О теореме Пифагора

[grizzly]

venco
Похоже, наши точки зрения по большинству вопросов совпадают. Если хотите, я приведу подтверждающие цитаты себя из этой темы -- после этого мы смогли бы обсудить какие-то тонкости разногласий между нами (таковые найдутся). То, что я объяснил на какие вопросы просил ответить ТС, совершенно не означает, что я мучаюсь теми же вопросами

[venco]

Munin в сообщении #1076089 писал(а):

Знали ли тогда, что площадь квадрата выражается арифметическим выражением $a\cdot a$ для нецелых длин сторон?

А (не-)целочисленность здесь немного перпендикулярна. Да, скорее всего, древние оперировали только с целыми числами. Поэтому после вывода формулы Пифагора возникает другая проблема - а как получить прямоугольный треугольник? И тут вылезают Египетские треугольники и прочие Пифагоровы тройки. А что делать, если корень из $a^2+b^2$ не извлекается - это уже философская проблема: можно ли измерить гипотенузу такого треугольника, и существует ли он вообще?

[provincialka]

Решила использовать идею для задания по теме "анализ экспериментальных данных", второй курс магистратуры. Насчитала 100 троек, округлила все числа до десятых. Сказала, что надо найти зависимость $z$ (гипотенузы) от $x,y$.

Мы как раз сейчас построение множественной регрессии проходим... Так что выявить зависимость типа $z=a_1+b_1x+b_2y+c_1x^2+c_2xy+c_3y^2$ труда не составляло... Но вот возвести $z$ в квадрат...

Впрочем, им было трудно, так как задача изначально ставилась под технические средства. "Глазами"-то на данные они не смотрели... Да и толку? они же с тремя значащими цифрами!

[Munin]

venco в сообщении #1076100 писал(а):

А (не-)целочисленность здесь немного перпендикулярна.

Почему? Для целых чисел $S=a\cdot a$ очевидна. Но гипотенуза как раз чаще всего нецелая! И что говорить про её площадь? (Кстати, тут есть ещё один момент: не меняется ли площадь от того, что мы поворачиваем квадрат в параксиальное положение? Но в принципе, на местности на горизонтальной плоскости это очевидно, а в архитектуре в вертикальной плоскости можно было "положить" чертёж горизонтально.)

venco в сообщении #1076100 писал(а):

А что делать, если корень из $a^2+b^2$ не извлекается - это уже философская проблема: можно ли измерить гипотенузу такого треугольника, и существует ли он вообще?

Отнюдь не философская: можно ли утверждать теорему Пифагора (общий факт!), если для большинства треугольников измерить гипотенузу нельзя, и вообще под вопросом существование числа и его квадрата.

Треугольник-то существует. Но теорема Пифагора-то - она и геометрическая, и алгебраическая одновременно.

-- 24.11.2015 00:08:52 --

provincialka в сообщении #1076102 писал(а):

Впрочем, им было трудно, так как задача изначально ставилась под технические средства. "Глазами"-то на данные они не смотрели... Да и толку? они же с тремя значащими цифрами!

Обычно под "смотреть глазами на данные" я понимаю "построить график какой-нибудь". Разумеется, не читать же числа как телефонные номера!

А это заведомо можно было, если вы не выдавали эти числа им выписанные на бумажке :-)

[venco]

Munin в сообщении #1076103 писал(а):

Но гипотенуза как раз чаще всего нецелая!

Всегда можно попробовать измерять очень маленькими единицами. И вдруг там получится!
Понятно, конечно, что не получится, но с практической точки зрения тем, что гипотенуза чуть больше, чем 125402 маковых зёрнышек, можно пренебречь.

[Munin]

venco в сообщении #1076104 писал(а):

Всегда можно попробовать измерять очень маленькими единицами. И вдруг там получится!

Вы же не хуже меня знаете, что если гипотенуза нецелая, то она и иррациональная.

-- 24.11.2015 01:15:45 --

Если при измерениях на местности чем-то и можно пренебречь, то при алгебраических вычислениях в целых числах - не получится. При том, что культура приближённых вычислений вообще появилась веке этак в 18-м.

[AliceLovelace]

Например египтяне строили треугольники типа $(1, \sqrt{\Phi}, \Phi$).
Могли они это делать осознанно (понимая числа, соотношения и т.п.), или чисто построениями на целых числах? ("возьми веревку, обмотай семь раз на кулак, один раз отрежь..." итп.)

[venco]

Munin, к чему этот оффтопик? (Не-)целость чисел к самой теореме Пифагора никакого отношения не имеет. Особые целые тройки таких чисел, конечно, интересны, и удобны на практике, но к самой теореме перпендикулярны.
Более того, нецелочисленность мешает найти закономерность по измерениям, как некоторые тут предлагают, т.к. числа практически никогда сходиться не будут.
С другой же стороны, используя геометрию, теорему можно вывести, не задумываясь о целочисленности.

[Skeptic]

Знал ли Пифагор геометрию в достаточном объёме, чтобы вывести свою теорему?
Существует ли доказательство самого Пифагора, и относится ли оно к прямоугольным треугольникам, как мы сегодня это считаем?
Когда формула Пифагора стала называться его именем?
Кто дал её такое имя?

[Munin]

venco в сообщении #1076117 писал(а):

Munin, к чему этот оффтопик? (Не-)целость чисел к самой теореме Пифагора никакого отношения не имеет.

Имеет к процессу её открытия. Да в общем, и к пониманию: одно дело, если её понимать геометрически (о соотношении размеров квадратов, построенных на отрезках), и другое - расчётно (о соотношении чисел, которое можно применить для предсказания третьей стороны или прямизны угла).

venco в сообщении #1076117 писал(а):

Более того, нецелочисленность мешает найти закономерность по измерениям, как некоторые тут предлагают, т.к. числа практически никогда сходиться не будут.

Именно об этом и речь.

Skeptic в сообщении #1076164 писал(а):

Когда формула Пифагора стала называться его именем?
Кто дал её такое имя?

Это всё вопросы частные.

Почитайте, например,
Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука.

[TR63]

A_Nikolaev в сообщении #1075901 писал(а):

TR63 в сообщении #1075726

писал(а):
Далее нужна статистика (схемы других задач), наблюдения и анализ. Простая, нудная работа над различными задачами в поисках закономерности, когда гипотезы становятся теоремами.

A_Nikolaev в сообщении #1075901 писал(а):

Т.е., проще говоря, так и этак покрутить проблему в руках, попробовать что-нибудь увидеть-угадать. Правильно? Это я понимаю.

Одно дело "увидеть-угадать" в безбрежном океане, другое- искать "на блюдечках с голубой каёмочкой", количество которых ограниченно количеством задействованных операций (у нас их две), и располагаться эти "блюдечки" относительно делителя могут ограниченным количеством способов. Далее экстраполяция. Но дело в том, что не при любых расположениях относительно делителя экстраполяция возможна. Вот, я и предлагаю рассмотреть различные задачи. Обнаружится новая гипотетическая закономерность. Контрпримера к ней я найти не могу. Наоборот, можно найти контрпример к известной задаче о решении уравнения четвёртой степени. Он находится в моей теме "Найти ошибку в решении диофантова уравнения" в разделе ПРР. Правда, может, я сама где-то ошиблась. Но я не могу найти, где именно. И в этом простом школьном вопросе мне пока никто не помог.

[A_Nikolaev]

Someone, спасибо за объяснение и за советы.

Прошу всех участников обсуждения извинить меня за глупые вопросы, но они неизбежны, когда начинаешь интересоваться незнакомым делом.

***

Хотя я и не собирался снова касаться истории, но это ж так интересно! Чувствуешь себя детективом.

venco в сообщении #1076117 писал(а):

Более того, нецелочисленность мешает найти закономерность по измерениям...

Но это не так уж трудно сделать по построениям. Если строить треугольники или прямоугольники с диагоналями, используя только целые величины, то обнаружить тройку (3, 4, 5) --- это не проблема.

Угольником для построения прямого угла в Древнем Египте пользоваться умели, перевертыванием могли проверить точность его прямого угла.

Египтяне знали тройку (3, 4, 5) 4000 лет назад. Следов того, что они тогда знали другие тройки, саму закономерность в общем виде или её геометрическое доказательство, не сохранилось.

Вавилоняне знали о закономерности 3500--4000 лет назад и имели теорию примитивных троек, т. е. могли систематически вычислять все примитивные тройки: смотрите, например, в книге Audun Holme "Geometry: Our Cultural Heritage" о табличке Plimpton 322. Но следов геометрического доказательства, кажется, нет.

Китайцы знали об упомянутой выше пифагоровой тройке в 12 веке до нашей эры. В общем виде теорему формулировали в 6 веке до н. э. А вот древнейшее из сохранившихся китайских доказательств принадлежит Чжао Цзюнь-цину, который жил в 3 веке н. э., т. е. 1700 лет назад. Оно совпадает с индийским доказательством из "Сульва-сутры", это 5 век до н. э., 2400--2500 лет назад. Об этом доказательстве говорили Вы и ET. Оно появилось в комментариях к "Трактату о гномоне" ("Чжоу-би суань цзинь"), которые были написаны Чжао Цзюнь-цином, а не в самом трактате. Информацию я взял из книги Э. Березкиной "Математика древнего Китая", М., 1980. Википедия в статье о теореме ошибается.

Пифагор --- это 5--6 века до н. э., время, когда было записано индийское доказательство. Пифагорово доказательство не сохранилось.

Интересно, что все древние доказательства --- и Евклидово, и индийско-китайское --- выглядят построенными под уже известную закономерность. Сравните это с доказательством через подобные треугольники, о котором говорил grizzly.

Доказательство через подобные треугольники могло бы быть тем путем, которым закономерность была не просто доказана, но и первоначально открыта, но ни индусы, ни китайцы, ни греки об этом и подобных ему доказательствах не писали. Речь о том, что открытие, в виде гипотезы, и геометрическое доказательство могли быть и были, как мне кажется, разными этапами.

У меня складывается примерно такая картина хода истории:

1. научились строить прямые углы,
2. нашли первую пифагорову тройку (3, 4, 5),
3. догадались, что $3^2 + 4^2 = 5^2$,
4. догадались, что целочисленных троек много и научились их находить, предположив общую закономерность $a^2 + b^2 = c^2$,
5. доказали закономерность геометрически.

[ovsov]

Munin в сообщении #1076110 писал(а):

venco в сообщении #1076104 писал(а):

Всегда можно попробовать измерять очень маленькими единицами. И вдруг там получится!

Вы же не хуже меня знаете, что если гипотенуза нецелая, то она и иррациональная.

-- 24.11.2015 01:15:45 --

Если при измерениях на местности чем-то и можно пренебречь, то при алгебраических вычислениях в целых числах - не получится. При том, что культура приближённых вычислений вообще появилась веке этак в 18-м.

В выделенном жирным громкое заявление, поскольку говорит об ошибочности одного конкретного доказательства, предложенным В. Серпинским.
См. В. Серпинский. Пифагоровы треугольники. параграф 11 пункт 5 стр. 40-41.

[grizzly]

ovsov в сообщении #1076969 писал(а):

поскольку говорит об ошибочности одного конкретного доказательства, предложенным В. Серпинским.

Выбирая такую мощные средства аргументации, Вы явно превышаете пределы необходимой обороны Для Вашего аргумента достаточно было взять треугольник, подобный $(3,4,5)$, с дробным коэффициентом подобия. Но вообще из контекста выше понятно, что там речь шла о треугольнике с целыми катетами.

[ovsov]

grizzly в сообщении #1076991 писал(а):

ovsov в сообщении #1076969 писал(а):

поскольку говорит об ошибочности одного конкретного доказательства, предложенным В. Серпинским.

Выбирая такую мощные средства аргументации, Вы явно превышаете пределы необходимой обороны Для Вашего аргумента достаточно было взять треугольник, подобный $(3,4,5)$, с дробным коэффициентом подобия. Но вообще из контекста выше понятно, что там речь шла о треугольнике с целыми катетами.

Я полностю с Вами, а вот нахватавшийся вершков ovsov должно быть хотел образованностю блеснуть.