Помогите найти вычет функции

[Otta]

volchenok в сообщении #1082367 писал(а):

получается, если я хочу посчитать тот интеграл, который я приводил с самого начала (обратное преобразование Лапласа) при помощи вычетов, то мне нужно выбирать такой контур, внутрь которого попадет бесконечно удаленная точка.

Вы не сможете. По объективным причинам.

[volchenok]

по каким? И как тогда применять теорему о вычетах? Или она не применима вообще для этого интеграла?

[Otta]

Потому что не сможете выбрать подходящий замкнутый контур, который, с одной стороны, при предельном переходе, давал бы Ваш несобственный интеграл по вертикальной прямой, а с другой, обходил бесконечность. И не обязан он никому обходить бесконечность, главное, чтобы он позволял вычислить интеграл.

Вы знаете, это все совершенно пустое размахивание руками. Такие вещи не объясняют. Их приобретают в нагрузку к посчитанным сотням интегралов и придуманным подходящим контурам. Если Вы думаете, что можно - придумайте, как. Предъявите пример. Спросите, годится ли он. Тогда обсудим.

-- 15.12.2015, 19:17 --

volchenok в сообщении #1082375 писал(а):

по каким? И как тогда применять теорему о вычетах? Или она не применима вообще для этого интеграла?

Что-то мне это напомнило.

Otta в сообщении #1082325 писал(а):

volchenok в сообщении #1082319 писал(а):

А вот этот интеграл вычетами не взять?

Еще раз - ответ - бесселева функция, которая определяется либо через ряд, либо через интеграл Фурье. Если под "взять" имеется в виду свести этот интеграл к другому, более узнаваемому - так это и так легко делается, безо всякой теории вообще. Через экспоненты же (которые вылезут при подсчете вычетов, чисто гипотетическом), функции Бесселя не выражаются.

Вычеты тут совершенно ни при чем, максимум что может пригодиться, интегральная теорема Коши.

Видимо, это недостаточно внятный ответ, раз я его озвучиваю уже трижды?

[volchenok]

да я понимаю, что этот интеграл можно взять другим более простым путем (возможно единственным). Просто Вы говорите, что методом вычетов можно его взять, а потом говорите, что подходящего контура для этого интеграла не существует. Я не понимаю просто почему Вам сложно написать "метод вычетов применим для этого интеграла потому что..." или "метод вычетов не применим потому что..."

[Otta]

volchenok в сообщении #1082390 писал(а):

да я понимаю, что этот интеграл можно взять другим более простым путем

Какой этот? я запуталась уже.

[volchenok]

с которого началось обсуждение ( связан с обратным преобразованием Лапласа)

[Otta]

volchenok
Пожалуйста, не путайте то, что говорю я, с тем, что Вы слышите.
Вы спросили: можно ли этот интеграл посчитать с помощью вычетов. Неоднократно спросили. В том числе, был задан вопрос, верно ли, что для этого придется выбирать контур, обходящий бесконечность. На все эти вопросы, включая последний, я ответила отрицательно.

Кроме того, Вы спросили, можно ли с помощью вычетов считать интегралы от функций, у которых нет иных особых точек, кроме точек ветвления.
На этот вопрос я ответила, что вообще говоря, можно, и привела - впоследствии - пример.

Но это не значит, что то же распространяется на Ваш интеграл, самый первый.

Тем не менее, исключительно ради справедливости, нужно отметить, что можно извратиться и строить подходящие контуры и пытаться интегрировать по ним. Внутрь таких контуров, как бы мы их не строили в согласии с теоремой о вычетах, не попадет ни одной особой точки, интеграл по замкнутому контуру будет нулевым, а нужный интеграл будет в пределе совпадать с (обратным) преобразованием Фурье функции $\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$. Возможно, с точностью до мультипликативной постоянной, не проверяла. Но это очевидным образом можно было получить и без всяких замкнутых контуров.

Так что если и называть этот последний изврат применением теоремы о вычетах, то очень вырожденным применением.

[volchenok]

спасибо за исчерпывающий ответ и за отзывчивость. Теперь все понятно. Извините за настойчивость. Привык до конца разбираться в проблеме.

[Otta]

Да не за что. С помощью литературы Вы бы гораздо лучше разобрались в проблеме.