Изучение математики вообще

[мат-ламер]

Sinoid в сообщении #1075542 писал(а):

Да вот та же идея доказательства об изоморфизме всякой конечной группы с регулярной группой подстановок при решении задач используется ну очень часто.

К сожалению не знаю, что такое регулярная группа подстановок. Допустим речь идёт о теореме Кэли о том, что всякая конечная группа изоморфна некоей подгруппе группы $S_n$. В теории групп есть совокупность базовых понятий, которые хорошо бы знать: идея изоморфизма групп, идея действия группы ... Вот тут хорошо бы разобраться, что "используется ну очень часто". Эти базовые идеи, либо действительно идея доказательства конкретной теоремы? ИМХО, первое. По крайней мере в доказательстве теоремы Кэли особого ничего нет, кроме применения этих базовых идей. Хорошо бы разобраться на каком-нибудь конкретном примере. Может вы приведёте конкретный пример, где используется доказательство теоремы Кэли?

[AV_77]

Идеи представления групп в виде групп подстановок используются, например, в доказательстве теорем Силова.

Если конкретно регулярное представление интересует, то с его помощью, например, легко доказывается, что если группа $G$ имеет порядок $2n$ с нечетным $n$, то она содержит нормальную подгруппу порядка $n$.

[Sinoid]

мат-ламер в сообщении #1075635 писал(а):

К сожалению не знаю, что такое регулярная группа подстановок

У Шмидта в Абстрактной теории групп параграф 47 называется "Всякая группа изоморфна с регулярной группой подстановок" от себя добавлю, что эта теорема приводится в разделе "Теория конечных групп" и Шмидт определяет регулярную группу как

Цитата:

Группа подстановок, у которой число перемещаемых символов равно числу подстановок, т.е. степень равна порядку, и каждая подстановка перемещает все элементы, называется регулярной

но у Шмидта это утверждение не называется теоремой Кэли. А у Куроша называется и место про "каждая подстановка перемещает все элементы" расписано более отчетливо.

мат-ламер в сообщении #1075635 писал(а):

По крайней мере в доказательстве теоремы Кэли особого ничего нет, кроме применения этих базовых идей.

Когда эта теорема доказывается,

мат-ламер в сообщении #1075635 писал(а):

идея действия группы

еще не озвучена по крайней мере, у Шмидта.

мат-ламер в сообщении #1075635 писал(а):

Может вы приведёте конкретный пример, где используется доказательство теоремы Кэли?

Да, ИМХО, практически во всех задачах на доказательство изоморфизма некоторых групп подстановок (само вот это подделывание второй подстановки к первой, это же осколочек доказательства теоремы Кэли). Да вот я недавно решил такую задачу: Что представляют собой классы сопряженных элементов в симметрической группе $S_n$ ?
На решение меня натолкнул осколок от доказательства теоремы про коммутант: $N^{-1}ABN=(N^{-1}AN)(N^{-1}BN).$ Конечно, это не Кэли, но это пришло на ум.

[gevaraweb]

Sinoid в сообщении #1074295 писал(а):

Ведь образцы доказательств очень полезны при решении задач.

Сомнительно, обычно для решения задач используются свои приемы и методы, которые рассматриваются непосредственно на практических занятиях.

Sinoid в сообщении #1074295 писал(а):

Здравствуйте! Тут возникла такая проблема. Ну читаю я книгу, вникаю в доказательства, а в голове остается только процентов 30 доказательств и теорем. Не будешь же над каждой теоремой сидеть по два дня! Хотя случается с каким-нибудь доказательством просидишь и неделю, вот тогда это доказательство остается в голове.

Тут есть проблема, конечно. Даже две!
1) Это в школе доказательства опирались на только что пройденную базу. В "высшей математике" часто, для упрощения доказательств, привлекают дополнительный математический аппарат. И по сути, студент изучает каждый раз не один, а два раздела. А на кой это ему? Ладно, если это "чистый математик". Ему может, это пригодится (хотя тоже можно оспорить: есть куча разделов математики, о существовании которых я даже и не подозреваю, зато сплю спокойнее).
Прикладнику это точно не к чему. Он в итоге и сути не видит.
2) Доказательства приводятся часто сразу для общего случая, поэтому выглядят более громоздкими и неочевидными. Вряд ли ученые сразу доказывали ту или иную теорему таким образом. Сначала доказывается конкретный или частный случай, где все очевидно. Потом, держа этот случай в голове, доказывается более общий. Студенты, увы, этого лишены.

[AliceLovelace]

Изучать доказательства наверное самое полезное во всем изучении математики. Не ради самих доказательств, а ради навыка их построения, выработки привычки смотреть, что на что опирается, замечать неучтенные случаи, т.е. строить безошибочное рассуждение.
Заметила в универе (математика), студенты по мере обучения как бы делились на две категории - "алгоритмисты" и "доказательщики". Алгоритмистам дай только выучить алгоритм, и они его будут эффективно применять - линейная оптимизация, трансформаты, матанализ на зубок, нахождение чего-то... Доказательства? Зазубрить. И если начать говорить с ними о каких-то мат. явлениях, зависимостях, вдруг оказывается, что они по сути этого не понимают. Будто обезьянок научили умножать столбиком, они сидят, множат, а что за столбик, откуда он взялся... и с чем они вообще имеют дело, уже не в курсе.
А вот доказательщики, у них понимание гораздо ближе к уровню сути. Хотя иногда впадают в мышиную возню - лишние мелочи, кучу эмоций прикладывая к какой-то никому не нужной лемме (например ВТФ)). Но если не впадают, а держатся уровня "good enough", то и сути обычно видят больше. А так как сути часто повторяются, видят больше связей между казалось бы далекими друг от друга вещами. А это дает гибкость, например, модифицировать теоремы в зависимости от потребностей. Находить новые взаимозависимости. И т.д.

Поэтому вникать, и "по 2 теоремы в день" - стоит))

[Sinoid]

gevaraweb в сообщении #1078586 писал(а):

которые рассматриваются непосредственно на практических занятиях.

обучение заочное.