2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Задача трех тел, -1/r, хореография
Сообщение10.12.2015, 18:05 


02/11/08
1187
Картинки и ссылки здесь есть http://tuvalu.santafe.edu/~moore/gallery.html.
А тут тут можно самому рисовать начальную траекторию и смотреть как она эволюционирует к хореографии.

Интересный вопрос про трехмерные хореографии - некоторые доказательства существования таких траекторий есть - но реально вроде нет примеров, хотя вроде современные машины позволяют применить в этом случае двумерную технику К. Симо и найти такое решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача трех тел, -1/r, хореография
Сообщение10.12.2015, 20:06 
Заслуженный участник


04/05/09
4582
Yu_K в сообщении #1081154 писал(а):
Интересный вопрос про трехмерные хореографии - некоторые доказательства существования таких траекторий есть - но реально вроде нет примеров
А это разве не оно?
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача трех тел, -1/r, хореография
Сообщение11.12.2015, 17:52 


02/11/08
1187
Да подобные картинки есть (кажется они больше гипотетические, например http://arxiv.org/pdf/math/0407461.pdf ) - а вот устойчивости вроде нет нигде, а плоские хореографии есть устойчивые (восьмерка и окружность). Есть несколько попыток построить неплоское симметричное решение для 4-х тел и более (траектории тел совпадают при повороте вокруг некоторой оси и смещении по времени) - но там тоже нет устойчивости в трехмерном случае.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача трех тел, -1/r, хореография
Сообщение13.12.2015, 21:34 


21/09/15
98
Чуток в сторону от основной темы, если позволите.
Ну, или вопрос для размышлений
:-)

Без долгих прелюдий. Посему прошу не придираться к мелким неточностям.
Если считать, что сила взаимодействия между двумя телами в пространстве $n$ размерностей
$$F(r)\propto\frac{1}{r^{n-1}}$$
то получается, что потенциальная энергия их взаимодействия будет
$$U_{pot}(r)\propto-\frac{1}{(n-2)r^{n-2}}, \qquad n\ge3$$
и
$$U_{pot}(r)\propto\ln(r), \qquad n=2$$
Вроде бы, и чёрт с ней?! Но нельзя не заметить, что под знаком логарифма стоит размерная величина. А вот как её обезразмерить? Ввести дóлжный обезразмеривающий коэффициент перед $r$? Но из каких соображений его выбирать: оба выражения, и для силы, и для энергии, и в нуле, и не бесконечности принимают бесконечные значения. А произвол здесь неуместен: получается, что равное нулю значение $U_{pot}(r)$ зависит от системы единиц!

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача трех тел, -1/r, хореография
Сообщение13.12.2015, 21:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
В константе интегрирования будет этот коэффициент.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача трех тел, -1/r, хореография
Сообщение13.12.2015, 22:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
AL Malino в сообщении #1081950 писал(а):
Но нельзя не заметить, что под знаком логарифма стоит размерная величина. А вот как её обезразмерить?

Обычно так: $\ln(r/r_0).$ В математической физике, несколько пренебрегая теорией размерностей, дальше пишут:
$\ln(r/r_0)=\ln(r)-\ln(r_0)=\ln(r)+C,$
и говорят: "а у нас потенциал и так определён с точностью до константы (константа интегрирования, см. Xaositect), так что зачем нам её писать?".

AL Malino в сообщении #1081950 писал(а):
А произвол здесь неуместен: получается, что равное нулю значение $U_{pot}(r)$ зависит от системы единиц!

Этот произвол как раз уместен :-) Ведь как вы верно заметили, доопределить константу не из чего: ни из нуля, ни из бесконечности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача трех тел, -1/r, хореография
Сообщение06.04.2016, 07:34 


02/11/08
1187
Немного картинок в тему.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача трех тел, -1/r, хореография
Сообщение15.12.2017, 21:03 


02/11/08
1187
Ссылки на китайские результаты здесь http://nplus1.ru/news/2017/10/12/three-body-problem

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача трех тел, -1/r, хореография
Сообщение16.12.2017, 11:01 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Yu_K в сообщении #1275186 писал(а):
Ссылки на китайские результаты здесь http://nplus1.ru/news/2017/10/12/three-body-problem

Цитата:
Новые периодические траектории китайские математики также искали численно, с помощью разработанного ими метода «чистого численного моделирования» (Clean Numerical Simulation). Для этого они рассматривали начальные конфигурации трех тел одинаковой массы, образующих равнобедренный треугольник, и задавали им различные начальные скорости. Значения проекций скоростей могли меняться от нуля до одного с шагом 0,001. Общее время движения системы составляло до 100 относительных единиц. Затем система дифференциальных уравнений интегрировалась с помощью программы, основанной на явном методе Рунге-Кутты с переменным шагом по времени.

Цитата:
Чтобы найти периодические орбиты, ученые немного шевелили начальные положения тел и смотрели, насколько точно они возвращаются в исходное положение спустя период. Математики считали, что траектория периодична, если величина соответствующей функции отклонения составляла менее 10-6.

:lol1:

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача трех тел, -1/r, хореография
Сообщение16.12.2017, 11:36 


02/11/08
1187
В таком подходе ничего плохого нет - некоторый аналог метод Ньютона для поиска периодических решений. Подобный подход как-то мы использовали со студентами для поиска замкнутых геодезических на поверхности тора, замкнутых траекторий для шарика катающегося внутри сферы и др.

В солидных журналах пока нет вроде у них публикаций.

(Оффтоп)

А к теме заставила вернуться https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D1%82%D1%80%D1%91%D1%85_%D1%82%D0%B5%D0%BB_(%D1%80%D0%BE%D0%BC%D0%B0%D0%BD) «Задача трёх тел» (кит. трад. 三體, упр. 三体, пиньинь: sāntǐ) — роман китайского писателя-фантаста Лю Цысиня. Неплохая книжка с нелинейным сюжетом. Автор упоминает там наших современников Р. Монтгомери и А. Шенсине - получается он как бы в теме. Книжка есть в аудиоформате - два варианта - нравится как Игорь Князев читает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача трех тел, -1/r, хореография
Сообщение16.12.2017, 12:22 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Yu_K в сообщении #1275353 писал(а):
Подобный подход как-то мы использовали со студентами для поиска замкнутых геодезических на поверхности тора,


С помощью подобного подхода вы можете найти сколько хотите "замкнутых" геодезических на любом компактном римановом многообразии. Просто по теореме Пуанкаре о возвращении

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача трех тел, -1/r, хореография
Сообщение16.12.2017, 14:31 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
Да уж. А с учетом того, что, судя по тексту исходной статьи (вернее, препринта), они просто взяли готовый интегратор (дав на него кривую ссылку), не поинтересовавшись его погрешностями, ценность этой работы близка к нулевой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача трех тел, -1/r, хореография
Сообщение16.12.2017, 15:46 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Yu_K в сообщении #1112613 писал(а):


Да, красотищща.
А нет ли подобных для 3D?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача трех тел, -1/r, хореография
Сообщение16.12.2017, 20:43 


02/11/08
1187
fred1996

Есть - но с устойчивостью там как-то плохо...

http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/mov/orbite/doppiarifl3_1.avi

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача трех тел, -1/r, хореография
Сообщение16.12.2017, 21:46 


22/11/13
142
Yu_K в сообщении #1275492 писал(а):
Есть - но с устойчивостью там как-то плохо...

Тоже хорошая периодическая анимация. А почему с устойчивостью плохо?
Если диаметры тел слишком большие, то тела на минимальных расстояниях столкнутся.
Это вы имели ввиду?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 31 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group