"Глубинный смысл" математических понятий

[Munin]

Поискал другие задачи. Вот, например, доказательства, что высоты, биссектрисы, медианы и срединные перпендикуляры пересекаются в одних точках. Правда, для биссектрис и срединных перпендикуляров, наверное, векторами решение будет дольше и некрасивей... зато с высотами, мне показалось, проще. Точнее, "школьное" доказательство я просто забыл, и не смог вспомнить. А с векторами:
1. Введём декартову систему координат, совместив её оси с одной стороной и опущенной на неё высотой, так что вершины $\triangle ABC$ будут иметь такие координаты:
$A\colon (a,0)$
$B\colon (0,b)$
$C\colon (c,0)$
($a$ и $c$ могут иметь разные знаки, то есть это числа со знаками).
2. Найдём уравнения прямых высот. Используем, что высота перпендикулярна стороне $\mathbf{s},$ и на ней лежит третья вершина $\mathbf{p}.$ Тогда точка $\mathbf{r}$ принадлежит высоте тогда, когда $\mathbf{(r-r_0)s}=0,$ где $\mathbf{r_0}$ - неизвестное основание высоты, и найти его можно из условия $\mathbf{(p-r_0)s}=0.$ Раскрывая скобки и исключая неизвестное, получаем $\mathbf{sr}=\mathbf{sp}.$ Подставляя сюда приведённые выше координаты вершин, будем иметь для высот уравнения на координаты $\mathbf{r}=(x,y)$:
$h_A\colon\quad (-c,b)(x,y)=(-c,b)(a,0)\quad\Rightarrow\quad -cx+by=-ac$
$h_B\colon\quad x=0,$ очевидно
$h_C\colon\quad (-a,b)(x,y)=(-a,b)(c,0)\quad\Rightarrow\quad -ax+by=-ac$
3. Надо доказать, что система совместна, то есть все три уравнения удовлетворяются одной парой $(x,y).$ Элементарно: вычитаем $h_A-h_C,$ и получаем $(-c+a)x=0\quad\Rightarrow\quad x=0\vee a=c,$ где второй случай отбрасываем из-за смысла условий (в треугольнике две вершины не должны совпадать между собой).
Fin.

[metelev]

Тема старая, но хочется высказаться. Я её просмотрел более-менее внимательно и, как мне представляется, понял в чём был вопрос, сформулированный следующим образом:

shau-kote в сообщении #622138 писал(а):

А тут мы имеем определение - $ab\cos\alpha$, к примеру - но не малейшего понятие, с какого такого потолка, оно взято и, главное, зачем.

Все, кто на него отвечал, упустили одну важную деталь, почти очевидную, но о которой человек после школы скорее всего не знает. Скалярное произведение можно записать не только как $(\vec{a}\cdot\vec{b})=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos\alpha$, но и как $(\vec{a}\cdot\vec{b})=a_x b_x+a_y b_y + a_z b_z$. То есть, зная декартовы координаты двух векторов, можно найти угол между ними.

И по поводу того, с какого потолка оно взято. Я только недавно это для себя открыл, этим летом, в порядке самообразования, поэтому хочу поделиться.

Если почитать оригинальную серию статей Гамильтона про кватернионы, то он выводит геометрическую интерпретацию их перемножения опираясь на теорему косинусов для сферических треугольников.

(Оффтоп)

Если кому интересно посмотреть в оригинале, почти с самого начала, на стр. 3, уравнение G: http://www.emis.de/classics/Hamilton/OnQuat.pdf. Но он там почти ничего не пишет, "теорему косинусов" не называет, не выписывает отдельно. Видимо для него это было очевидно. Только на странице 5 в формуле K называет как "известное соотношение, уже использованное в этой работе". А мне пришлось смотреть в википедии, я про неё не знал.

Перескажу геометрическую интерпретацию своим языком: если записать кватернионы-множители и произведение в виде $\cos\theta +\sin\theta \cdot \mbox{вектор}$, то сферические углы треугольника в точках, где $\mbox{вектор}$ (или его продолжение) протыкает единичную сферу, равны соответсвующим $\theta$ для множителей и $\pi-\theta$ для произведения.

Далее, "чистый" вектор получается, если у кватерниона $\theta=\pi/2$. В этом случае, очевидно, $\cos=0$, $\sin=1$. Попробуем перемножить два "чистых" вектора.

Если взять две точки на сфере, провести через них условный "экватор" и условные "меридианы", мы как раз получим между "экватором" и "меридианами" углы $\pi/2$. То есть третья точка соответствующего сферического треугольника (а с ней векторная часть произведения двух кватернионов, у каждого из которых $\theta=\pi/2$), будет совпадать с каким-то из "полюсов".

Собственно почти всё. Осталось найти угол $\theta$ для произведения.

Меридианы вырезают из сферы "дольку". Если рассекать её плоскостями, параллельными экватору, то угол всегда будет тот же, что и между векторными компонентами кватернионов-множителей, и на полюсе тоже. То есть, сферический угол в этом случае будет равен плоскому углу между векторными частями соответствующих кватернионов-множителей.

Ещё надо учесть, что $\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha$. И что скалярную и векторную часть можно получить, покомпонентно перемножая исходные множители по обычным правилам.

[metelev]

Неправильно написал, а отредактировать своё сообщение, я смотрю, уже нельзя. В конце $\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha$

[Deggial]

metelev в сообщении #1052691 писал(а):

Неправильно написал, а отредактировать своё сообщение, я смотрю, уже нельзя. В конце $\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha$

Формулу поправил. В таких случаях пользуйтесь механизмам жалоб (кнопка ).
Редактирование поста Вам, как обычному участнику, доступно в течение часа после его опубликования.

[Евгений Машеров]

Ну, скалярному произведению найти физический смысл нетрудно. Толкаете Вы тележку по рельсам. С силой $F$, совершая перемещение $s$. И если рельсы мешают Вам толкать самым удобным образом, вдоль направления перемещения, работу совершает часть силы вдоль направления перемещения, а чтобы её отыскать, надо на косинус умножить
$A=Fs\cos \alpha$
Но в другой задаче физическая интерпретация будет иной.

[bot]

(Оффтоп)

Deggial в сообщении #1052758 писал(а):

В таких случаях пользуйтесь механизмам жалоб (кнопка Изображение).

То есть пожаловаться на самого себя. Вот интересно стало, может ли простой крестьянин до этого додуматься?

[grizzly]

(Оффтоп)

bot в сообщении #1053725 писал(а):

То есть пожаловаться на самого себя. Вот интересно стало, может ли простой крестьянин до этого додуматься?

Это кажется единственно очевидным решением. Когда я почти новичком ещё первый раз столкнулся с необходимостью вмешательства модераторов в свой пост, то счёл наиболее естественным способом такую жалобу. Только переспросил на всякий случай, удобный ли это способ связи на будущее в аналогичных ситуациях. Получил вполне ожидаемый утвердительный ответ.

[talash]

shau-kote в сообщении #620039 писал(а):

Всем доброго времени суток.

Поступил я в этом году на свою голову в технический ВУЗ. (:

Разумеется, математики читают более чем достаточно. И возникла у меня некоторая проблема. За долгие годы изучения естественных наук в школе и за её пределами я привык считать (и склонен считать до сих пор), что самое главное при изучении той или иной теории - "прочувствовать" её, понять её, так сказать, интуитивный смысл. А тут вот сходу не получается. :(

Посоветуйте, пожалуйста, книги, рассматривающие математику с такой точки зрения. Где-то вроде бы даже на этом форуме я натыкался на русского математика, написавшего серию книг на сходную тематику, но не могу найти.

Заранее благодарен.

Афтор, я знаю такую книгу. Ничего глубиннее неё нету. Вот она:
Анри Пуанкаре "О науке" djvu, html

[Lia]

talash
Замечание за избыточное цитирование и некропостинг.

Настоятельная просьба обращать внимание на даты сообщений, на которые Вы отвечаете. Через три года автор может уже и не вернуться, чтобы познакомиться с Вашим ответом.

[Lia]

Сообщение Nesalvador отделено в «Физический смысл векторного произведения»