Задача трех тел, -1/r, хореография

[Yu_K]

Картинки и ссылки здесь есть http://tuvalu.santafe.edu/~moore/gallery.html.
А тут тут можно самому рисовать начальную траекторию и смотреть как она эволюционирует к хореографии.

Интересный вопрос про трехмерные хореографии - некоторые доказательства существования таких траекторий есть - но реально вроде нет примеров, хотя вроде современные машины позволяют применить в этом случае двумерную технику К. Симо и найти такое решение.

[venco]

Yu_K в сообщении #1081154 писал(а):

Интересный вопрос про трехмерные хореографии - некоторые доказательства существования таких траекторий есть - но реально вроде нет примеров

А это разве не оно?

[Yu_K]

Да подобные картинки есть (кажется они больше гипотетические, например http://arxiv.org/pdf/math/0407461.pdf ) - а вот устойчивости вроде нет нигде, а плоские хореографии есть устойчивые (восьмерка и окружность). Есть несколько попыток построить неплоское симметричное решение для 4-х тел и более (траектории тел совпадают при повороте вокруг некоторой оси и смещении по времени) - но там тоже нет устойчивости в трехмерном случае.

[AL Malino]

Чуток в сторону от основной темы, если позволите.
Ну, или вопрос для размышлений

Без долгих прелюдий. Посему прошу не придираться к мелким неточностям.
Если считать, что сила взаимодействия между двумя телами в пространстве $n$ размерностей

$$F(r)\propto\frac{1}{r^{n-1}}$$

то получается, что потенциальная энергия их взаимодействия будет

$$U_{pot}(r)\propto-\frac{1}{(n-2)r^{n-2}}, \qquad n\ge3$$

и

$$U_{pot}(r)\propto\ln(r), \qquad n=2$$

Вроде бы, и чёрт с ней?! Но нельзя не заметить, что под знаком логарифма стоит размерная величина. А вот как её обезразмерить? Ввести дóлжный обезразмеривающий коэффициент перед $r$? Но из каких соображений его выбирать: оба выражения, и для силы, и для энергии, и в нуле, и не бесконечности принимают бесконечные значения. А произвол здесь неуместен: получается, что равное нулю значение $U_{pot}(r)$ зависит от системы единиц!

[Xaositect]

В константе интегрирования будет этот коэффициент.

[Munin]

AL Malino в сообщении #1081950 писал(а):

Но нельзя не заметить, что под знаком логарифма стоит размерная величина. А вот как её обезразмерить?

Обычно так: $\ln(r/r_0).$ В математической физике, несколько пренебрегая теорией размерностей, дальше пишут:
$\ln(r/r_0)=\ln(r)-\ln(r_0)=\ln(r)+C,$
и говорят: "а у нас потенциал и так определён с точностью до константы (константа интегрирования, см. Xaositect), так что зачем нам её писать?".

AL Malino в сообщении #1081950 писал(а):

А произвол здесь неуместен: получается, что равное нулю значение $U_{pot}(r)$ зависит от системы единиц!

Этот произвол как раз уместен :-) Ведь как вы верно заметили, доопределить константу не из чего: ни из нуля, ни из бесконечности.

[Yu_K]

Немного картинок в тему.

[Yu_K]

Ссылки на китайские результаты здесь http://nplus1.ru/news/2017/10/12/three-body-problem

[pogulyat_vyshel]

Yu_K в сообщении #1275186 писал(а):

Ссылки на китайские результаты здесь http://nplus1.ru/news/2017/10/12/three-body-problem

Цитата:

Новые периодические траектории китайские математики также искали численно, с помощью разработанного ими метода «чистого численного моделирования» (Clean Numerical Simulation). Для этого они рассматривали начальные конфигурации трех тел одинаковой массы, образующих равнобедренный треугольник, и задавали им различные начальные скорости. Значения проекций скоростей могли меняться от нуля до одного с шагом 0,001. Общее время движения системы составляло до 100 относительных единиц. Затем система дифференциальных уравнений интегрировалась с помощью программы, основанной на явном методе Рунге-Кутты с переменным шагом по времени.

Цитата:

Чтобы найти периодические орбиты, ученые немного шевелили начальные положения тел и смотрели, насколько точно они возвращаются в исходное положение спустя период. Математики считали, что траектория периодична, если величина соответствующей функции отклонения составляла менее 10-6.

[Yu_K]

В таком подходе ничего плохого нет - некоторый аналог метод Ньютона для поиска периодических решений. Подобный подход как-то мы использовали со студентами для поиска замкнутых геодезических на поверхности тора, замкнутых траекторий для шарика катающегося внутри сферы и др.

В солидных журналах пока нет вроде у них публикаций.

(Оффтоп)

А к теме заставила вернуться https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D1%82%D1%80%D1%91%D1%85_%D1%82%D0%B5%D0%BB_(%D1%80%D0%BE%D0%BC%D0%B0%D0%BD) «Задача трёх тел» (кит. трад. 三體, упр. 三体, пиньинь: sāntǐ) — роман китайского писателя-фантаста Лю Цысиня. Неплохая книжка с нелинейным сюжетом. Автор упоминает там наших современников Р. Монтгомери и А. Шенсине - получается он как бы в теме. Книжка есть в аудиоформате - два варианта - нравится как Игорь Князев читает.

[pogulyat_vyshel]

Yu_K в сообщении #1275353 писал(а):

Подобный подход как-то мы использовали со студентами для поиска замкнутых геодезических на поверхности тора,

С помощью подобного подхода вы можете найти сколько хотите "замкнутых" геодезических на любом компактном римановом многообразии. Просто по теореме Пуанкаре о возвращении

[Pphantom]

Да уж. А с учетом того, что, судя по тексту исходной статьи (вернее, препринта), они просто взяли готовый интегратор (дав на него кривую ссылку), не поинтересовавшись его погрешностями, ценность этой работы близка к нулевой.

[fred1996]

Yu_K в сообщении #1112613 писал(а):

Немного картинок в тему.

Да, красотищща.
А нет ли подобных для 3D?

[Yu_K]

fred1996

Есть - но с устойчивостью там как-то плохо...

http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/mov/orbite/doppiarifl3_1.avi

[ludwig51]

Yu_K в сообщении #1275492 писал(а):

Есть - но с устойчивостью там как-то плохо...

Тоже хорошая периодическая анимация. А почему с устойчивостью плохо?
Если диаметры тел слишком большие, то тела на минимальных расстояниях столкнутся.
Это вы имели ввиду?