Линейное многообразие

[GrandCube]

Доказать, что мн-во полиномов степени не больше $4$, производная которых равна $3x^2+4x$, образует многообразие в пространстве многочленов степени не выше 4. Задать многообразие параметрически. Найти размерность многообразия.

Из условия, что производная равна $3x^2+4x$, следует, если я правильно понимаю, что коэффициенты при $x^2$ и $x^3$ равны 2 и 1 соответственно, а свободный член принимает любые значения из $\mathbb{R}$. Мой вопрос в том, как тогда записать многообразие в параметрической форме. Что будет базисным вектором подпространства? Ведь не может же $3x^2+4x+1$ быть таковым, потому что есть лишь одна линейная комбинация, при которой выполняется условие, наложенное на производную. И что будет играть роль вектора сдвига: свободный член?

[Aritaborian]

GrandCube в сообщении #1085277 писал(а):

что коэффициенты при $x^2$ и $x^3$ равны 2 и 1 соответственно, а свободный член принимает любые значения из $\mathbb{R}$.

Запишите это как-то более внятно: меньше слов, одной формулой.

GrandCube в сообщении #1085277 писал(а):

И что будет играть роль вектора сдвига: свободный член?

Учебники-то читали, а?

[mihailm]

предмет то как называется?

[arseniiv]

Ещё можно посоветовать записать многочлены в координатах, это может немного прояснить дело. Координаты — это коэффициенты многочлена.

[Anton_Peplov]

mihailm в сообщении #1085281 писал(а):

предмет то как называется?

Присоединяюсь к вопросу. Это как называется - все еще линейная алгебра или уже функциональный анализ? Понятно, что назвать можно хоть груздем, но в учебниках под каким названием оно обычно изложено?
Вот термин "линейное многообразие" вводится в книге Колмогорова и Фомина "Элементы теории функций и функционального анализа", но про параметрическое задание там, например, ни слова.

[GrandCube]

Это все ещё линейная алгебра. Просто до этого делал задания на многообразия только с решениями неоднородных систем, поэтому в данном случае я не смог сообразить, что есть что. Учебники читал, но там только общее понятие( искал в Вимберге, Ильине/Позняке, в одном из томов Кострикина, Ильине/Киме). Если подскажете, где более или менее подробно описаны линейные многообразия, буду крайне благодарен. Конкретно про параметрическое задание я в учебниках вообще не видел.

[Someone]

GrandCube в сообщении #1085347 писал(а):

Просто до этого делал задания на многообразия только с решениями неоднородных систем, поэтому в данном случае я не смог сообразить, что есть что.

Это немножко странно…

GrandCube в сообщении #1085347 писал(а):

где более или менее подробно описаны линейные многообразия

Да чего там "подробно" описывать… Определение, несколько простых свойств, и всё.

GrandCube в сообщении #1085277 писал(а):

Мой вопрос в том, как тогда записать многообразие в параметрической форме.

А для систем-то как записывали?

[Anton_Peplov]

GrandCube в сообщении #1085347 писал(а):

Конкретно про параметрическое задание я в учебниках вообще не видел.

А задачу откуда взяли?

[ewert]

GrandCube в сообщении #1085277 писал(а):

Мой вопрос в том, как тогда записать многообразие в параметрической форме.

Как $\vec a_0+C_1\vec a_1+C_2\vec a_2+\ldots$.

GrandCube в сообщении #1085277 писал(а):

Что будет базисным вектором подпространства?

Тупо проинтегрируйте -- выражение для неопределённого интеграла автоматически и окажется нужной записью.

[Aritaborian]

У семи нянек дитя с $-5$ глазами. Вот щас как запутается, а мы давай ему снова объяснять. Я должен был в своём предыдущем сообщении как-то конкретнее выразиться?

[GrandCube]

Aritaborian, если $p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2+a_{3}x^3+a_{4}x^4$ и $p'(x)=3x^2+4x$, то коэффициенты определены однозначно(кроме $a_{0}$): $a_{0}$- произвольное число; $a_{1}=0; a_{2}=2; a_{3}=1; a_{4}=0$. Постарался конкретнее.

Someone, для систем находил фундаментальный набор решений однородной слау, далее записывал многообразие как линейную оболочку векторов из фнр + частное решение неоднородной системы.

[Brukvalub]

GrandCube в сообщении #1085545 писал(а):

если $p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2+a_{3}x^3+a_{4}x^4$ и $p'(x)=3x^2+4x$, то коэффициенты определены однозначно(кроме $a_{0}$): $a_{0}$- произвольное число; $a_{1}=0; a_{2}=2; a_{3}=1; a_{4}=0$. Постарался конкретнее.

Верно. Теперь можно отвечать на вопросы задачи.

[мат-ламер]

GrandCube в сообщении #1085347 писал(а):

Это все ещё линейная алгебра.

GrandCube . А если бы эта задача была не в курсе линейной алгебры. а в курсе анализа, то вы бы могли решить её? Допустим задача формулировалась так. Известно, что производная функции записывается так-то. Как записать саму функцию? (Обратите внимание на сообщение ewertа).

-- Чт дек 24, 2015 22:30:13 --

Впрочем, решите сначала задачу с позиции линейной алгебры - составьте систему уравнений ... Полезно потом сравнить оба решения.

[GrandCube]

$L[a(0;0;2;1;0)]+c(1;0;0;0;0)?$ Но тут же многочлен, не может же базисный вектор быть вектором-строкой коэффициентов, к тому же о какой линейной оболочке может идти речь, если однозначно определены коэффициенты? Просто $a(0;0;2;1;0)+c(1;0;0;0;0)$?

[Brukvalub]

GrandCube в сообщении #1085570 писал(а):

к тому же о какой линейной оболочке может идти речь, если однозначно определены коэффициенты?

Вот молодец! Сам пишет глупости и сам же над ними смеется! Самообслуживание - новый сервис форума!