истинностное значение. Именно потому что все атомные формулы получают значения. В частности потому что интерпретация функционального символа определена на всей области интерпретации.

Вообще, кстати, можно преобразовывать функциональные символы в предикатные (с которыми ведь всё хорошо?) аналогично рассмотрению в теории множеств $n$-местных функций как $(n+1)$-местных отношений. Например, арифметику

Someone в сообщении #1088731 писал(а):

Аксиомы следования:
1. $\neg(x^{\prime}=0)$;
2. $(x^{\prime}=y^{\prime})\Rightarrow(x=y)$.
Аксиомы сложения:
3. $x+0=x$;
4. $x+(y^{\prime})=(x+y)^{\prime}$.
Аксиомы умножения:
5. $x\cdot 0=0$;
6. $x\cdot(y^{\prime})=x\cdot y+x$.
Схема аксиом индукции:
7. $(\varphi(0)\wedge\forall x(\varphi(x)\Rightarrow\varphi(x^{\prime})))\Rightarrow\forall x(\varphi(x))$,
где $\varphi(x)$ — произвольная формула, в которой переменная $x$ является свободной (в частности, может и вообще не входить).

можно будет преобразовать в арифметику′, переводя $x' = y$ в $S(x, y)$ и т. п. и добавив требование функциональности $S$:

FS. $\exists!a(S(x, a))$.
1′. $\neg S(x,0)$;
2′. $S(x, a)\wedge S(y, b)\wedge a = b\Rightarrow x = y$.
3′. $x+0=x$;
4′. $S(y, z)\wedge S(x+y, w)\Rightarrow x+z=w$.
5′. $x\cdot 0=0$;
6′. $S(y, z)\Rightarrow x\cdot z=x\cdot y+x$.
7′. $(\varphi(0)\wedge\forall x\forall y(S(x, y)\wedge\varphi(x)\Rightarrow\varphi(y)))\Rightarrow\forall x(\varphi(x))$,
где $\varphi(x)$ — произвольная формула, в которой переменная $x$ является свободной (в частности, может и вообще не входить).

При этом модели (для простоты — нормальные) арифметики и арифметики′ связаны нехитрым соответствием — а именно первая, в которой $I({}') = A$, существует тогда и только тогда, когда есть вторая с $I(S) = A$. $A\subset M^2$, где $M$ — область интерпретации.

-- Пт янв 08, 2016 00:42:59 --

Так вот, есть ли вопросы к арифметике′? Если с ней всё хорошо, всё должно быть хорошо и с арифметикой.

[Unx]

Someone в сообщении #1088818 писал(а):

Там нет той глупости, которую Вы тут нам втюхиваете.

Someone в сообщении #1088818 писал(а):

если переписать применительно к нашей ситуации, $((0\in M)\wedge\forall x((x\in\mathbb N)\Rightarrow((x\in M)\Rightarrow(Sx\in M))))\Rightarrow(\mathbb N\subseteq M)$

Да, простите. Что-то я там неверно понял.

Someone в сообщении #1088818 писал(а):

Фигушки, я плотоядная! Если один из членов конъюнкции является ложным, то и вся конъюнкция ложна.

Только в том случае, если остальные члены корректны. Сколько еще попыток нужно, чтобы эту мысль донести?
Вот эта аксиома из книги Ларина: $M \subseteq N \land 0 \in M \land \forall x (x \in M \rightarrow Sx \in M) \rightarrow N = M$. Смотрите, что произойдет, если взять случай $N \subset M$.

Someone в сообщении #1088818 писал(а):

Написать "тогда из 1) и 2) следует, что все натуральные числа являются четными" мы имеем право только в случае, если утверждения 1) и 2) оба истинны. Вы написали.

Почему не оба ложны? А чем вам не нравится ложная посылка и истинное заключение? Я написал только лишь о том, что должно иметь место логическое следование.

Цитата:

Синонимические импликации выражения в русском языке:
Когда А, то B
В в том случае, если А
При А В
Из А следует В

Проблема не в том, что у меня написано, а в том, что вы это неверно понимаете.

Someone в сообщении #1088818 писал(а):

Это ваша модель, и ваша обязанность как автора модели состояла в том, чтобы определить функцию следования на всех элементах модели.

Модель чего? $\mathbb{N}$ или $M$?? Или сразу и то, и другое?

Someone в сообщении #1088818 писал(а):

Я уже писал, что $S$ обязана быть определённой на всех элементах модели. Сами модель не определили как следует, а теперь какие-то претензии предъявляете.

Я уже определил модель (а это общеизвестный пример), правда в другой теме. Сейчас думаю стоит перенести это определение сюда и посмотреть, что не так с функцией $S$:
$0=\varnothing $
$1=S(0)=\{0\}$
$2=S(1)=\{0,1\}$
...
При этом функция следования определяется следующим образом: $S(n) = n \cup \{n\}$. Но только для натурального аргумента $n$! Для ненатуральных её придется переопределять, чем я и предлагаю заняться. Добавим новый элемент $-1=\{\{\varnothing \}\}$ к множеству $\mathbb{N}$: пусть $\mathbb{N}_{-1}=\{-1\} \cup \mathbb{N}$. Теперь если требуется истинность выражения \forall x (x \in M \rightarrow Sx \in M)$ и аксиом 1-4, то мы вынуждены принять без вариантов $S(-1)=-1$. То есть новая функция следования $S}$ задана уже на множестве $\mathbb{N}_{-1}$ и отображает элемент $-1$ в себя. Примерно по той же схеме можно определить некоторое $\mathbb{N}_{-2}$:
$-2 = -1 \cup \{-1\}$
$\mathbb{N}_{-2}=\{-2\} \cup \{-1\} \cup \mathbb{N}$
$S(-1)=-2$, $S(-2)=-1$
Обращаю внимание, что это уже совсем другая функция $S$, заданная на новом надмножестве $\mathbb{N}_{-2}$. Дальше при желании возможно определить $\mathbb{N}_{-3}$, $\mathbb{N}_{-4}$ и так далее. И сколько бы таких множеств мы ни построили, на каждом из них $S$ придется переопределять.
Поэтому чтобы аксиома индукции для любой данной модели имела смысл, в этой модели должно быть определено целое семейство функций $S$, по одной на каждое надмножество. Но поскольку этих надмножеств бесконечно много, строим мы их совершенно произвольно, то всё семейство функций следования не поддается никакому общему описанию.
Если здесь все таки не семейство, а всего одна функция $S$, то где задана эта функция? И что такое на данном примере $S(-1), S(-2), \ldots $ ? И как можно судить об истинности, не зная что это такое?

[iifat]

Unx в сообщении #1088884 писал(а):

Я уже определил модель

Как-то лень перечитывать всё. Ниже вы обещали описать модель, да? Вместо этого описали кучу моделей, ну да ладно. Осталось указать ту, в которой не выполняется пятая аксиома, то бишь, посылка верна, а заключение нет.

Unx в сообщении #1088884 писал(а):

Обращаю внимание, что это уже совсем другая функция $S$, заданная на новом надмножестве $\mathbb{N}_{-2}$

Ну дык, всем сёстрам по серьгам каждой модели по функции.
И чо?

[Unx]

iifat в сообщении #1088887 писал(а):

Как-то лень перечитывать всё.

Тогда чем вызвано такое ваше поведение? Вы не понимаете, о чем здесь идет речь и влезаете в тему. С какой целью?

iifat в сообщении #1088887 писал(а):

Ниже вы обещали описать модель, да? Вместо этого описали кучу моделей, ну да ладно.

Нет, я привел только одну модель, этот пример общеизвестен. Все остальное - это примеры надмножеств, пригодных в роли $M$. Можете придумать свои, если эти вам не нравятся.

iifat в сообщении #1088887 писал(а):

Осталось указать ту

Указывать нечего, модель только одна. $-1, -2, \ldots$ не являются натуральными числами.

iifat в сообщении #1088887 писал(а):

не выполняется пятая аксиома, то бишь, посылка верна, а заключение нет.

Что там верно, а что нет? $(Sx \in M)$ верно для некоторого наугад взятого $M$? А как здесь определяется функция $S$? А вы уверены в единственно возможном определении этой функции? А если их несколько, то какому отдать предпочтение?

iifat в сообщении #1088887 писал(а):

каждой модели по функции

Какой модели?

-- 08.01.2016, 10:46 --

Someone в сообщении #1088779 писал(а):

И, кстати, там $M$ — не множество, а свойство. Это более широкое понятие, чем множество. Запись $x\in M$ означает, что элемент $x$ обладает свойством $M$; $\mathbb N\subseteq M$ — что каждый элемент $\mathbb N$ обладает этим свойством.

Я вот подумал, что от свойства $M$ легко перейти к множеству $\{x: x $ обладает свойством $ M\}$. Поэтому пятую аксиому в статье https://www.encyclopediaofmath.org/inde ... ano_axioms можно понимать так, будто $M$ - множество. Есть еще вариант Ларина, если угодно: $M \subseteq N \land 0 \in M \land \forall x (x \in M \rightarrow Sx \in M) \rightarrow N = M$. Как я уже говорил, проблему это не решает.

[iifat]

Unx в сообщении #1088889 писал(а):

Тогда чем вызвано

Сочетанием трёх факторов: у меня есть желание, право и техническая возможность. А вы, стесняюсь спросить, намерены мне указывать, как себя вести только в этой теме, или во всех областях жизни?

Unx в сообщении #1088889 писал(а):

я привел только одну модель

Посчитайте ещё раз: $\mathbb N_{-1}$, $\mathbb N_{-2}$ и так далее. (Вообще-то, $\{\{\empty\}\}$ — это 1, а не -1, но это решаемо). Каждая из них реализует, насколько могу судить, приведённую вами систему аксиом. И в каждую из них входит $\mathbb N$.

Unx в сообщении #1088889 писал(а):

Какой модели?

Каждой. Мне ещё раз повторить?

[Unx]

iifat в сообщении #1088941 писал(а):

(Вообще-то, $\{\{\empty\}\}$ — это 1, а не -1, но это решаемо)

Определения даны так, как они даны, если даже они вам не нравятся. Зачем вы придумываете новые, к чему всё это?
Простите, я тоже сбился. $\{\{\empty\}\}$ — это действительно единица. Минус единица определена по-другому, читайте выше. Тогда о чем ваше замечание? К чему оно?

iifat в сообщении #1088941 писал(а):

Посчитайте ещё раз: $\mathbb N_{-1}$, $\mathbb N_{-2}$ и так далее.

iifat в сообщении #1088941 писал(а):

Каждая из них реализует, насколько могу судить, приведённую вами систему аксиом.

Я теперь понял, где надо было свернуть. Дело в том, что $\mathbb N_{-1}$, $\mathbb N_{-2}$ ... предназначались на роль $M$. Но iifat заметил, да я и сам заметил, что в таком виде эти множества удовлетворяют системе аксиом 1-4, а значит сами могут быть использованы не по назначению, то есть не в качестве $M$, а в качестве $\mathbb{N}$. Что ж, тогда мне придется сделать по другому. Теперь функция $S$ на множестве $\mathbb N_{-1}$ удовлетворяет условию $S(-1)=0$, а дальше как обычно. Функция $S$ на множестве $\mathbb N_{-2}$ удовлетворяет условиям $S(-2)=-1$, $S(-1)=0$, а дальше определяется как обычно. По аналогии можно ввести $\mathbb N_{-3}, \mathbb N_{-4}, \ldots$. Смысл в том, что аксиома (3) для них перестает быть выполненой, хотя они остаются надмножествами $\mathbb{N}$. iifat, пусть теперь вам будет неудобно заниматься отсебятиной.

[arseniiv]

Unx в сообщении #1088884 писал(а):

Модель чего? $\mathbb{N}$ или $M$?? Или сразу и то, и другое?

Т. е. вы так и не почитали, что такое модель. Прекрасно.

Unx в сообщении #1088884 писал(а):

$S(-1)=-2$, $S(-2)=-1$

В интерпретации с такими свойствами (если на остальных элементах интерпретация $S$ совпадает со стандартной моделью) аксиома индукции c $\varphi = (x\ne-1\wedge x\ne-2)$ оказывается ложной, так что это не модель. (И, пожалуйста, давайте в следующий раз не обозначать символы и их интерпретации одной и той же буквой.)

Думаю, уместно подождать от вас в этой теме определения модели и больше пока ничего не отвечать.

[Someone]

Unx в сообщении #1088884 писал(а):

Только в том случае, если остальные члены корректны. Сколько еще попыток нужно, чтобы эту мысль донести?

Ещё раз: если один из членов конъюнкции ложен, то конъюнкция ложна. О корректности обязан заботиться тот, кто формулирует высказывание.

Unx в сообщении #1088884 писал(а):

Вот эта аксиома из книги Ларина: $M \subseteq N \land 0 \in M \land \forall x (x \in M \rightarrow Sx \in M) \rightarrow N = M$. Смотрите, что произойдет, если взять случай $N \subset M$.

Посылка импликации будет ложной.
Кроме того, поскольку речь идёт об арифметике, то нет никаких элементов, не принадлежащих $\mathbb N$, поэтому взять такое $M$, какое Вы хотите, просто неоткуда.

Видите ли, в формальных теориях ситуация такая: если нет явного разрешения сделать что-то, то это "что-то" сделать нельзя. Поскольку в аксиомах арифметики не сказано явно, что, помимо натуральных чисел, есть ещё какие-то элементы, то их и нет.

Unx в сообщении #1088884 писал(а):

Почему не оба ложны? А чем вам не нравится ложная посылка и истинное заключение? Я написал только лишь о том, что должно иметь место логическое следование.

Видите ли, правило modus ponens, которым Вы желаете здесь воспользоваться, имеет такой вид:

$$\frac{A,A\Rightarrow B}B.$$

Читается это так: если высказывания $A$ и $A\Rightarrow B$ оба истинны, то и высказывание $B$ истинно (точнее, речь идёт о выводимости, но не будем вникать в такие детали). Если же хотя бы одна из посылок ложна, то правило вывода не работает, и никакого вывода сделать нельзя. Вы же вывод сделали; следовательно, по вашему мнению, обе посылки были истинными.

Unx в сообщении #1088884 писал(а):

Модель чего? $\mathbb{N}$ или $M$?? Или сразу и то, и другое?

Видите ли, Вы желаете иметь "арифметику", в которой, помимо натуральных чисел, есть и другие элементы. Своё желание Вы должны сформулировать в виде явных аксиом. И тогда все "надмножества", о которых идёт речь, Вы должны брать из модели этой своей "арифметики". Либо просто сказать, что будете рассматривать теорию множеств (ZFC, например), в которой есть некоторая стандартная модель арифметики. Там "надмножеств" воз и маленькая тележка.

Однако тут есть неприятная для Вас закавыка: "вселенная" арифметики — это натуральный ряд, поэтому в её аксиомах все элементы берутся исключительно из натурального ряда. Но в рамках теории множеств Вы, разумеется, можете брать любые "надмножества". И формула $((0\in M)\wedge\forall x((x\in\mathbb N)\Rightarrow((x\in M)\Rightarrow(Sx\in M))))\Rightarrow(\mathbb N\subseteq M)$, которую предлагает доказать Нечаев, является теоремой теории множеств. Легко доказываемой, причём, независимо от того, определена ли функция $S$ за пределами $\mathbb N$.

Unx в сообщении #1088884 писал(а):

При этом функция следования определяется следующим образом: $S(n) = n \cup \{n\}$.

Ага. Значит, речь идёт о теории множеств и стандартной модели арифметики в этой теории.

Unx в сообщении #1088884 писал(а):

Но только для натурального аргумента $n$!

Фигушки, я плотоядная! Эта функция в теории множеств определена для всех множеств.

Unx в сообщении #1088884 писал(а):

Если здесь все таки не семейство, а всего одна функция $S$, то где задана эта функция? И что такое на данном примере $S(-1), S(-2), \ldots $ ? И как можно судить об истинности, не зная что это такое?

Определяя свои модели, Вы обязаны были определить в них и функцию $S$. В каждой модели — отдельную функцию, специально для данной модели. Я Вам это уже писал, но Вы не желаете слушать.

Unx в сообщении #1088889 писал(а):

Есть еще вариант Ларина, если угодно: $M \subseteq N \land 0 \in M \land \forall x (x \in M \rightarrow Sx \in M) \rightarrow N = M$. Как я уже говорил, проблему это не решает.

Как я уже говорил, вашу надуманную проблему это решает радикальным образом. Если, конечно, не упираться в собственные глупые выдумки.

Unx в сообщении #1088889 писал(а):

Я вот подумал, что от свойства $M$ легко перейти к множеству $\{x: x $ обладает свойством $ M\}$.

Господи, как всё запущено… В общем случае нельзя таким способом перейти от свойства к множеству. Только к классу.

Unx в сообщении #1088965 писал(а):

Определения даны так, как они даны, если даже они вам не нравятся.

Дело не в том, что они не нравятся. А в том, что, раз уж Вы используете стандартную теоретико-множественную модель арифметики, в которой $\{\{\}\}=1$, то не имеете права писать $\{\{\}\}=-1$.

Unx в сообщении #1088965 писал(а):

Теперь функция $S$ на множестве $\mathbb N_{-1}$ удовлетворяет условию $S(-1)=0$, а дальше как обычно. Функция $S$ на множестве $\mathbb N_{-2}$ удовлетворяет условиям $S(-2)=-1$, $S(-1)=0$, а дальше определяется как обычно. По аналогии можно ввести $\mathbb N_{-3}, \mathbb N_{-4}, \ldots$. Смысл в том, что аксиома (3) для них перестает быть выполненой, хотя они остаются надмножествами $\mathbb{N}$.

Ну почему же? Просто Вы в качестве $0$ взяли не тот элемент. Например, в $\mathbb N_{-1}$ роль элемента $0$ играет $-1$.

P.S. Вы неправильно закодировали формулу $\{x: x $ обладает свойством $ M\}$. Она кодируется так:

Используется синтаксис LaTeX

$\{x:x\text{ обладает свойством }M\}$

arseniiv в сообщении #1088972 писал(а):

Думаю, уместно подождать от вас в этой теме определения модели и больше пока ничего не отвечать.

Согласен. И вообще эта тема в разделе "Помогите решить / разобраться (М)" уже стала неуместной. Поскольку Unx явно тщится доказать нам, что математическая логика является скоплением абсурда.

[Unx]

Someone в сообщении #1088973 писал(а):

Ещё раз: если один из членов конъюнкции ложен, то конъюнкция ложна.

Если это теорема, дайте доказательство.

Someone в сообщении #1088973 писал(а):

правило modus ponens, которым Вы желаете здесь воспользоваться

Вы желаете, а не я.

Someone в сообщении #1088973 писал(а):

Вы же вывод сделали;

Это не вывод, а заключение импликации. Утверждение, будто все натуральные числа являются четными, невыводимо. Это понятно. Тем не менее, вы в очередной раз делаете из меня идиота, искажая смысл того, что я написал.

Someone в сообщении #1088973 писал(а):

Unx в сообщении #1088884 писал(а):

Но только для натурального аргумента $n$!

Фигушки, я плотоядная! Эта функция в теории множеств определена для всех множеств.

Вот здесь я точно чего-то не понимаю. Функция имеет место быть лишь в том случае, если задана область определения. Если мы меняем область определения, мы получаем совершенно другую функцию. Как может быть некоторая $S$ определена для всех множеств? Тогда надо начинать с вопроса: что такое вообще функция, если её можно определить для всех множеств?

[arseniiv]

Unx в сообщении #1088988 писал(а):

Если это теорема, дайте доказательство.

Это определение значения формулы вида $a\wedge b$.

Unx в сообщении #1088988 писал(а):

Как может быть некоторая $S$ определена для всех множеств?

Самое простое как функция-класс.

(Надеюсь, в продолжении ответа вы всё же расскажете про модель.)

[Someone]

Unx в сообщении #1088988 писал(а):

Это не вывод, а заключение импликации.

Каким образом, читая Ваш текст, можно понять, что это заключение, а не вывод? По-моему, там после формальной формулировки аксиомы идёт типичное "доказательство" того, что все натуральные числа являются чётными. При этом зачем-то делаются попытки применить функцию следования к элементу $-10$, существование которого не следует из аксиом арифметики, и, более того, противоречит тому обстоятельству, что "вселенная" арифметики не содержит ничего, кроме натуральных чисел.

Unx в сообщении #1088988 писал(а):

вы в очередной раз делаете из меня идиота

Это не я, а Вы сами, причём, очень настойчиво. Игнорируете все объяснения, не изучаете учебники. Сколько раз Вам объясняли одно и то же…

Unx в сообщении #1088988 писал(а):

Как может быть некоторая $S$ определена для всех множеств?

Очень просто: формула $Sx=x\cup\{x\}$ определяет эту функцию для всего класса множеств. Эта функция не является множеством, естественно. Она является классом.