Помогите найти вычет функции

[volchenok]

Здравствуйте, уважаемые участники форума. У меня есть следующая функция $f(z)=\frac{e^{z t}}{\sqrt{a^2-z^2}} ,a $ - вещественное положительное число. Найти вычет в точке $a$. Я так понимаю, что это в добавок еще и точка ветвления. Заранее благодарен за ценные советы.

[Lia]

В точках ветвления вычет не определяется.

[Someone]

А что такое вычет в точке ветвления?

P.S. В показателе степени нужны не круглые скобки, а фигурные. После первой формулы просится запятая, а вокруг второй и третьей формул — знаки доллара.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);


Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Karan]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[volchenok]

тогда как считать интеграл от этой функции? У нее ведь нет других особых точек, кроме точек ветвления.

[Otta]

Тогда надо исходную задачу формулировать, а не другую.

[volchenok]

вычислить следующий интеграл

$$\int\limits_{\sigma-i\infty}^{\sigma+i\infty}\frac{e^{zt}}{\sqrt{a^2-z^2}}dz$$

Вот исходная задача.

[Otta]

Сигма какое? Вычислить надо вручную или аппарат операционного исчисления (преобразование Лапласа и обратное) доступен для использования?

[volchenok]

ну по сути это и есть преобразования Лапласа от функции $\frac{1}{\sqrt{a^2-z^2}}$.Только мне нужно понять детали того, как берется этот интеграл и с каких соображений выбираются его пределы.

[Otta]

volchenok в сообщении #1082308 писал(а):

ну по сути это и есть преобразования Лапласа от подинтегральной функции.

Это обратное преобразование Лапласа, не прямое.

volchenok в сообщении #1082308 писал(а):

Только мне нужно понять детали того, как берется этот интеграл и с каких соображений выбираются его пределы.

Если нужно понять так много, то проще взять "Лекции по ТФКП" Сидоров, Федорюк, Шабунин и изучить соответствующую главу.

[volchenok]

да, извините, я имел ввиду обратное преобразование Лапласа. А вот если забыть на секунду о том, что это преобразование Лапласа и считать $\sigma$ некоторым заданным вещественным числом, то как посчитать такой интеграл?

[Otta]

Для разных функций - по-разному.
Для такой - лучше всего через теоремы разложения для изображений - не забывая, как видите, о природе интеграла.
Получится какая-то бесселева функция.

Возьмите книжку. Не пожалеете. Переписывать ее сюда невозможно и ни к чему.

[volchenok]

спасибо большое за совет, книжка уже качается. Обязательно посмотрю. А вот этот интеграл вычетами не взять?Да и вообще можно ли брать интегралы при помощи теоремы о вычетах, если у функции нет особых точек, кроме точек ветвления.

[Otta]

volchenok в сообщении #1082319 писал(а):

Да и вообще можно ли брать интегралы при помощи теоремы о вычетах, если у функции нет особых точек, кроме точек ветвления.

Можно, если это уместно.

volchenok в сообщении #1082319 писал(а):

А вот этот интеграл вычетами не взять?

Еще раз - ответ - бесселева функция, которая определяется либо через ряд, либо через интеграл Фурье. Если под "взять" имеется в виду свести этот интеграл к другому, более узнаваемому - так это и так легко делается, безо всякой теории вообще. Через экспоненты же (которые вылезут при подсчете вычетов, чисто гипотетическом), функции Бесселя не выражаются.

Вычеты тут совершенно ни при чем, максимум что может пригодиться, интегральная теорема Коши.