2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4
 
 Re: Тождество Эйлера и азрпч.
Сообщение15.12.2015, 15:48 


27/02/09
2374
Формула, которую привел DiMath (кстати, хотелось бы ссылочку), очевидна из статистических соображений, данных В. Боссом(см. стартовый пост), слегка модифицированных. Убираю под кат дабы не смущать.

(Оффтоп)

Из решета Эратосфена вероятность встречи в разложении любого числа из промежутка $\Delta x$ (промежуток с ростом $x$ также растет, но медленнее, как $\sqrt{x}$) простого числа $p_i$ приблизительно равна
$$\dfrac{1}{\Delta x}\frac{\Delta x}{p_i}$$
Если исходить из одинаковой, независимой от других вероятности "посещения" простым числом любого натурального из $\Delta x$, то имеем стандартную схему: $\Delta x (\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...\frac{1}{p_i})$ "различимых частиц" случайным образом независимо друг от друга распределены по $\Delta x$ ячейкам. Вероятность ячейке быть заполненной ровно $k-1$ "частицами"(учитывая, что $k=1$ это пустая ячейка) дается распределением Пуассона, так как $\Delta x >> 1$. Параметр распределения - $\lambda$ - среднее число число частиц в ячейке, равное числу частиц, деленному на "длину" промежутка $\Delta x$, можно записать как (см. предыдущий пост):
$$\lambda=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...\frac{1}{p_i}\approx\int\limits_{2}^{x}\frac{\rho(t)}{t}dt\sim \ln (\ln x) $$

 Профиль  
                  
 
 Re: Тождество Эйлера и азрпч.
Сообщение15.12.2015, 20:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
druggist
Не надо писать "формула очевидна", если приводите эвристические соображения. Вас уже просили об этом.

-- 15.12.2015, 20:31 --

Тут у нас в дискусионном разделе есть пара "вероятностников", пытающихся в простые лезть. Так они даже вероятностное пространство не смогли определить в своих задачах.

Эти методы не годятся для доказательства. Только для эвристики, "угадывания" главных членов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тождество Эйлера и азрпч.
Сообщение15.12.2015, 22:21 


13/07/10
104
ex-math в сообщении #1082165 писал(а):
DiMath
Но это для фиксированного $k $.


Как угодно:
При $1\leqslant k \leqslant (2-\varepsilon)\log\log x$, $0<\varepsilon<1$, $x\geqslant 3$

$\displaystyle\pi_{k}(x)=\frac{x}{\log x}F\left(\frac{k}{\log\log k}\right)\frac{(\log\log x)^{k-1}}{(k-1)!}\left(1+O_{\varepsilon}\left(\frac{1}{\log\log x}\right)\right)$

где $\displaystyle F(z)=\frac{1}{\Gamma(z+1)}\prod_{p}\left(1-\frac{1}{p}\right)^{x}\left(1-\frac{z}{p}\right)^{-1}$

При $\displaystyle(2+\varepsilon)\log\log x\leqslant k\leqslant \frac{\log x}{\log 2}$

$\displaystyle\pi_{k}(x)=\frac{1}{4}\prod_{p>2}\left(1+\frac{1}{p(p-2)}\right)\frac{x}{2^{k}}\log\frac{x}{2^{k}}+O\left(\frac{x}{2^{k}}\log^{b}\frac{x}{2^{k}}\right)$

где $b$ - постоянная, $0<b<1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тождество Эйлера и азрпч.
Сообщение16.12.2015, 07:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
DiMath
Интересно, а этот зазор в районе $2\ln\ln x $ не покрыли еще?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тождество Эйлера и азрпч.
Сообщение16.12.2015, 08:04 
Заслуженный участник


08/04/08
8504

(DiMath)

DiMath в сообщении #1082477 писал(а):

$\displaystyle\pi_{k}(x)=\frac{x}{\log x}F\left(\frac{k}{\log\log k}\right)\frac{(\log\log x)^{k-1}}{(k-1)!}\left(1+O_{\varepsilon}\left(\frac{1}{\log\log x}\right)\right)$
А что означает $O_{\varepsilon}$? И откуда формула?

А, ой, понял. Странно: коэффициент $F\left(\frac{k}{\log\log k}\right)\neq 1$ - не совпадает с асимптотическим.
Кстати, есть асимптотические формулы для $\pi_k(x)$ с бОльшим числом членов.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 50 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group