Контрпример для усиленной леммы Рисса о почти перпендикуляре

[nedosh96]

Здесь описан контрпример для усиленной леммы Рисса о почти перпендикуляре (усиленная лемма говорит о том, что если у нас есть нормированное пространство $X$ и его замкнутое подпространство $Y$, не совпадающее с $X$, то существует $x \in X$ такой, что $d(x,Y) \ge 1$). Я не понимаю, почему он подходит.
В сущности, я не понимаю, почему для любой функции $f \in C[0,1]$, $||f||=1$, $f(0)=0$ существует функция $g \in C[0,1]$, $\int\limits_{0}^{1}g=0$, $g(0)=0$ такая, что $||f-g||<1$

[Brukvalub]

nedosh96 в сообщении #1084166 писал(а):

В сущности, я не понимаю, почему для любой функции $f \in C[0,1]$, $||f||=1$, $f(0)=0$ существует функция $g \in C[0,1]$, $\int\limits_{0}^{1}g=0$, $g(0)=0$ такая, что $||f-g||<1$

А вот я не понимаю, как то утверждение, которое я процитировал, связано с контрпримером.

[Nsk]

Brukvalub в сообщении #1084177 писал(а):

связано с контрпримером.

Ядро функционала интегрирования - замкнутое подпространство пространства гладких на отрезке функций, обращающихся в нуль в нуле.

[Brukvalub]

Nsk в сообщении #1084179 писал(а):

Ядро функционала интегрирования - замкнутое подпространство пространства гладких функций на отрезке, обращающихся в нуль в нуле.

И еще вещественная часть голоморфной функции является гармонической функцией в области голоморфности. Но какое отношение все эти могучие высказывания имеют к контрпримеру?

[nedosh96]

Контрпример: $X=\{f | f \in C[0,1], f(0)=0\}$, $Y=\{f | f \in C[0,1], f(0)=0, \int\limits_{0}^{1}f = 0\}$. Просто перепечатал с той ссылки, которую дал. Там кстати норма для Х не указана. Я так полагаю, что норма $||f|| = \int\limits_{0}^{1} |f(t)|dt$ в данном случае.

[Brukvalub]

nedosh96 в сообщении #1084184 писал(а):

Я так полагаю, что норма $||f|| = \int\limits_{0}^{1} |f(t)|dt$ в данном случае.

Да, норма - такая. Ну и что?

[nedosh96]

Я хочу понять, почему это -- контрпример, т.е. почему не существует $x \in X$, $||x||=1$ такого, что $d(x,Y) \ge 1$.

[Brukvalub]

nedosh96, вы настойчиво пропускаете слова про единичный шар, которые есть в приведенной вами ссылке. Зачем?

[nedosh96]

Да, точно, ошибочка вышла. $x \in X$, $||x||=1$. В первом сообщении я тоже забыл это указать.

[Someone]

nedosh96 в сообщении #1084195 писал(а):

Да, точно, ошибочка вышла. $x \in X$, $||x||=1$. В первом сообщении я тоже забыл это указать.

Самое интересное, что про единичный шар Вы снова ни слова…

[nedosh96]

Someone в сообщении #1084206 писал(а):

Самое интересное, что про единичный шар Вы снова ни слова…

Я немного запутался. По ссылке $x$ берется из единичного шара вокруг элемента $f=0$ (насколько я теперь понял), в другой формулировке теоремы Рисса у $x$ просто норма равна 1.
Так или иначе, чтобы показать, что этот пример опровергает утверждение, которое было сформулировано выше, нужно показать, что как минимум для функций с нормой 1 расстояние до $Y$ меньше 1.

[Brukvalub]

nedosh96 в сообщении #1084210 писал(а):

Я немного запутался.

У меня есть грандиозная идея: вы должны распутаться! Для этого вы внимательно читаете лемму Рисса, после чего ТОЧНО формулируете, в чем должен состоять контрпример к усиленной лемме Рисса.

[Someone]

Вообще-то, единичный шар — это множество элементов с нормой $\leqslant 1$. Не знаю, можно ли ограничиться элементами с единичной нормой. У меня какие-то опасения на этот счёт.

[nedosh96]

Brukvalub в сообщении #1084212 писал(а):

У меня есть грандиозная идея: вы должны распутаться! Для этого вы внимательно читаете лемму Рисса, после чего ТОЧНО формулируете, в чем должен состоять контрпример к усиленной лемме Рисса.

Давайте будем рассматривать ту формулировку, в которой $||x||=1$. Так лемма Рисса записана у меня в конспектах, так она изложена в английской википедии. По ссылке $x$ берется из единичного шара и для этой формулировки дан контрпример, в нашем случае шар заменяется на сферу, так что этот пример тоже должен работать.

Someone в сообщении #1084214 писал(а):

Вообще-то, единичный шар — это множество элементов с нормой $\leqslant 1$. Не знаю, можно ли ограничиться элементами с единичной нормой. У меня какие-то опасения на этот счёт.

Я написал

nedosh96 в сообщении #1084210 писал(а):

как минимум

[Nsk]

nedosh96 в сообщении #1084166 писал(а):

В сущности, я не понимаю, почему для любой функции $f \in C[0,1]$, $||f||=1$, $f(0)=0$ существует функция $g \in C[0,1]$, $\int\limits_{0}^{1}g=0$, $g(0)=0$ такая, что $||f-g||<1$

Сперва отметим, что очевидно найдётся $g$ т.ч. $||f-g||\leqslant1$ (взять нулевую функцию)
Рассмотрим функционал $T:f\to\int\limits_{0}^{1}f$ на подпространстве пространства $C[0,1]$ из зануляющихся в нуле непрерывных функции(со стандартной супремум нормой)
Его норма единица(проверьте). Она недостигается(воспользуйтейсь тем функции из единичного шара рассматриваемого пространства непрерывны и в нуле ноль, из чего их интеграл строго меньше 1)
$$\left\lVert T \right\rVert =\sup\limits_{g \in X}\frac{\left\lvert T(f-g)\right\rvert }{\left\lVert f-g \right\rVert}=\frac{\left\lvert T(f)\right\rvert }{\inf\limits_{g \in X}\left\lVert f-g \right\rVert}$
(обратите внимание что супремы инфинумы берутся по g из ядра функционала)
Отсюда получаем что достижимость супремума в оперделении нормы функционала эквивалентна существованию ближайшего к $f$ элемента $g$ из ядра функционала.
Осталось заключить, что если б не нашлось $g$ такой, что оценка $||f-g||\leqslant 1$ улучшаема, то для некоторого $f$ нашёлся бы ближайший $g$

(Оффтоп)

Brukvalub в сообщении #1084182 писал(а):

Но какое отношение

Извините