2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4
 
 Re: Найти ошибку в решении диофантова уравнения
Сообщение28.06.2015, 08:56 


03/03/12
1380
Но вернёмся к нашим баранам. Т.е. к задаче, которая была сочтена слишком элементарной, а метод, предложенный для её решения, никчемным. И, коль это так, то попробуем усложнить её:
$x^4-mbx+(1+m)=0$, $(m;b)\in N$, $m>1$, $b>1$
1). (Лёгкая.) При каком условии на переменные $(m;b)$ сумма действительных корней уравнения не является натуральной?
В исходном уравнении сделаем замену переменных $a=x-\alpha$. Тогда в новом уравнении будут корни с противоположными знаками и можно применить теорему Орландо.
Shadow в сообщении #996368 писал(а):
Новое уравнение принимает вид (только я заменил $\alpha$ на $a$, лень писать):
$x^4-4 a x^3+6a^2x^2-(4a^3+bm)x+a^4+abm+m+1=0$. Теперь по теореме Орландо должно выполнятся:

$4a\cdot 6a^2\cdot(4a^3+bm)=16a^2(a^4+abm+m+1)+(4a^3+bm)^2$

в итоге, если и я нигде не ошибся:

$64a^6-16(m-1)a^2-b^2m^2=0$. И так как $a=\dfrac n 2,\;n \in \mathbb{N}$


$\alpha_1=2\alpha$, $\alpha_1\in N$
$\alpha_1^6-4(m-1)\alpha_1^2-(bm)^2=0$
Ответ(частичный):
$b=4n-2$
$m=2k+1$

2). (Думаю, сложнее, но, возможно, не для спецов.) Существует ли натуральная сумма действительных корней в заданном уравнении?
3). Можно ли такие задачи решить без использования формулы Орландо? (Этот вопрос касается задачи и в самой простой постановке.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти ошибку в решении диофантова уравнения
Сообщение07.10.2015, 09:56 


03/03/12
1380
Видно, предложенная задачка настолько "малосодержательна" (с), что no comment.

(Оффтоп)

Разбежались кто куда
Все ЗУ и господа.
Я одна на берегу,
И не слышно ни гу-гу.

Да, были раньше джентльмены.
А, нынче пошлость и измены.
Не верьте девочки и дамы
Разумным и крутым самым.

Имеется ещё контрпример к формуле Орландо, а, значит, и к теореме Гурвица об устойчивости в качестве критерия. Т. е. эта теорема Гурвица, по крайней мере, не является критерием? Прошу поправить, если я ошибаюсь и указать, где именно я ошибаюсь. Иначе я буду считать, что причина несоответствия теории и практики в аксиоматике. Но этого, ведь, не может быть. Задачка школьного уровня. Форум научный. Жду помощи. Вот, контрпример:
$x^4-px^2+qx+r=0$
$x^4-2x^2+2x+3=0$
$f=z^3-0.5pz^2-0.25(r-0.25p^2)z-0.015625q^2$
$z_1=-1.2172$
$z_2=-0.022923$
$z_3=2.2401$
Из формулы Орландо следует (результат размещён в Вике; значит, специалисты проверили логический вывод школьного уровня (если кто этому не верит и самостоятельно логически вывесть не может, можно ограничиться первым контрпримером); ссылка указана выше), что уравнение не может иметь действительных корней. Но оно имеет их, аж, две штуки. Противоречие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти ошибку в решении диофантова уравнения
Сообщение04.11.2015, 18:24 


03/03/12
1380
Продолжим проверку теории практикой. Напомню, квадрат действительной части комплексного корня уравнения $x^4+px^2+qx+r=0$ можно вычислить, по крайней мере, тремя способами, не считая метода Феррари:
1). С помощью формулы Орландо. (Этот метод был рассмотрен ранее.)
$a^2=z$
$z^3+\frac1 2pz^2-\frac1 4(r-\frac1 4p^2)z-\frac{1} {64}q^2=0$
2). С помощью замены переменных $x=a+bi$ в уравнении $x^4+px^2+qx+r=0$.
$[a^4-6a^2b^2+a^2p+aq+b^4-b^2p+r]+[4a^3b-4ab^3+2abp+bq]i=0$
3). С помощью Вольфрама.
Рассмотрим конкретное уравнение $x^4+3x^2-3.5x+1=0$
Первый и второй способ дают одно и то же уравнение $z^3+\frac3 2z^2+\frac{5}{16}z-\frac{12.25}{64}=0$. Все три способа дают один ответ $a=\pm0.503098$.
Т.е. в данном конкретном случае теория подтвердилась практикой. Остаётся выяснить, почему имеются контрпримеры. Версии:
1). Арифметическая ошибка.
2). Логическая ошибка.
3). Ни то, ни другое (но прежде надо исключить первые две версии).

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти ошибку в решении диофантова уравнения
Сообщение26.02.2019, 22:01 


03/03/12
1380
TR63 в сообщении #1070201 писал(а):
Остаётся выяснить, почему имеются контрпримеры.


Сегодня, прочитав в разделе "Активные темы" пост об уравнениях четвёртой степени, пересчитала свои "контрпримеры" на Вольфраме. Оказывается, теперь Вольфрам считает так, что всё сходится с расчётами по моей формуле. Возможно, я раньше не совсем правильно пользовалась его результатами (уж не знаю и не помню; главное, что сейчас всё сходится и сомнений в верности метода нет; возможно, как-нибудь перепишу его в отдельную тему, поскольку в этой много лишнего).

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти ошибку в решении диофантова уравнения
Сообщение02.03.2019, 11:24 


03/03/12
1380
Замечание.

Тот факт, что логические выводы совпали с арифметическими расчётами, не противоречит результатам, полученным на основании используемой в предварительных рассуждениях гипотезы (хотя сами результаты расходились; сейчас стало ясно, почему они расходились: из-за неучтённой области определения; проще было получить арифметические расчёты и они, как теперь оказалось, подтверждаются; да ещё в другой здешней теме предложен третий способ вычисления квадрата действительной части комплексного корня уравнения четвёртой степени, и там, даже, область шире, а это существенно для области определения, на которой рассматривается гипотеза).
В общем теперь вопросов нет.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 50 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group