Помогите, задача по теории вероятности

[bot]

Henrylee писал(а):

Наоборот, 13/27 это вероятность, что "на выходе после 4-го тоже 0" при условии, что "второй участник получил на входе 0" (то есть как раз "куб", переходная вероятность за 3 шага), а искали мы именно то, что Вы написали:
bot писал(а):

какова вероятность, что второй участник получил на входе 0, если известно, что на выходе после 4-го тоже 0

то есть условную вероятность "наоборот".

Что здесь "наоборот" я понимаю - зачем бы тогда схематично приводил рассуждения со стрелками и двойными стрелками? Фактически это расписывает весь марковсий процесс на элементарные события, которые уже равновероятны. Вот по ним же и выходит, что это "наоборот" арифметически совпадает с 13/27.
Какая нам разница, с какой вероятностью врёт первый, если спрашивают: сколько цепочек имеет вид 0 -> * -> * -> 0, сколько 1 -> * -> * -> 0 и каково отношение первых к их общему количеству? Вот этот вопрос я понимаю и могу вычислить по-сермяжному: $\frac{13}{13+14}$, а вот в "дьявольское" $\frac{13}{13+14+14}$ я не врубаюсь - это какой-то другой вопрос.

Добавлено спустя 5 минут 53 секунды:

Всё - надо идти Олимпиаду проверять.

[Архипов]

Всего 16 исходов, принимаем во внимание только четные исходы - когда последний говорит "да"
Вероятности четных исходов - умножаем (1 соответствует 1/3)*(0 соответствует 2/3).
0001 - 8/81
0011 - 4/81
0101 - 4/81
0111 - 2/81
сумма 18/81
1001 - 4/81
1011 - 2/81
1101 - 2/81
1111 - 1/81
сумма 9/81
Видим, что сумма вероятностей исходов, когда первый и последний говорят "да" в 2 раза меньше суммы, когда первый лжет, а последний говорит "да".
Получается, что первый в одном случае из трех говорил "да" и ответ к задаче Р=1/3.

[Henrylee]

Вы точно ничего не путаете?
У Вас 0 и 1 это что конкретно:
1. "сказал нет" и "сказал да"
или
2. "соврал" и "сказал правду"
?

Добавлено спустя 3 минуты 24 секунды:

Мне кажется, Вы ошибочно полагаете, что это одно и то же.

Добавлено спустя 8 минут 58 секунд:

Ну раз пошла такая пьянка.. извольте:

Архипов писал(а):

Всего 16 исходов, принимаем во внимание только четные исходы - когда последний говорит "да"
Вероятности четных исходов - умножаем (1 соответствует 1/3)*(0 соответствует 2/3).

Это неверно! Насколько я понял, в Вашей кодировке единица - да, ноль - нет. Тогда правда - это повторение цифры, ложь - изменение. Вероятности следующие:

0001 - 4/81 - врут 1-й и 4-й
0011 - 4/81 - врут 1-й и 3-й
0101 - 16/81 - врут все
0111 - 4/81 - врет 1-й и 2-й
сумма 28/81
1001 - 4/81 - врут 2-й и 4-й
1011 - 4/81 - врут 2-й и 3-й
1101 - 4/81 - врут 3-й и 4-й
1111 - 1/81 - никто не врет
сумма 13/81
Видим:

$$ \frac{13/81}{28/81+13/81}=13/41 $$

[virys555]

Поздравте меня я на пятерочку сдал!

[Профессор Снэйп]

Ну и какой из десятка форумов, на которых Вы просили решить за Вас эту задачу, оказался наиболее полезным?

[virys555]

Вот это решение оказалось верным.
Отсюда: http://e-science.ru/forum/index.php?showtopic=5372
Отдельное спасибо всем вам за то что вы все таки помогли мне!

virys555 писал(а):

Пусть A, B - события, состоящие в том, что первый сказал правду и неправду. Вычислим вероятность события C , состоящего в том, что четвертый сказал правду:
$ P(C) = P(A) P(C|A) + P(B) P(C|B) $.
Так как
$ P(A) = \frac{1}{3}, \quad P(B) = \frac{2}{3} $,
то нужно найти
$ P(C|A) и P(C|B) $.
Если первый сказал "да", то четвертый скажет "да" только в том случае, если либо 2, 3, 4 сказали правду, либо два из них сказали неправду, т.е.
$P(C|A) = \left( \frac{1}{3} \right)^3 + {3 \choose 2} \left( \frac{2}{3} \right)^2 \frac{1}{3} = \frac{13}{27} $.
Аналогично рассуждая, получим
$ P(C|B) = \left( \frac{2}{3} \right)^3 + {3 \choose 2} \left( \frac{1}{3} \right)^2 \frac{2}{3} = \frac{14}{27} $.
Тогда
$ P(C) = \frac{41}{81}$.

Нам нужно найти вероятность того, что первый сказал правду при условии, что четвертый сказал правду, то есть
P(A|C).
По формуле Байеса
$ P(A|C) = \frac{P(A) P(C|A)}{P(C)} = \frac{13}{41}. $

[Архипов]

Henrylee писал(а):

Вероятности следующие:

0001 - 4/81 - врут 1-й и 4-й
0011 - 4/81 - врут 1-й и 3-й
0101 - 16/81 - врут все
0111 - 4/81 - врет 1-й и 2-й
сумма 28/81
1001 - 4/81 - врут 2-й и 4-й
1011 - 4/81 - врут 2-й и 3-й
1101 - 4/81 - врут 3-й и 4-й
1111 - 1/81 - никто не врет
сумма 13/81
Видим:

$$ \frac{13/81}{28/81+13/81}=13/41 $$

Наглядно и убедительно (Привет Самаре ! ).

Таперь без всяких формул можно другие выводы сделать.
1. Условные вероятности для 1го и 3го одинаковы, то есть, при "да" последнего, они скажут "да" 13 раз из 41 возможных. А условная вероятность 2го - 25 из 41.
2. Если запустить этот процесс и сделать 81 шаг, то видно:
Первый скажет "да" 27 раз из 81, то есть 1раз из 3 (это его заданная вероятность). Он не зависит от остальных, остальные - зависимы от предыдущих и от заданной вероятности (1/3). Второй скажет "да" 45 раз из 81, третий -39 раз, четвертый -41 раз.

[Henrylee]

Не вникал, это не так интересно Лучше рассмотрите случаи, когда в цепочке 40 человек.
А еще лучше $n$. И устремите его к $\infty$. Сработает эргодическая теорема.. вобщем это чуть украсит задачу.

Добавлено спустя 2 минуты 59 секунд:

PS Привет передам

[bot]

virys555 писал(а):

Вот это решение оказалось верным.
Отсюда: http://e-science.ru/forum/index.php?showtopic=5372

Вот основная трудность теории вероятностей на начальной неформальной стадии - чтобы правильно ответить на вопрос, надо угадать этот вопрос. Если начать уточнять вопрос у спрашивающего, тяжко ему придётся - как бы вместе с разъяснениями вопроса одновременно на него и не ответить.

"Правильный ответ13/41" был в сфере моих догадок. Всерьёз её не принимал, так - фантастика. Как не понимал, так и не понимаю, почему в таком случае надо учитывать цепочки 0 -> ... -> 0 с весом 1/3, а цепочки 1 -> ... -> 0 с весом 2/3?
Как и прежде считаю, что вероятность первого сигнала в цепочке никакого отношения к заданному вопросу (а был ли тогда вопрос?) не имеет, этот сигнал как тот динозавр на Невском проспекте - либо был либо не был.
Считайте меня блондином.

[Архипов]

virys555 писал(а):

Из четырех человек первый получил информацию "да" или "нет", которую он сообщает второму, второй - третьему, третий - четвертому, а последний обьевляет результат. Известно, что каждый говорит правду в одном случае из трех. Какова вероятность, что первый человек сказал правду, если результат информации правельный ("да").

bot писал(а):

Как и прежде считаю, что вероятность первого сигнала в цепочке никакого отношения к заданному вопросу (а был ли тогда вопрос?) не имеет, этот сигнал как тот динозавр на Невском проспекте - либо был либо не был.
Считайте меня блондином.

Вы правы, Первый говорит правду так, как задано в задаче - в одном случае из трех.Лучше было задать вопрос так: "Какова вероятность совпадения событий - первый сказал "да" и четвертый сказал "да".

Архипов писал(а):

2. Если запустить этот процесс и сделать 81 шаг, то видно:
Первый скажет "да" 27 раз из 81, то есть 1раз из 3 (это его заданная вероятность). Он не зависит от остальных, остальные - зависимы от предыдущих и от заданной вероятности (1/3). Второй скажет "да" 45 раз из 81, третий -39 раз, четвертый - 41 раз из 81.

Henrylee писал(а):

1001 - 4/81 - врут 2-й и 4-й
1011 - 4/81 - врут 2-й и 3-й
1101 - 4/81 - врут 3-й и 4-й
1111 - 1/81 - никто не врет
сумма 13/81

Видим, что совпадения будут в 13 случаях из 41.
Я тоже вначале подумал, что в задаче какой-то подвох. Задают вероятность для первого 1/3, а потом спрашивают про неё же.

[Henrylee]

Архипов писал(а):

Вы правы, Первый говорит правду так, как задано в задаче - в одном случае из трех.Лучше было задать вопрос так: "Какова вероятность совпадения событий - первый сказал "да" и четвертый сказал "да".

Нет, это другой вопрос. И на него будет другой ответ (13/81), так как в этом случае учитывать надо будет не 8 приведенных цепочек, а все. Не путайте условную вероятность с вероятностью пересечения.

[TOTAL]

virys555 писал(а):

Из четырех человек первый получил информацию "да" или "нет", которую он сообщает второму, второй - третьему, третий - четвертому, а последний обьевляет результат. Известно, что каждый говорит правду в одном случае из трех. Какова вероятность, что первый человек сказал правду, если результат информации правельный ("да").

Я бы сформулировал так.
Из четырех человек первый получил некоторую информацию, которую он сообщает второму, второй - третьему, третий - четвертому, а последний обьевляет результат. Известно, что каждый говорит правду в одном случае из трех (в остальных двух случаях меняет информацию на противоположную). Какова вероятность, что первый человек сказал правду, если информация на входе и на выходе совпает?

[Henrylee]

bot писал(а):

Как не понимал, так и не понимаю, почему в таком случае надо учитывать цепочки 0 -> ... -> 0 с весом 1/3, а цепочки 1 -> ... -> 0 с весом 2/3?

Мы так и не поступали. Считали вероятности цепочек безо всяких весов. Никакой дискриминации - все цепочки равноправны (но не равновероятны).

[virys555]

Здрасте!

У меня знакомый завалил математику, ему нужно решить задачу. Я сам её даже не пытался решить т.к. некогда (готовлюсь к экзаменам - 11 класс заканчиваю)

Вот короче его задача:
Рабочий обслуживает 3 станка. Вероятность того что в течении часа первый станок не потребует регулировки 0,9; второй 0,8; третий 0,7. Составьте закон определения числа станков, которые в течении часа не потребуют регулировки. Найти его математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратичное отклонение.

Если есть время, то хорошо, если нет времени или задача сильно сложная можете и не тратить силы!

[Henrylee]

Задача очень простая. Но решать за Вашего знакомого тутн иктоне будет. Если ему надо, пусть сам сюда напишет свои попытки решения. В этом случае ему будут помогать.