Что такое матрица плотности?

[Red_Herring]

Самосопряжённых операторов вагон и маленькая тележка. Но только некоторые из них имеют титул наблюдаемой (и не всегда ясно является ли данный оператор наблюдаемой). Например, как мы выяснили в одной из тем. при наличие магнитного поля только оператор импульса $-i\hbar\partial_j-eA_j$ (а вовсе не обобщённого импульса $-i\hbar\partial_j$ является наблюдаемой.

[g______d]

Red_Herring в сообщении #1084419 писал(а):

Например, как мы выяснили в одной из тем. при наличие магнитного поля только оператор импульса $-i\hbar\partial_j-eA_j$ (а вовсе не обобщённого импульса $-i\hbar\partial_j$ является наблюдаемой.

А это именно наблюдаемая/ненаблюдаемая в квантовомеханическом смысле? Вообще, если бы Вы могли напомнить, где это обсуждалось...

Ну и кстати, электрическое поле при этом есть?

[Red_Herring]

g______d в сообщении #1084436 писал(а):

А это именно наблюдаемая/ненаблюдаемая в квантовомеханическом смысле? Вообще, если бы Вы могли напомнить, где это обсуждалось...

Ну и кстати, электрическое поле при этом есть?

http://dxdy.ru/post957736.html
Наличие электрического поля непринципиально

[g______d]

Нет, ну про калибровочную инвариатность я вроде знаю. Но вот можно ли как-то взглянуть на квантовый гамильтониан и понять, что

Red_Herring в сообщении #1084419 писал(а):

только оператор импульса $-i\hbar\partial_j-eA_j$ (а вовсе не обобщённого импульса $-i\hbar\partial_j$ является наблюдаемой.

без разговоров про процедуру квантования?

[Red_Herring]

g______d в сообщении #1084454 писал(а):

без разговоров про процедуру квантования?

Ну этот то уже проквантованый.

Впрочем, некое время назад несколько румынских математиков придумали процедуру "магнитного квантования". Тогда мне показалось это обобщательством, но надо взглянуть будет ещё раз.

[g______d]

Red_Herring в сообщении #1084465 писал(а):

Ну этот то уже проквантованый.

Ну да, но как Вы объявляете один оператор наблюдаемой, а другой нет? Есть ли какие-то чисто квантовые аргументы в пользу того, что $-i\hbar \partial_1$ -- не наблюдаемая?

[Munin]

g______d в сообщении #1084413 писал(а):

Что значит "при переменном состоянии"? Я так и не понял. Состояние, по которому строится оператор, не переменное; это фиксированный (раз и навсегда) вектор гильбертова пространства.

Такого не бывает. Слово "состояние" означает, что это не фиксированный вектор.

Можно говорить про вектор, можно его фиксировать, но нельзя про фиксированный говорить "состояние".

g______d в сообщении #1084413 писал(а):

Нет, в классический механике есть фазовое пространство. Координаты $q$ и $p$ там можно ввести только иногда.

Ну, эти извращения в физике играют не очень большую роль. Обычно всегда.

g______d в сообщении #1084413 писал(а):

У всего этого есть квантовые аналоги.

Да не в этом дело. А в том, что есть физический смысл у слов. И его нельзя менять по своему произволу.

И самое главное. У математического аппарата классической механики - есть "квантовый аналог". А вот физическое содержание понятий в классической и в квантовой механике разное. Экспериментальную интерпретацию приходится выдумывать с нуля, и прямого соответствия между одной и другой - нет.

g______d в сообщении #1084413 писал(а):

Ну т. е. я не понимаю, почему квантовая механика должна быть менее абстрактной, чем классическая механика. Квантовых гамильтоновых систем, интересных для изучения, не меньше, чем классических.

Не понимаете, потому что игнорируете главное: квантовая механика - это не только математическая теория, это в первую очередь физическая теория.

И гамильтоновость, конечно же, не обозначает абстрактности.

-- 21.12.2015 20:59:09 --

g______d в сообщении #1084480 писал(а):

Ну да, но как Вы объявляете один оператор наблюдаемой, а другой нет?

Для начала поймите, что то, что произносит Red_Herring - это математические критерии, а то, что я - физические, и они более жёсткие.

Можно "объявить" оператор наблюдаемой. Но от этого не появится по волшебству прибора, который умеет её наблюдать.

Иногда это очень серьёзная и насущная экспериментальная проблема.

Ну как простейший пример: поляризация света есть элемент $\mathrn{SU}(2),$ и может быть описана в трёх базисах, физически выбираемых так:
- линейные поляризации вертикальная или горизонтальная;
- линейные поляризации диагональные под углом $45^\circ$;
- круговые поляризации по и против часовой стрелке.
Измерить линейные поляризации легко: существует природный минерал турмалин, пластинка из которого просто отсеивает ненужную поляризацию, и измерение сводится к "есть свет - нет света" (доля интенсивности, или для отдельных фотонов вероятность). А вот круговая, более удобная для теоретиков, так просто не измеряется. Знаете ли вы, как?

[chislo_avogadro]

g______d в сообщении #1084413 писал(а):

Что значит "при переменном состоянии"?

Не спор ли это о представлениях (Гейзенберга/Шредингера)?

[g______d]

chislo_avogadro в сообщении #1084576 писал(а):

Не спор ли это о представлениях (Гейзенберга/Шредингера)?

Нет.

Munin в сообщении #1084508 писал(а):

А вот круговая, более удобная для теоретиков, так просто не измеряется. Знаете ли вы, как?

Не знаю. Вспоминаются какие-то четверть-волновые пластинки. Ну и ещё бывают круговые поляризационные фильтры для фотоаппаратов.

Munin в сообщении #1084508 писал(а):

Экспериментальную интерпретацию приходится выдумывать с нуля, и прямого соответствия между одной и другой - нет.

Всё равно получается в духе "заткнись и считай". Но вопросы интерпретации лично мне не очень интересны и я их не отношу к КМ.

Munin в сообщении #1084508 писал(а):

Для начала поймите, что то, что произносит Red_Herring - это математические критерии, а то, что я - физические, и они более жёсткие.

Я ещё математических критериев не понял.

Munin в сообщении #1084508 писал(а):

Можно "объявить" оператор наблюдаемой. Но от этого не появится по волшебству прибора, который умеет её наблюдать.

Наличие прибора (видимо, классического) -- это внешнее обстоятельство. До момента измерения операторы, соответствующие наблюдаемым, для которых есть реальные приборы, неотличимы от операторов, для которых приборов нет или пока ещё не придумали. Ну и вообще: вы, по-видимому, утверждаете, что для физиков КМ является некоторым "чёрным ящиком", в котором значение имеют только показания приборов на выходе. Но, опять же, в моём понимании КМ -- это математическая модель того, что происходит внутри ящика (т. е. уравнение Шрёдингера), а преобразование результата решения УШ в показания приборов -- это интерпретация КМ, а не КМ.

И для уравнения Шрёдингера нет никакой разницы, является наблюдаемой тот или иной оператор, входящий в него, или не является.

Munin в сообщении #1084508 писал(а):

акого не бывает. Слово "состояние" означает, что это не фиксированный вектор.

Можно говорить про вектор, можно его фиксировать, но нельзя про фиксированный говорить "состояние".

Если вы имели в виду зависимость состояния от времени, то хорошо, возьмём некоторое состояние в момент времени $t=0$, рассмотрим соответствующий вектор в гильбертовом пространстве и возьмём проектор на него. Сам вектор определён с точностью до фазы, но проектор на него от этой фазы не зависит. Получили самосопряжённый оператор, не зависящий от времени. На наличие или отсутствие прибора, позволяющего измерять этот оператор, забиваем, потому что от этого ничего не будет зависеть, пока мы находимся в рамках КМ (а не интерпретации).

[Red_Herring]

g______d в сообщении #1084480 писал(а):

Есть ли какие-то чисто квантовые аргументы в пользу того, что $-i\hbar \partial_1$ -- не наблюдаемая?

Ну просто потому, что в результате калибровочного преобразования она изменится. Разумеется, это будет если мы разрешим их.

На мой взгляд большинство самосопряженных операторов особого физического смысла не имеют. И уж на совсем интуитивном уровне наблюдаемая—это то что можно реально наблюсти (измерить).

[amon]

С интересом слежу за происходящим ;) Пока могу прокомментировать только

Red_Herring в сообщении #1084419 писал(а):

только оператор импульса $-i\hbar\partial_j-eA_j$ (а вовсе не обобщённого импульса $-i\hbar\partial_j$ является наблюдаемой.

Для того, что бы понять, что $p-eA$ наблюдаемая, а $p$ - нет никакой квантовой механики не нужно. Поскольку (в классической механике) $p=mv+eA$, то он зависит от калибровки, что для наблюдаемой нехорошо, а $p-eA$ не зависит, что хорошо. Более затейливый пример наблюдаемой - не наблюдаемой, IMHO, - переменные действие-угол для осциллятора. В классике и то, и другое измеряется косвенно. Действие как энергия деленная на частоту, а угол - совсем затейливо, через координату и начальную координату или координату и скорость. Так вот, действию удается сопоставить оператор (число частиц - $(a^+a+aa^+)/2$), а с углом проблема. Ему самосопряженный оператор не сопоставить. Это нечто другое по сравнению с тем, что говорит уважаемый Munin. В общем, слежу дальше.

[Red_Herring]

amon
Ну конечно, он (обобщённый импульс) не наблюдаем ни там, ни тут (и в той дискуссии, на которую я ссылался, обсуждались также классические лагранжианы и гамильтонианы).

[g______d]

Red_Herring в сообщении #1084594 писал(а):

Ну просто потому, что в результате калибровочного преобразования она изменится. Разумеется, это будет если мы разрешим их.

amon в сообщении #1084595 писал(а):

Для того, что бы понять, что $p-eA$ наблюдаемая, а $p$ - нет никакой квантовой механики не нужно.

Ну это всё-таки немного другой вопрос. Мы каким-то внешним образом (из классики) предполагаем, что калибровочно эквивалентные гамильтонианы описывают одну и ту же физическую систему. В КМ без этого предположения мы имеем только унитарную эквивалентность соответствующих гамильтонианов. Но разве этого достаточно для физической эквивалентности систем? Мало ли можно придумать унитарных преобразований?

В общем, я не уверен, что это то же понятие наблюдаемости, о котором шла речь выше.

[Red_Herring]

Я не уверен что точное определение существует. Но для некоторых операторов "нутром чую" наблюдаемы али нет

[amon]

g______d в сообщении #1084603 писал(а):

В общем, я не уверен, что это то же понятие наблюдаемости, о котором шла речь выше.

И тем не менее, получается, что не всякий самосопряженный оператор соответствует наблюдаемой, а также не всякой классической наблюдаемой удается сопоставить самосопряженный оператор (ниспровергатели квантовой механики! Ау-у!).