Оценить время соударения брусков, рассматривая упругие волны

[amon]

Тогда вот Вам подсказка. Надо написать уравнение для скорости частиц в стержне (стержнях, поскольку мы договорились, что будем считать два стержня одним с того момента, как они соприкоснулись). Для этого введем координаты кусочков стержня $u(x,t)$, являющиеся смещением кусочка, который находился бы в точке $x$ в равновесии, относительно этого положения равновесия ($u(x,t)=x_{\text{текущее}}-x$). Для каждого кусочка напишем второй закон Ньютона:

$$\rho\Delta x S\frac{dv}{dt}=S(\sigma(x+\Delta x)-\sigma(x))$$

$S$ у нас площадь стержня, $x$ - координата вдоль стержня. Кроме того, нам понадобится закон Гука

$$\sigma=\varepsilon E$$

и связь деформации и скорости с нашей $u$:

$$ \begin{align} v&=\frac{\partial u}{\partial t}\\ \varepsilon&=\frac{\partial u}{\partial x} \end{align} $$

последнюю пару можно переписать как $\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial \varepsilon}{\partial t}$. Теперь путь открыт к успеху. Надо получить замкнутое уравнение в частных производных на $v(x,t)$.

(Оффтоп)

Гусары, молчать! Дайте человеку самому отличиться ;)

[DimaM]

Задачка эта (и сопутствующие) подробно разбирается в книге "Физика в примерах и задачах", авторы Бутиков, Быков, Кондратьев.

[мат-ламер]

DimaM в сообщении #1078953 писал(а):

Задачка эта (и сопутствующие) подробно разбирается в книге "Физика в примерах и задачах", авторы Бутиков, Быков, Кондратьев.

У Бутикова при рассмотрении вопроса о столкновении бруска (стержня) с его удвоенным, упругого удара не получается, несмотря на упругость материала. Все ли с ним согласны?

[DimaM]

мат-ламер в сообщении #1079116 писал(а):

У Бутикова при рассмотрении вопроса о столкновении бруска (стержня) с его удвоенным, упругого удара не получается, несмотря на упругость материала. Все ли с ним согласны?

А в чем именно вы видите проблему?
Часть энергии после разлета остается в виде упругой энергии деформированного стержня.
Если вместо короткого стержня взять точечную массу, а вместо длинного - пару масс, соединенных пружиной, то после затухания колебаний точно так же "упругого удара не получается", что совершенно не удивительно.

[мат-ламер]

DimaM в сообщении #1079132 писал(а):

А в чем именно вы видите проблему?

Проблему видел в том, что как-то невнятно написано у него. Вам там всё понятно? Например, у него одинокая волна, пройдя через границу двух тел, вызывает их расхождение. Это как-то неочевидно. Если бы две волны одновременно с разных сторон подходят к границе, то расхождение очевидно. (Волна у него есть волна сжатия. Растяжения нет). Впрочем, я может невнимательно прочитал. Завтра прочитаю подробно.

[мат-ламер]

amon в сообщении #1078880 писал(а):

мат-ламер в сообщении #1078877 писал(а):

После удара возникнут две волны

Ещё какие будут мнения?

Может точнее говорить про волновые пакеты, хотя под волнами можно понимать огибающую пакета.

[malahai]

К сообщению amon'a:

$$\sigma = E \varepsilon = E \frac{\partial u}{\partial x}$$ $$\rho S\Delta x \frac{ \partial^{2} u}{\partial t^{2} } = [ \sigma (x + \Delta x) - \sigma(x)]S = \frac{\partial \sigma}{\partial x} S\Delta x$$ $$\frac{\partial \sigma}{\partial x} = E \frac{ \partial^{2} u }{\partial x^{2} } $$ $$ \frac{ \rho}{ E}\frac{ \partial^{2} u}{\partial t^{2} } = \frac{ \partial^{2} u }{\partial x^{2}} $$

Вот это уравнение.
DimaM, За книгу спасибо.

[amon]

malahai в сообщении #1079198 писал(а):

Вот это уравнение.

Не-а. Это Вы уравнение для смещения написали, с ним еще разбираться надо. А я просил для скорости ($ v&=\frac{\partial u}{\partial t}$).

[DimaM]

мат-ламер в сообщении #1079141 писал(а):

(Волна у него есть волна сжатия. Растяжения нет). Впрочем, я может невнимательно прочитал.

Именно что невнимательно: при соударении возникает волна сжатия, которая отражается от свободной границы в виде волны разрежения.

мат-ламер в сообщении #1079141 писал(а):

Например, у него одинокая волна, пройдя через границу двух тел, вызывает их расхождение.

Волна разрежения обращает давление в нуль - все, дальнейшего контакта нет.

malahai в сообщении #1079198 писал(а):

Вот это уравнение.

Аккуратнее: $\sigma$ без индексов обычно обозначает коэффициент Пуассона. Компонента тензора напряжений будет $\sigma_{xx}$.