2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 численное решение уравнения Лапласа
Сообщение07.12.2015, 22:56 


14/09/13
1
Надо численно решить уравнение $\frac{\partial^2 u(x,y)}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u(x,y)}{\partial y^2}=0 $. (1)
Используя апроксимацию второй производной можно получить $ \frac{u(i+h_x,j)-2u(i,j)+u(i-h_x,j)}{h_x^2}+\frac{u(i,j+h_y)-2u(i,j)+u(i,j-h_y)}{h_y^2} =0$
можно ли свести данное уравнение например к $\frac{\partial^2 u(x,y)}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u(x,y)}{\partial y^2}=\frac{\partial u(x,y)}{\partial t} $ и воспользоваться $ \frac{u(i+h_x,j,k)-2u(i,j,k)+u(i-h_x,j,k)}{h_x^2}+\frac{u(i,j+h_y,k)-2u(i,j,k)+u(i,j-h_y,k)}{h_y^2} =\frac{u(i,j,k+\tau)-u(i,j,k)}{\tau}$
и сказать что решение будет при $t \to \infty$. то есть $u(i,j,K)$ будет решением (1) , $K$-- очень большое число

 Профиль  
                  
 
 Re: численное решение уравнения Лапласа
Сообщение08.12.2015, 02:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
10415
Hogtown
Можно, но для теплопроводности лучше использовать неявную схему, ибо она абсолютно устойчива, в отличие от явной, записанной Вами

 Профиль  
                  
 
 Re: численное решение уравнения Лапласа
Сообщение08.12.2015, 22:14 


21/03/10
43
FehtunKrizh в сообщении #1080426 писал(а):
можно ли свести данное уравнение ... и сказать что решение будет при $t \to \infty$. то есть $u(i,j,K)$ будет решением (1) , $K$-- очень большое число

При $\tau$ выбранным из условий сходимости (если мне не изменяет память $\tau \le \frac{1}{1/h_x^2 + 1/h_y^2}$) получите метод Якоби решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод Якоби сходится достаточно медленно. Если нужно решить итерационным методом, лучше используйте метод верхних релаксаций (successive over-relaxation). На одну строчку кода больше, а работает быстрее (берите $\omega \approx 1,95$). В 2D, конечно, быстрее напрямую найти обратную матрицу.

Вообще, наиболее быстрый (число итераций $\sim O$(число узлов)) итерационный метод решения ур. Пуассона в настоящее время — многосеточный (multigrid). В Comsol при решении ур. Пуассона в 3D ставится по умолчанию.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group