Большие кардиналы: за и против

[ervadi]

Давайте обсудим существование больших кардиналов.
Какие есть доводы против больших кардиналов?
Что изменится в математике если таких кардиналов нет?

[arseniiv]

ervadi в сообщении #1078741 писал(а):

А если их нет - $ZFC$ неверна?

А если подумать?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- Переформулируйте тему для корня ПРР (М), задав интересующие Вас вопросы.
- Уберите голосование, демократия отменяется.
- Оформите внешние ссылки в соответствии с правилами.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Xaositect]

ervadi в сообщении #1078741 писал(а):

Какие есть доводы против больших кардиналов?

Есть аксиомы, которые противоречат существованию больших кардиналов, например, аксиома $V = L$.

ervadi в сообщении #1078741 писал(а):

Что изменится в математике если таких кардиналов нет?

Насколько я знаю, единственное место в математике, где применяются большие кардиналы (причем не слишком большие, что-то типа двух недостижимых кардиналов) - это теория категорий, когда появляются функторы между большими категориями. Но там для конкретных применений можно ограничить большую категорию до малой.

[Someone]

ervadi в сообщении #1078741 писал(а):

Давайте обсудим существование больших кардиналов.

А нафиг этой дурью маяться? Нужны Вам лично большие кардиналы (для которых доказана независимость от аксиом ZFC) — считайте, что они есть. Не нужны — считайте, что нет. А предмета для обсуждения тут нет.

-- Чт дек 03, 2015 12:36:51 --

Xaositect в сообщении #1078976 писал(а):

Насколько я знаю, единственное место в математике, где применяются большие кардиналы (причем не слишком большие, что-то типа двух недостижимых кардиналов) - это теория категорий

Как ни странно, в дескриптивной теории множеств есть какие-то утверждения о множествах действительных чисел, которые зависят от наличия больших кардиналов. Но точно сейчас не помню.

-- Чт дек 03, 2015 12:52:35 --

Нашёл: http://www.mccme.ru/free-books/kanovej/set_theory.pdf, стр. 259.

[ervadi]

А обычные кардиналы со свойствами больших, как в $ZF+AD$ ?
Кажется, в нестандартном анализе нужно что-бы обычные кардиналы
были измеримы.

Цитата:

Есть аксиомы, которые противоречат существованию больших кардиналов, например, аксиома $V = L$.

Разве всех? $V = L$ противоречит существованию измеримых. Еще какие?
А в $ZF+AD$ что с большими кардиналами?

(Оффтоп)

Цитата:

А нафиг этой дурью маяться? Нужны Вам лично большие кардиналы (для которых доказана независимость от аксиом $ZFC$) — считайте, что они есть. Не нужны — считайте, что нет. А предмета для обсуждения тут нет

Зато есть предмет для дискуссии платонизм_vs_формализм
Не нравится - не участвуйте.

[Someone]

ervadi в сообщении #1079042 писал(а):

Кажется, в нестандартном анализе нужно что-бы обычные кардиналы
были измеримы.

Когда кажется — креститься надо.

ervadi в сообщении #1079042 писал(а):

Зато есть предмет для дискуссии платонизм_vs_формализм

Тогда Вы ошиблись разделом. Это к математике отношения не имеет. И, разумеется, в дискуссии подобного рода мне участвовать не интересно.

ervadi в сообщении #1079042 писал(а):

А обычные кардиналы со свойствами больших, как в $ZF+AD$ ?

Что такое "обычные кардиналы"?

[Brukvalub]

(Оффтоп)

Скажите, а кардинал Ришелье - это большой кардинал? (если что - я считаю его большим кардиналом!)
Значит, большие кардиналы были!

[Munin]

(Оффтоп)

Ну что вы, Ришелье - тощий кардинал! Вот Мазарини был большим кардиналом.

[ervadi]

Цитата:

Что такое "обычные кардиналы"?

Кардиналы меньшие наименьшего недостижимого кардинала.
Например $\aleph_1$, $\aleph_42$, $\aleph_\omega$.
В $ZF+AD$ измеримым будет $\aleph_1$
(Кановей."Аксиома выбора и аксиома детерминированости")

Цитата:

Когда кажется — креститься надо.

Там же (стр59-60) сказано что

Цитата:

"Маленькие" измеримые кардиналы"

связаны с ультрастепенями и что $AD$ позволяет строить "естественные" ультрафильтры над $\omega_1$.
Вот я и предположил что это может нужно в нестандартном анализе.
Статей на русском про нестандартный анализ и аксиому детерминированости в свободном
доступе не нашел

(Оффтоп)

И тут видно никто не в курсе

За книжку спасибо.

Цитата:

Тогда Вы ошиблись разделом. Это к математике отношения не имеет

Тогда насколько обоснованы аксиомы больших кардиналов и аксиомы их отрицающие.
И как математики создают или выбирают аксиомы.
Нашел книгу где утверждается что существование недостижимых кардиналов
противоречит $ZF$
http://arxiv.org/pdf/1110.0642v1
http://arxiv.org/pdf/1110.0643v1

(Оффтоп)

Цитата:

Вот Мазарини был большим кардиналом

Вот оно чё, а Тарский с Уламом то не в курсе

[Someone]

ervadi в сообщении #1079292 писал(а):

Кардиналы меньшие наименьшего недостижимого кардинала.

А чем они более "обычные", чем те, которые больше первого недостижимого кардинала?

ervadi в сообщении #1079292 писал(а):

Вот я и предположил что это может нужно в нестандартном анализе.

Нафиг не нужно.

ervadi в сообщении #1079292 писал(а):

Тогда насколько обоснованы аксиомы больших кардиналов и аксиомы их отрицающие.

Ну так не обосновывать же их псевдофилософской болтовнёй. Ещё раз: не надо тащить в математический раздел всякую фигню. Хочется Вам это обсуждать — идите в "Свободный полёт".

Если доказано, что некоторое утверждение не зависит от аксиом ZFC, то можно же посмотреть, какие у него и у его отрицания есть следствия. Вдруг там что-нибудь очень интересное обнаружится. И даже если независимость не доказана, а просто никак не удаётся ни доказать, ни опровергнуть, тоже не грех покопаться в следствиях. Вон, например, на гипотезу Римана посмотрите, сколько из неё всяких следствий вывели.

ervadi в сообщении #1079292 писал(а):

Нашел книгу где утверждается что существование недостижимых кардиналов
противоречит $ZF$
http://arxiv.org/pdf/1110.0642v1

http://arxiv.org/pdf/1110.0643v1

Ну надо же! Человек, оказывается, аж пять лет назад доказал, что математики сто лет ерундой занимаются, а никто и не чешется.

[ervadi]

Цитата:

А чем они более "обычные", чем те, которые больше первого недостижимого кардинала?

Ну назовем их "не большие кардиналы" или "малые", как в книге Кановея или на англ.википедии.
Для одной аксиоматики (на основе $ZFC$) неким свойством , например измеримостью или суперкомпактностью будут обладать кардиналы большие первого недостижимого,
а в другой меньшие : в $ZF+AD$ $\aleph_1$ $\aleph_2$ будут измеримыми
в $ZF+AD+DC$ $\aleph_2$ будет суперкомпактным (Determinacy implies that $\aleph_2$ is supercompact. H.Becker)
http://link.springer.com/article/10.1007%2FBF02761364?LI=true

Цитата:

Нафиг не нужно.

Цитата:

Ну так не обосновывать же их псевдофилософской болтовнёй.

Цитата:

Ну надо же! Человек, оказывается, аж пять лет назад доказал
что математики сто лет ерундой занимаются, а никто и не чешется.

Зачем так агресивно?

Цитата:

Есть аксиомы, которые противоречат существованию больших кардиналов, например, аксиома $V=L$

Где можно глянуть доказательство?
А какие еще аксиомы, кроме аксиомы конструктивности , действительно запрещают существование больших кардиналов?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

Просьба конкретизировать предмет обсуждения и четко и ясно обозначить вопрос, в котором Вы хотите разобраться.
Диспут не надо организовывать, раздел не для этого.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Возвращено.

Предмет обсуждения с этого момента следующий:

ervadi в сообщении #1079307 писал(а):

Цитата:

Есть аксиомы, которые противоречат существованию больших кардиналов, например, аксиома $V=L$

Где можно глянуть доказательство?
А какие еще аксиомы, кроме аксиомы конструктивности , действительно запрещают существование больших кардиналов?