[Квантовая механика] задача.

[chem_victory]

Доброго времени суток, уважаемые форумчане!

Имеются две головные боли:

1)Вычислить плотность состояний в цепочке сильной связи
$H_{n,n+1}=H_{n,n-1}=-V $

$ H_{n,n}=W_{n} $
где $W_{n}$ равномерно распределен на отрезке $-A\leqslant W_{n} \leqslant A$

2) Найти энергию и волновую функцию основного состояния N фермионов спина 1/2 с парным взаимодействием
$V_{i,j}=q(x_{i}-x_{j})^2/2$

Соображения:
1) задача вроде легкая, но как как подступиться непонятно :(
2) необходимо использовать какое-то приближение, позволяющее учесть эту поправку и таки решить Шредингера.

подскажите куда копать?

[amon]

Про вторую задачу. Как бы Вы ее решали, если бы про фермионы там не упоминалось, и, вообще, задача была бы по классической механике? Попробуйте также.

[chem_victory]

amon в сообщении #1086854 писал(а):

Про вторую задачу. Как бы Вы ее решали, если бы про фермионы там не упоминалось, и, вообще, задача была бы по классической механике? Попробуйте также.

Классическая механика..? ну, в теормехе аддитивность лагранжиана для невзаимодействующих частиц + потенциальная энергия взаимодействия, вроде.
Здесь нужно как-то учесть принцип Паули + их взаимодействие.

[amon]

chem_victory в сообщении #1086856 писал(а):

Здесь нужно как-то учесть принцип Паули + их взаимодействие.

Решите сначала классическую задачу (не знаете как - подглядите). Как к ней привернуть принцип Паули и прочие навороты будем думать, когда с классикой справитесь.

[chem_victory]

amon в сообщении #1086857 писал(а):

chem_victory в сообщении #1086856 писал(а):

Здесь нужно как-то учесть принцип Паули + их взаимодействие.

Решите сначала классическую задачу (не знаете как - подглядите). Как к ней привернуть принцип Паули и прочие навороты будем думать, когда с классикой справитесь.

Не совсем понимаю аналогию..
В классике есть только лагранжиан = сумма кинетической энергии - потенциальная (каждый с другими) -- она задана у нас.

Что дальше надо решить?!

[amon]

chem_victory в сообщении #1086861 писал(а):

Что дальше надо решить?!

Понимаете, какое дело. За Вас тут ни кто задачи решать не будет, но многие готовы помочь, если Вы хоть что-то сделаете сами. Я дал Вам прямую подсказку. Пробуем последний раз. Есть классическая задача - функция Лагранжа системы имеет вид $\sum\frac{m\dot{x}_i^2}{2}-\sum \frac{q(x_i-x_j)^2}{2}$ найти $x_i(t).$ Как бы вы решали эту задачу? Про нормальные координаты слыхали?

[profrotter]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
Причина переноса:
1. Убираем информацию о поиске желающих решить за вас и вознаграждении.
2. Приводим собственные вменяемые попытки решить задачу.

[profrotter]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: Вернул в надежде, что автор темы поработает.

[chem_victory]

Я Вас понял, да.
Приводим к нормальным координатам и получаем, что лагранжанин - сумма лагранжианов осцилляторов.
Подставлям в уравнение лагранжа
$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_{i}}}-\frac{\partial L}{\partial q_{i}}=0 $

Получаем решение для нормальной координаты $q_{i}$

[amon]

chem_victory в сообщении #1086890 писал(а):

получаем, что лагранжанин - сумма лагранжианов осцилляторов.

А с этого места вспоминаем про квантовую механику и принцип Паули.

[chem_victory]

amon в сообщении #1086894 писал(а):

chem_victory в сообщении #1086890 писал(а):

получаем, что лагранжанин - сумма лагранжианов осцилляторов.

А с этого места вспоминаем про квантовую механику и принцип Паули.

Принцип Паули - запрет на нахождении двух фермионов в одинаковом состоянии.
Никак не догоню как прыгнуть из класики..


Т.е мы получили гамильтониан = сумме независимых гамильтонианов
-> волновая функция = произведению волновых функций + учет Паули?
Вернее как-то должен получится определитель Слеттера.

Это и будет волновая функция основного состояния N фермионов?
Как отсюда вытащить энергию, решая Шредингера?

[amon]

Если у вас есть $N$ невзаимодействующих частиц со спином 1/2, и вы знаете их одночастичные волновые функции, вы можете составить волновую функцию всех частиц?

[chem_victory]

amon в сообщении #1086898 писал(а):

Если у вас есть $N$ невзаимодействующих частиц со спином 1/2, и вы знаете их одночастичные волновые функции, вы можете составить волновую функцию всех частиц?

Будет определитель Слеттера?

Меня смущает то, что я не знаю волновую функцию фермиона явно

[amon]

chem_victory в сообщении #1086895 писал(а):

Будет определитель Слеттера?

Угу. Только может к старым координатам вернуться придется

chem_victory в сообщении #1086895 писал(а):

Как отсюда вытащить энергию, решая Шредингера?

Два наводящих вопроса, надеюсь, последних.
1. Чему равна энергия гармонического осциллятора?
2. Волновая функция - произведение одночастичных, т.е. $\Psi(x_1,\dots,x_N)=\prod \psi_i(x_i),\; \hat{H_i}\psi_i(x_i)=\varepsilon_i\psi_i(x_i),$ чему равна энергия?

[chem_victory]

amon в сообщении #1086903 писал(а):

chem_victory в сообщении #1086895 писал(а):

Будет определитель Слеттера?

Угу. Только может к старым координатам вернуться придется

chem_victory в сообщении #1086895 писал(а):

Как отсюда вытащить энергию, решая Шредингера?

Два наводящих вопроса, надеюсь, последних.
1. Чему равна энергия гармонического осциллятора?
2. Волновая функция - произведение одночастичных, т.е. $\Psi(x_1,\dots,x_N)=\prod \psi_i(x_i),\; \hat{H_i}\psi_i(x_i)=\varepsilon_i\psi_i(x_i),$ чему равна энергия?

1) $ E=hw(n+1/2) $
2) Но ведь волновая функция - определитель, там будет большая сумма - где я ошибся?
если было бы произведение, то $E^n$