Очередная тема TR63, помочь распутаться

[TR63]

Ещё, по-моему, интересный момент. Если рассматривать уравнения чётной степени, то для степени 2 и 4 можно вывести формулу, по крайней мере, двумя способами. Например, второй способ-замена переменных $x=\alpha+i\beta$. При этом, для степени 2 получается всем известная формула. При степени 4 получается формула, вычисления по которой не всегда совпадают с вычислениями по другой известной формуле. Почему так? Может, потому, что для степени 2 корни, указанного типа (т.е. действительная и мнимая части выражаются с помощью радикалов и не содержат в подкоренных выражениях мнимую единицу), всегда существуют, а для степени 4 не всегда?

[arseniiv]

TR63 в сообщении #1081941 писал(а):

Например, второй способ-замена переменных $x=\alpha+i\beta$. При этом, для степени 2 получается всем известная формула.

Можно подробнее? Ну сделал я замену и получил решение только для $s \equiv q - p^2\geqslant0$, решение $-p\pm i\sqrt s$. Другое решение, интересующее нас действительное, приводит к исходному уравнению. Или можно вывести формулу евадратного корня комплексного числа в обход формулы корней квадратного уравнения?

[TR63]

$x^2+ax+b=0$
$x=\alpha+\beta i$
$(\alpha^2-\beta^2+a\alpha+b)+(2\alpha\beta+a\beta)i=0$
$\alpha=-\frac a 2$
$\beta^2=-\frac{a^2}{4}+b$
$x=\frac{-a\pm\sqrt{a^2-4b}}{2}$

[arseniiv]

Слишком быстро прыгаете. Когда я выводил и следил за тем, чтобы все $\alpha,\beta,a,b$ были вещественными и корень брался тоже только из вещественного числа, так лихо не вышло. А вы этот момент как раз не упомянули.

-- Пн дек 14, 2015 01:15:43 --

Ладно уж, своё приведу: $x^2 + 2px + q = 0$, после замены $(\alpha^2 - \beta^2 + 2p\alpha + q) + i(2\alpha\beta + 2p\beta) = 0$; из мнимой части уравнения $\alpha = -p$ или $\beta = 0$. Второе возвращает к решению исходного уравнения, первое превращает вещественную часть уравнения в $\beta^2 = -p^2 + q$, откуда, т. к. $\beta\in\mathbb R$, следует $-p^2 + q\geqslant0$, а так же $x = a + \beta i = -p\pm\sqrt{-p^2 + q}\,i$ — отнюдь не интересующий вещественный корень. Вещественные мы не нашли, для этого надо решить $x^2 + 2px + q = 0$ честно.

Притом честно это решается в три раза быстрее, чем сей (так и не приведший к решению) огород. ЧЯДНТ?

[TR63]

Возможно, стоит подумать над более точной формулировкой вопроса. (Можете предлагать свой вариант.) Надеюсь, что сама идея понятна. Но для степени 4 получается облом. Почему? Почему иногда (не всегда) получаются расхождения при расчётах по формулам, выведенным разными способами?

[arseniiv]

TR63 в сообщении #1081982 писал(а):

Надеюсь, что сама идея понятна.

Не сказать чтобы. Ладно, завтра я попробую произвольную алгебру Клиффорда — вот тогда-то наверняка…

(Оффтоп)

Шутка.

TR63 в сообщении #1081982 писал(а):

Почему иногда (не всегда) получаются расхождения при расчётах по формулам, выведенным разными способами?

Наверно, через подобный же некорректный вывод?

[TR63]

Если мы делаем замену $x=\alpha+\beta i$, где $(\alpha;\beta)$ действительные числа, то это подразумевает отсутствие действительных корней для уравнения второй степени. Т.е. рассматривается не произвольное уравнение второй степени.

arseniiv в сообщении #1081976 писал(а):

Притом честно это решается в три раза быстрее

Как быстрее не важно. Интересует, почему для четвёртой степени получается расхождение.

-- 14.12.2015, 01:19 --

arseniiv в сообщении #1081976 писал(а):

а так же $x = a + \beta i = -p\pm\sqrt{-p^2 + q}$

Здесь у Вас опечатка.

arseniiv в сообщении #1081976 писал(а):

а так же $x = a + \beta i = -p\pm(\sqrt{-p^2 + q})i$

arseniiv в сообщении #1081976 писал(а):

отнюдь не интересующий вещественный корень.

Вещественный корень не интересует по причине его отсутствия при существовании замены.

-- 14.12.2015, 01:32 --

TR63 в сообщении #1081982 писал(а):

Почему иногда (не всегда) получаются расхождения при расчётах по формулам, выведенным разными способами?

arseniiv в сообщении #1081984 писал(а):

Наверно, через подобный же некорректный вывод?

Пока не вижу, в чём именно некорректность вывода. Вижу, что Вас интересует общее уравнение, а меня менее общее, и соответственно речь идёт об уравнениях, где возможна предложенная замена.

[arseniiv]

TR63 в сообщении #1081989 писал(а):

Если мы делаем замену $x=\alpha+\beta i$, где $(\alpha;\beta)$ действительные числа, то это подразумевает отсутствие действительных корней для уравнения второй степени. Т.е. рассматривается не произвольное уравнение второй степени.

$\beta = 0$ — и корни действительны. Но это просто возвращает нас к нерешённому уравнению, как я уже отметил выше.

TR63 в сообщении #1081989 писал(а):

Здесь у Вас опечатка.

Спасибо, поправил.

TR63 в сообщении #1081989 писал(а):

Вещественный корень не интересует по причине его отсутствия при существовании замены.

См. выше, он не отсутствует.

[Deggial]

TR63 в сообщении #1081941 писал(а):

Ещё, по-моему, интересный момент. Если рассматривать уравнения чётной степени, то для степени 2 и 4 можно вывести формулу, по крайней мере, двумя способами. Например, второй способ-замена переменных $x=\alpha+i\beta$. При этом, для степени 2 получается всем известная формула. При степени 4 получается формула, вычисления по которой не всегда совпадают с вычислениями по другой известной формуле. Почему так? Может, потому, что для степени 2 корни, указанного типа (т.е. действительная и мнимая части выражаются с помощью радикалов и не содержат в подкоренных выражениях мнимую единицу), всегда существуют, а для степени 4 не всегда?

TR63, предупреждение за захват темы.

[TR63]

arseniiv в сообщении #1081996 писал(а):

$\beta=0$ — и корни действительны

Согласна. Это тривиальный случай. Внесём уточнение: $\beta\neq0$. Кстати, в теме, где я рассматриваю этот метод для уравнения четвёртой степени, наличие комплексных корней оговаривается специально. Остаётся выяснить причину расхождения. Пока никто этой причины не указал. (Тема: "Найти ошибку в решении диофантова уравнения"; раздел ПРР; http://dxdy.ru/topic95275-45.html.)

[INGELRII]

TR63
Еще раз: в чем проблема для действительного числа $\beta$ оказаться равным $0$? Что, действительные числа нулями не бывают? В вашем выводе из третьего уравнения, из мнимой части в четвертое уравнение. Там вы по-кавалеристски лихо выбросили случай $\beta=0$ и сократили на него. Так делать нельзя. Вот отсюда и все непонимание. Решаете уравнение в общем виде, не зная заранее, есть ли у него комплексные корни или нет - так и решайте в общем виде, рассматривайте все случаи.

[TR63]

Ссылка работает. Проверила. Но выкладки настолько элементарны, что вполне доступны среднему школьнику в качестве самостоятельного упражнения. Далее считаем на Вольфраме. Главное, найти причину расхождения.

[INGELRII]

TR63 в сообщении #1082034 писал(а):

Ссылка работает. Проверила.

Эмм... покажите в этой теме хоть одну ссылку. Что до уравнения четвертой степени, то там возможны три случая: все корни действительны; есть два действительных и пара комплексно сопряженных корней; есть две пары комплексно сопряженных корней. В первом случае, очевидно, попытки нахождения корней общего уравнения (у которого мы не знаем, есть ли комплексные корни и сколько) через аналогичный метод ничего не дадут. А если предположить таки наличие таких корней, то есть еще случаи номер два и три. И ответ там, внезапно очевидно, должен будет оказаться разным хотя бы потому что разным будет количество корней: $2$ и $4$.

[TR63]

INGELRII в сообщении #1082033 писал(а):

Решаете уравнение в общем виде, не зная заранее, есть ли у него комплексные корни или нет

Читайте внимательнее.

TR63 в сообщении #1081989 писал(а):

Вижу, что Вас интересует общее уравнение, а меня менее общее, и соответственно речь идёт об уравнениях, где возможна предложенная замена.

Менее общее означает, что $\beta\neq0$. Т. е. рассматриваю уравнения, имеющие комплексные корни. Ведь формулу Феррари для общего случая было предложено забыть. Причина-бесполезость однозначно. Если рассматривать менее общий случай, то однозначную бесполезность возможной формулы уже гарантировать нельзя (диалектика). В этом можно убедиться, если сходить по ссылке.

-- 14.12.2015, 10:18 --

INGELRII в сообщении #1082035 писал(а):

покажите в этой теме хоть одну ссылку.

TR63 в сообщении #1082031 писал(а):

(Тема: "Найти ошибку в решении диофантова уравнения"; раздел ПРР; topic95275-45.html
.)

У Вас что, ссылка не работает? У меня работает. Или Вы её не нашли? Читайте внимательнее.

-- 14.12.2015, 10:43 --

INGELRII в сообщении #1082035 писал(а):

И ответ там, внезапно очевидно, должен будет оказаться разным хотя бы потому что разным будет количество корней: $2$ и $4$.

Это дельное замечание. Значит, надо посмотреть, к каким случаям относятся приведенные примеры. В той теме у ЗУ было другое мнение. (Наверно, они забыли законы диалектики. Или диалектика здесь не при чём?)

INGELRII в сообщении #1082035 писал(а):

И ответ там, внезапно очевидно, должен будет оказаться разным хотя бы потому что разным будет количество корней: $2$ и $4$.

Думаю, что в случае отсутствия действительных корней вычисления должны совпасть по обеим формулам. (Посмотрю.)

[TR63]

TR63 в сообщении #1082036 писал(а):

Думаю, что в случае отсутствия действительных корней вычисления должны совпасть по обеим формулам. (Посмотрю.)

Посмотрела примеры по ссылке. Увы. Совпадают, но не всегда.
1). $x^4+112.5x^2-863x+1528.31=0$ (нет действительных корней; нет совпадения по всем формулам)
2). $x^4+3x^2+3.5x+1=0$ (нет действительных корней; есть совпадение по всем формулам)

INGELRII в сообщении #1082035 писал(а):

И ответ там, внезапно очевидно, должен будет оказаться разным хотя бы потому что разным будет количество корней: $2$ и $4$.

Ответ иногда разный, иногда нет. Т.е. ответ не является строго разным, как предположил INGELRII.
Диалектикой надо пользоваться не наобум Лазаря, а соблюдая определённую технологию. Кстати тогда можно сэкстраполировать результат из комплексной области на более широкую (для уравнения второй степени), если захочется. Какую? Пока не стоит касаться этого вопроса, поскольку нет вразумительного ответа на первый вопрос. И, да, диалектика за науку на этом форуме не считается. Поэтому хотелось бы более конкретной помощи, раз уж это ПРР.