Контрпример для усиленной леммы Рисса о почти перпендикуляре

[nedosh96]

Вроде бы все понял, кроме момента, почему для любой функции $f$ такой, что $||f||=1$,

$$ ||T|| = \sup_{g \in X} \frac{|T(f-g)|}{||f-g||}, $$

где $X$ -- ядро данного функционала.

[Someone]

Someone в сообщении #1084214 писал(а):

Вообще-то, единичный шар — это множество элементов с нормой $\leqslant 1$. Не знаю, можно ли ограничиться элементами с единичной нормой. У меня какие-то опасения на этот счёт.

Не надо обращать внимание на глупость, которую я тут написал.

[Nsk]

nedosh96 в сообщении #1084276 писал(а):

Вроде бы все понял, кроме момента, почему для любой функции $f$ такой, что $||f||=1$,

$$ ||T|| = \sup_{g \in X} \frac{|T(f-g)|}{||f-g||}, $$

где $X$ -- ядро данного функционала.

Нужно просто воспользовать, что коразмерность ядра функционала 1. Тогда для любых $f$,$ h$ из единичной сферы
$f-\alpha h$ лежит ядре ($\alpha$ просто какой-то ненулевой коэфициент)
$||T|| = \sup\limits_{||f||=1, g \in X} \frac{|T(f+g)|}{||f+g||} =\sup\limits_{||f|=1, g \in X} \frac{|T(f-(f-\alpha h)+\alpha g)|}{||f-(f-\alpha h)+\alpha g||}=\sup\limits_{g \in X}\frac{|T(g-h)|}{||g-h||}$
(первое равенство вытекает из того, что супремум можно брать как по единичной сфере так и по всему пространству, значит можно и в таком специальном виде)
где $||h||=1$

[nedosh96]

Nsk, спасибо за решение!
Его можно немного упростить. Пусть : $X=\{f | f \in C[0,1], f(0)=0\}$, $Y=\{f | f \in C[0,1], f(0)=0, \int\limits_{0}^{1}f = 0\}$. Если у нас есть $x \in X$, $||x|| \le 1$ и $M:=\left|\int\limits_0^1 x(t) d(t)\right| < 1$, мы должны взять n такое, что

$$ \frac{M}{1-M}<n. $$

Далее мы строим $g(t)$:

$$ g(t) = \begin{cases} \frac{(n+1)^2}{n}t, & x \in [0,\frac{1}{n+1}] \\ \frac{n+1}{n}, & x \in (\frac{1}{n+1},\frac{n}{n+1}] \\ -\frac{(n+1)^2}{n}t + \frac{(n+1)^2}{n}, & x \in (\frac{n}{n+1},1] \end{cases}. $$

Заметим, что $g \in X$. Пусть $y(t) = x(t) - M g(t)$. $y \in Y$ и $||x-y|| = ||Mf(t)|| = M \cdot \frac{n+1}{n}<1$. Следовательно, $d(x,Y)<1$.