Пятая аксиома Пеано и Ларина

[Unx]

1 $0 \in \mathbb{N}$
2 $x \in \mathbb{N} \rightarrow Sx \in \mathbb{N}$
3 $x \in \mathbb{N} \rightarrow Sx \neq 0$
4 $x \in \mathbb{N} \land y \in \mathbb{N} \land Sx = Sy \rightarrow x=y$
5 $0 \in M \land \forall x (x \in M \rightarrow Sx \in M) \rightarrow N \subseteq M$

Если взять $\mathbb{Z}$ в качестве надмножества, и подставить его в пятую аксиому, получится $0 \in \mathbb{Z} \land \forall x (x \in \mathbb{Z} \rightarrow Sx \in \mathbb{Z}) \rightarrow N \subseteq \mathbb{Z}$. Выберем какой-нибудь $x$, например $-10$. Тогда, поскольку функция следования $S$ определена только для натуральных чисел, утверждение $S(-10) \in \mathbb{Z}$ будет некорректным. А это означает что и пятая аксиома сама является некорректной.

[arseniiv]

Какой занимательный подход. Если уж на то пошло, нигде в аксиомах не сказано, что $S$ определена только на $\mathbb N$ [это следует читать не так, как это написано, потому что $S$ — это ведь функциональный символ, и он нигде не определён, но об этом теперь можно прочитать ниже].

А вообще, пусть меня поправят, но это какие-то весьма странные аксиомы. Если уж есть теория множеств и $\in$, можно определить $\mathbb N$ прямее; если теорию множеств не включать, то надо убрать и $\in$, заменив принадлежности множествам предикатами, при этом заменив $v\in\mathbb N$ тавтологиями, и т. д.. А то какая-то непонятная середина.

-- Чт дек 24, 2015 14:06:46 --

Но, допустим, мы всё-таки решили иметь дело с такими аксиомами. Ладно. Тогда

1. Если переменные здесь только одного типа — и, видимо, интерпретируются как множества, и потому есть ещё некоторое число не показанных здесь аксиом, касающихся $\in$ — то $S$, безусловно, как нормальный обычный функциональный символ, интерпретируется функцией на всех множествах. (Ну или тех объектах, которыми мы заполняем область интерпретаций.) В том числе на $-10$, и даже на $\mathbb N,\mathbb Z$. И вопроса не стоит.

2. Если переменные нескольких сортов — например, натуральные(?) числа и подмножества $\mathbb N$ ($\mathbb Z$?) — то сначала надо дорассказать, чем мы это всё-таки интерпретируем (а то вон сколько сомнений), какого сорта терм $S(x)$ и какого сорта туда подставляемый $x$ должны быть. А некорректность как-нибудь потом.

[Unx]

arseniiv в сообщении #1085350 писал(а):

не сказано, что $S$ определена только на $\mathbb N$.

$S$ - это функция. Она определена и замкнута на $\mathbb N$. Невозможно переопределить ее для бесконечного числа надмножеств. Я и представить не могу, как эта функция должна выглядеть для $\mathbb{Z},\mathbb{R},\mathbb{C}$.

-- 24.12.2015, 13:19 --

Unx в сообщении #1085356 писал(а):

натуральные(?) числа и подмножества $\mathbb N$ ($\mathbb Z$?) — то сначала надо дорассказать, чем мы это всё-таки интерпретируем (а то вон сколько сомнений), какого сорта терм $S(x)$ и какого сорта туда подставляемый $x$ должны быть.

$M$ - переменная, вместо которой, как я понимаю, можно подставить любое надмножество $\mathbb N$. Про $x$ четко написано, что это произвольный элемент $M$.

[whitefox]

Unx в сообщении #1085345 писал(а):

утверждение $S(-10) \in \mathbb{Z}$ будет некорректным

То есть ложным? И если да, то что вас смущает?

[Unx]

arseniiv в сообщении #1085350 писал(а):

$S$ — это ведь функциональный символ, и он нигде не определён

Кстати, это да. Но любая интерпретация требует, чтобы $S$ была определена, а аксиома оставалась справедливой для любого $M$.

whitefox в сообщении #1085358 писал(а):

То есть ложным? И если да, то что вас смущает?

В чем ложность? Мы представления не имеем, что такое $S(-10)$. Здесь функция не определена. Поэтому нет смысла в записи $S(-10) \in \mathbb{Z}$.

[arseniiv]

Unx в сообщении #1085356 писал(а):

$S$ - это функция.

Неа, $S$ — это функциональный символ. Функции — самые разные — сопоставляются ему интерпретациями.

Если же $S$ понимать как переменную (для функции — видимо, как множества, или у нас три сорта переменных и вообще праздник), то должны быть какие-то аксиомы, касающиеся того, что это именно функция оттуда-то туда-то. (А ещё должна быть определяющая аксиома для применения функции к аргументу, но ладно уж: раз теоретико-множественные аксиомы не приведены, об этом можно даже не начинать.)

Unx в сообщении #1085356 писал(а):

Она определена и замкнута на $\mathbb N$. Невозможно переопределить ее для бесконечного числа надмножеств. Я и представить не могу, как эта функция должна выглядеть для $\mathbb{Z},\mathbb{R},\mathbb{C}$.

Если говорить о функции $x\mapsto x+1$, то запросто: вот так выглядеть и будет. И замкнутость её на $\mathbb N$ ничему не мешает.

Unx в сообщении #1085356 писал(а):

$M$ - переменная, вместо которой, как я понимаю, можно подставить любое надмножество $\mathbb N$.

А почему подмножество или не пересекающееся с $\mathbb N$ множество нельзя? И когда уже будет описано точно, с каким именно языком предлагается в этой теме иметь дело?

-- Чт дек 24, 2015 14:35:07 --

Unx в сообщении #1085364 писал(а):

Кстати, это да. Но любая интерпретация требует, чтобы $S$ была определена, а аксиома оставалась справедливой для любого $M$.

Интерпретация как раз справедливости аксиомы не требует, не нужно путать интерпретацию и модель — интерпретацию, в которой интересующие формулы истинны. А вот функция, сопоставленная интерпретацией символу $S$, будет определена на элементе, сопоставленном интерпретацией терму $-10$. И всё прекрасно.

Но всё-таки сначала надо навести порядок в языке и привести недостающие аксиомы, если они есть. Какие функциональные, предикатные символы, константы, сколько типов переменных и всё такое.

[whitefox]

Unx в сообщении #1085364 писал(а):

В чем ложность?

А это как определить. Можно считать, что вне своей области определения функция принимает особое значение "не определено", и это особое значение множеству $\mathbb{Z}$ не принадлежит.

[Someone]

Unx в сообщении #1085345 писал(а):

Тогда, поскольку функция следования $S$ определена только для натуральных чисел

Нигде не сказано, что "только". Напротив, нужно предполагать, что $Sx$ определено для всякого $x$. Но свойства 2, 3, 4 выполняются только для элементов $\mathbb N$ (кстати, в аксиоме 5 написано $N$ вместо $\mathbb N$).

Unx в сообщении #1085356 писал(а):

$M$ - переменная, вместо которой, как я понимаю, можно подставить любое надмножество $\mathbb N$.

Это нигде не написано.

arseniiv в сообщении #1085350 писал(а):

2. Если переменные нескольких сортов — например, натуральные(?) числа и подмножества $\mathbb N$ ($\mathbb Z$?) — то сначала надо дорассказать, чем мы это всё-таки интерпретируем (а то вон сколько сомнений), какого сорта терм $S(x)$ и какого сорта туда подставляемый $x$ должны быть. А некорректность как-нибудь потом.

Похоже, что $x$ пробегает неопределённую совокупность элементов. а $M$ — совокупность множеств этих элементов. То есть, имеем дело либо с двухсортной логикой, либо с теорией второго порядка.

whitefox в сообщении #1085358 писал(а):

То есть ложным? И если да, то что вас смущает?

Похоже, что не ложное, а просто совсем не определено, что также совсем нехорошо.

P.S. Пока писал, куча сообщений появилась.

[arseniiv]

Someone в сообщении #1085367 писал(а):

P.S. Пока писал, куча сообщений появилась.

Надеюсь, я не спутал карты.

[Someone]

(arseniiv)

Нет-нет, пишите дальше. Мне некогда.

[Unx]

arseniiv в сообщении #1085365 писал(а):

А почему подмножество или не пересекающееся с $\mathbb N$ множество нельзя?

Разве нельзя? Просто в пятой аксиоме мы получим импликацию с ложным заключением. Отсюда требуется, чтобы посылка тоже была ложной.

arseniiv в сообщении #1085365 писал(а):

И когда уже будет описано точно, с каким именно языком предлагается в этой теме иметь дело?

Я не знаю. В учебниках по арифметике не говорится, какими теориями мы пользуемся изначально.
Вероятно это исчисление предикатов + некоторая аксиоматическая теория множеств (только вот какая конкретно?).

whitefox в сообщении #1085366 писал(а):

Можно считать, что вне своей области определения функция принимает особое значение "не определено", и это особое значение множеству $\mathbb{Z}$ не принадлежит.

Нельзя. Этого значения не существует. Нельзя работать с ним как с элементом множества. Вообще вопрос принадлежности - это вполне серьезный вопрос.

[arseniiv]

Unx в сообщении #1085374 писал(а):

Разве нельзя? Просто в пятой аксиоме мы получим импликацию с ложным заключением. Отсюда требуется, чтобы посылка тоже была ложной.

Тогда OK. Просто вы выше сказали, что подставлять можно только надмножество.

Unx в сообщении #1085374 писал(а):

Я не знаю. В учебниках по арифметике не говорится, какими теориями мы пользуемся изначально.
Вероятно это исчисление предикатов + некоторая аксиоматическая теория множеств (только вот какая конкретно?) + пять аксиом Пеано.

Странно. Давайте посмотрим источник. Аксиомы из первого поста вы откуда брали?

-- Чт дек 24, 2015 14:53:35 --

Это чтобы дальше в угадайку не играть и языки не перебирать.

[Someone]

Unx в сообщении #1085374 писал(а):

Просто в пятой аксиоме мы получим импликацию с ложным заключением. Отсюда требуется, чтобы посылка тоже была ложной.

А она разве истинная?

Вообще, аксиома 5 означает, что $\mathbb N$ есть…

[whitefox]

Unx в сообщении #1085374 писал(а):

Этого значения не существует.

Опять же, как определить. Функцию $S:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ можно доопределить до функции $S:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{N}^{\bot},$ где $\mathbb{N}^{\bot}=\mathbb{N}\cup\{\bot\},$ а $\bot$ и есть особое значение "не определено".

[Unx]

arseniiv в сообщении #1085378 писал(а):

Аксиомы из первого поста вы откуда брали?

Я не помню. У Ларина словесные формулировки, и там немного не так.
Там к посылке и заключению добавляется условие $M \subseteq N$, получается:
$M \subseteq N \land 0 \in M \land \forall x (x \in M \rightarrow Sx \in M) \rightarrow N = M$
Но проблему это не решает. Берем вместо $M$ любое собственное надмножество, например $\mathbb{Z}$, и получаем некорректное утверждение.