2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 численное решение уравнения Лапласа
Сообщение07.12.2015, 22:56 
Надо численно решить уравнение $\frac{\partial^2 u(x,y)}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u(x,y)}{\partial y^2}=0 $. (1)
Используя апроксимацию второй производной можно получить $ \frac{u(i+h_x,j)-2u(i,j)+u(i-h_x,j)}{h_x^2}+\frac{u(i,j+h_y)-2u(i,j)+u(i,j-h_y)}{h_y^2} =0$
можно ли свести данное уравнение например к $\frac{\partial^2 u(x,y)}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u(x,y)}{\partial y^2}=\frac{\partial u(x,y)}{\partial t} $ и воспользоваться $ \frac{u(i+h_x,j,k)-2u(i,j,k)+u(i-h_x,j,k)}{h_x^2}+\frac{u(i,j+h_y,k)-2u(i,j,k)+u(i,j-h_y,k)}{h_y^2} =\frac{u(i,j,k+\tau)-u(i,j,k)}{\tau}$
и сказать что решение будет при $t \to \infty$. то есть $u(i,j,K)$ будет решением (1) , $K$-- очень большое число

 
 
 
 Re: численное решение уравнения Лапласа
Сообщение08.12.2015, 02:16 
Аватара пользователя
Можно, но для теплопроводности лучше использовать неявную схему, ибо она абсолютно устойчива, в отличие от явной, записанной Вами

 
 
 
 Re: численное решение уравнения Лапласа
Сообщение08.12.2015, 22:14 
FehtunKrizh в сообщении #1080426 писал(а):
можно ли свести данное уравнение ... и сказать что решение будет при $t \to \infty$. то есть $u(i,j,K)$ будет решением (1) , $K$-- очень большое число

При $\tau$ выбранным из условий сходимости (если мне не изменяет память $\tau \le \frac{1}{1/h_x^2 + 1/h_y^2}$) получите метод Якоби решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод Якоби сходится достаточно медленно. Если нужно решить итерационным методом, лучше используйте метод верхних релаксаций (successive over-relaxation). На одну строчку кода больше, а работает быстрее (берите $\omega \approx 1,95$). В 2D, конечно, быстрее напрямую найти обратную матрицу.

Вообще, наиболее быстрый (число итераций $\sim O$(число узлов)) итерационный метод решения ур. Пуассона в настоящее время — многосеточный (multigrid). В Comsol при решении ур. Пуассона в 3D ставится по умолчанию.

 
 
 [ Сообщений: 3 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group