численное решение уравнения Лапласа

[FehtunKrizh]

Надо численно решить уравнение $\frac{\partial^2 u(x,y)}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u(x,y)}{\partial y^2}=0 $. (1)
Используя апроксимацию второй производной можно получить $ \frac{u(i+h_x,j)-2u(i,j)+u(i-h_x,j)}{h_x^2}+\frac{u(i,j+h_y)-2u(i,j)+u(i,j-h_y)}{h_y^2} =0$
можно ли свести данное уравнение например к $\frac{\partial^2 u(x,y)}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u(x,y)}{\partial y^2}=\frac{\partial u(x,y)}{\partial t} $ и воспользоваться $ \frac{u(i+h_x,j,k)-2u(i,j,k)+u(i-h_x,j,k)}{h_x^2}+\frac{u(i,j+h_y,k)-2u(i,j,k)+u(i,j-h_y,k)}{h_y^2} =\frac{u(i,j,k+\tau)-u(i,j,k)}{\tau}$
и сказать что решение будет при $t \to \infty$. то есть $u(i,j,K)$ будет решением (1) , $K$-- очень большое число

[Red_Herring]

Можно, но для теплопроводности лучше использовать неявную схему, ибо она абсолютно устойчива, в отличие от явной, записанной Вами

[vasya321]

FehtunKrizh в сообщении #1080426 писал(а):

можно ли свести данное уравнение ... и сказать что решение будет при $t \to \infty$. то есть $u(i,j,K)$ будет решением (1) , $K$-- очень большое число

При $\tau$ выбранным из условий сходимости (если мне не изменяет память $\tau \le \frac{1}{1/h_x^2 + 1/h_y^2}$) получите метод Якоби решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод Якоби сходится достаточно медленно. Если нужно решить итерационным методом, лучше используйте метод верхних релаксаций (successive over-relaxation). На одну строчку кода больше, а работает быстрее (берите $\omega \approx 1,95$). В 2D, конечно, быстрее напрямую найти обратную матрицу.

Вообще, наиболее быстрый (число итераций $\sim O$(число узлов)) итерационный метод решения ур. Пуассона в настоящее время — многосеточный (multigrid). В Comsol при решении ур. Пуассона в 3D ставится по умолчанию.