[Квантовая механика] задача.

[amon]

chem_victory в сообщении #1086906 писал(а):

если было бы произведение, то $E^n$

Давайте с этого начнем. $\Psi(x_1,x_2)=\psi_1(x_1)\psi_2(x_2),\;\hat{H}=\hat{H}_1+\hat{H}_2,\;\hat{H}\Psi=?$ А для $\Psi=\psi_1(x_1)\psi_2(x_2)-\psi_1(x_2)\psi_2(x_1),$ если $\hat{H}_i$ одинаковые?

[chem_victory]

amon в сообщении #1086909 писал(а):

chem_victory в сообщении #1086906 писал(а):

если было бы произведение, то $E^n$

Давайте с этого начнем. $\Psi(x_1,x_2)=\psi_1(x_1)\psi_2(x_2),\;\hat{H}=\hat{H}_1+\hat{H}_2,\;\hat{H}\Psi=?$ А для $\Psi=\psi_1(x_1)\psi_2(x_2)-\psi_1(x_2)\psi_2(x_1),$ если $\hat{H}_i$ одинаковые?

$ \hat{H} \Psi=(\hat{H}_1+\hat{H}_2)(\psi_1(x_1)\psi_2(x_2)=\hat{H}_1(\psi_1(x_1)\psi_2(x_2))+\hat{H}_2(\psi_1(x_1)\psi_2(x_2)=\psi_2(x_2)\hat{H}_1\psi_1(x_1)+\psi_1(x_1)\hat{H}_2\psi_1(x_2)=\psi_2(x_2)E_{1}\psi_1(x_1)+\psi_1(x_1)E_{2}\psi_2(x_2)=(E_{1}+E_{2})(\psi_{1}(x_1)\psi_{2}(x_2))=2E\psi_1(x_1)\psi_2(x_2) $
Для разности
$\hat{H}\Psi=2E\psi_1(x_1)\psi_2(x_2)-2E\psi_1(x_2)\psi_2(x_1) = 2E(\psi_1(x_1)\psi_2(x_2)-\psi_1(x_2)\psi_2(x_1))$ (если волновые функции равны (то был бы 0), но они не равны, т.к мы не учли запрет Паули)

Ок, т.е собственное значение $2E$ в любом случае, и дальше по индукции для Слеттера энергия та же что и для произведения. (что Вы и писали). Для$ N$ соответственно энергия будет $N*E$

Волновая функция осциллятора -- константа*Эрмит. осталось вернуться к старым переменным и вроде ок.
Для двух переменных

$q_{1}=x_{1}+x_{2}$
$q_{1}=x_{1}-x_{2}$

Из Голдстейна: x=A*q; где A- матрица, где столбцами являются СВ.
Чему равны СВ для N?

[amon]

chem_victory в сообщении #1086910 писал(а):

(если волновые функции равны (то был бы 0), но они не равны, т.к мы не учли запрет Паули)

Читаем внимательно параграф 61 "Принцип неразличимости одинаковых частиц" главы 9 квантовой механики Ландау-Лифшица (следующий, 62-й параграф тоже не вредно посмотреть). По поводу нормальных координат подглядываем в задачник Коткина и Серпо по классической механике и соображаем, как такие же преобразования проделать над гамильтонианом. Гамильтониан становится в нормальных координатах суммой одинаковых гамильтонианов гармонических осцилляторов. Соображаем, как из всего этого добра соорудить решение Вашей задачи. Дерзайте, вы уже почти у цели.

[chem_victory]

amon в сообщении #1086915 писал(а):

chem_victory в сообщении #1086910 писал(а):

(если волновые функции равны (то был бы 0), но они не равны, т.к мы не учли запрет Паули)

Читаем внимательно параграф 61 "Принцип неразличимости одинаковых частиц" главы 9 квантовой механики Ландау-Лифшица (следующий, 62-й параграф тоже не вредно посмотреть). По поводу нормальных координат подглядываем в задачник Коткина и Серпо по классической механике и соображаем, как такие же преобразования проделать над гамильтонианом. Гамильтониан становится в нормальных координатах суммой одинаковых гамильтонианов гармонических осцилляторов. Соображаем, как из всего этого добра соорудить решение Вашей задачи. Дерзайте, вы уже почти у цели.

Спасибо!

Что-то не вижу в Коткине.. не подскажите какой раздел?

[amon]

chem_victory в сообщении #1086916 писал(а):

Что-то не вижу в Коткине.. не подскажите какой раздел?

Коткин Г.Л., Сербо В.Г. Сборник задач по классической механике [3изд., РХД, 2001] параграф 7 "колебания линейных цепочек".

[chem_victory]

amon в сообщении #1086919 писал(а):

chem_victory в сообщении #1086916 писал(а):

Что-то не вижу в Коткине.. не подскажите какой раздел?

Коткин Г.Л., Сербо В.Г. Сборник задач по классической механике [3изд., РХД, 2001] параграф 7 "колебания линейных цепочек".

Нашел, спасибо.

Что-то я запутался, подскажите пожалуйста Гамильтониан ведь такой (или парное взаимодействие -> вторая сумма от i=1), что-то не выходит подогнать под него..

$\hat H = \sum_{i}\hat H_{i}=\sum_{i}\frac {p_{i}^2}{2m}+\sum_{j<i}\frac{q(x_{i}-x_{j})^2}{2}=\sum_{i}^{N} \frac {p_{i}^2}{2m}+\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{i}\frac{q(x_{i}-x_{j})^2}{2}=\sum_{i=1}^{N}(\frac {p_{i}^2}{2m}+\sum_{j=1}^{i}\frac{q(x_{i}-x_{j})^2}{2})$

[amon]

У вас каждый шарик связан с любым другим ровно одной пружинкой. Я не помню, есть ли точно такая задача в Коткине, но применяемые методы перехода к нормальным координатам должны работать и в этом случае. На крайняк есть такой почти универсальный способ. Запишите квадратичную форму в виде $\vec{x}A\vec{x}$ и приведите матрицу $A$ к диагональному виду ортогональным преобразованием.