О теореме Пифагора

[A_Nikolaev]

Здравствуйте!

Представим, что некий школьник ещё не знаком с теоремой Пифагора. Он рисует разные прямоугольные треугольники, измеряет их стороны с небольшими погрешностями и заносит результаты в таблицу. Сможет ли он самостоятельно сформулировать верную гипотезу о соотношении сторон прямоугольного треугольника? Речь именно о гипотезе, а не о её доказательстве, не о превращении гипотезы в теорему.

Существует ли поворот и направление мысли, которые помогут школьнику постепенно приблизиться к верной формулировке? Или единственный путь для него -- это сидеть и выдумывать разные соотношения, и ждать, когда случайно придумается подходящее?

Я подумал, что смогу найти у историков математики реконструкцию того, как в древности пришли или могли прийти к формулировке этой теоремы. Пролистал книгу ван дер Вардена "Пробуждающаяся наука" и книгу Литцмана "Теорема Пифагора", но ничего подобного не нашёл. Первая книга просто говорит, что теорема была известна ещё в Вавилоне, а вторая рассказывает о разных доказательствах теоремы.

[ET]

Есть картинка, из которой понятно, что квадрат со стороной, равной гипотенузе по площади равен четырем площадям треугольника плюс квадрат, со стороной, равной разности длин катетов. Из чего можно дойти сразу до "доказательства"

[ET]

Зы нагуглил картинку, даже еще лучшую



На ней ажно два доказаетльства, которые способен сочинить школьник. Я имел ввиду то, которое внутренняя картинка. Но и внешняя картинка не хуже

[grizzly]

A_Nikolaev в сообщении #1074471 писал(а):

школьник ещё не знаком с теоремой Пифагора. Он рисует разные прямоугольные треугольники, измеряет их стороны с небольшими погрешностями и заносит результаты в таблицу. Сможет ли он самостоятельно сформулировать верную гипотезу о соотношении сторон прямоугольного треугольника?

Я бы предложил разделить этот вопрос на 2 части:
1) Структурирование каким-то образом данных опыта для последующего анализа.
2) Собственно поиск закономерности.

Я утверждаю, что п.1) является более значимым в данном случае. На него есть определённые возрастные ограничения, накладываемые возрастной психологией. Школьник в 12 лет не станет этим заниматься -- здесь даже методическая помощь учителя не особенно поможет (если только не навредит). В 14 он будет уже способен, но методическая помощь всё ещё потребуется, я думаю.

Относительно 2). Собственно нахождение закономерности дело случая. Так что при определённом навыке и достаточной широте взглядов (представлении о концепциях) успех становится вполне вероятным. Я бы оценил шансы на успех в ~15% (один из 7 толковых учеников; оценка ничем не подкреплена).

[INGELRII]

Можно еще так: фиксируем длину катета $a$ и устремляем длину $b$ к бесконечности. Наблюдаем, что при этрм происходит с квадратом, построенном на гипотенузе: его площадь будет весьма мало отличаться от площади квадрата, построенного на катете $b$. Точно так же приходим к выводу, что при фиксировании катета $b$ площадь квадрата на гипотенузе примерно равна уже площади квадрата на катете $a$. Ну а после этого можно сделать правдоподобную гипотезу, что квадрат гипотенузы примерно равен сумме квадратов катетов. И уже исследовать теоретически, насколько она правдива.

[TR63]

grizzly в сообщении #1074544 писал(а):

1) Структурирование каким-то образом данных опыта для последующего анализа.

grizzly в сообщении #1074544 писал(а):

Школьник в 12 лет не станет этим заниматься

Недавно по здешней ссылке видела олимпиадные задачи для шестиклассников. Не всякий ЗУ справится.
Надо (для школьников) упростить задачу. Например, сузить область определения. Рассматривать только натуральные числа. Тогда на статистическом материале можно заметить, что при $n=1$, $n=2$, $m\in N$ гипотенуза не выражается натуральным числом.
Выдвигаем гипотезу: такие треугольники не входят в область определения. Исключаем их из рассмотрения.
Далее, замечаем, что при чётном катете $n>2$ решение всегда существует (т.е. существует второй натуральный катет и натуральная гипотенуза) и обладает свойством "Пифагора" ($a^2+b^2=c^2$). Выдвигаем гипотезу: существует неограниченное количество прямоугольных треугольников, обладающих "свойством Пифагора". Далее, а, все ли прямоугольные треугольники обладают "свойством Пифагора"?

[ASH]

A_Nikolaev в сообщении #1074471 писал(а):

Первая книга просто говорит, что теорема была известна ещё в Вавилоне, а вторая рассказывает о разных доказательствах теоремы.

Если не ошибаюсь, в Вавилоне, а потом и в Египте, знали не теорему, а пифагоровы тройки, которые применяли при определенных геодезических работах. Простой пример - вам нужен прямой угол. Вы знаете, что для этого достаточно построить треугольник со сторонами 3, 4, 5 ед. длины. Все, больше ничего не требуется.

[A_Nikolaev]

ET
Вы говорите о геометрических построениях, при помощи которых доказывают, что $c^2 = a^2 + b^2$. Но мне кажется маловероятным, что люди узнали об этом соотношении, разглядывая подобные чертежи. Вавилоняне, к примеру, знали об этой закономерности, но, скорее всего, не были знакомы с такими чертежами, с такими доказательствами.

***

grizzly в сообщении #1074544 писал(а):

Структурирование каким-то образом данных опыта для последующего анализа ... является более значимым в данном случае.

А у Вас есть какие-нибудь идеи, как правильно структурировать, чтобы помочь угадать закономерность?

grizzly в сообщении #1074544 писал(а):

Школьник в 12 лет не станет этим заниматься -- здесь даже методическая помощь учителя не особенно поможет (если только не навредит).

На всякий случай сообщаю: я, в отличие от Минобра, над школьниками опытов не провожу. Речь идёт о гипотетическом школьнике.

***

INGELRII в сообщении #1074564 писал(а):

Наблюдаем, что при этом происходит с квадратом, построенном на гипотенузе.

Мне кажется маловероятным, что кто-нибудь, не зная закономерности, догадается построить квадраты на сторонах треугольника, а затем догадается исследовать построение указанным Вами способом и сможет обнаружить закономерность.

INGELRII в сообщении #1074564 писал(а):

фиксируем длину катета $a$ и устремляем длину $b$ к бесконечности

Но идея интересная. Думаю, наш школьник мог бы подметить, что если один катет намного больше другого, то длина гипотенузы примерно равна длине большего катета. Он мог бы даже записать: $c \approx b,$ $c^2 \approx b^2,$ $c^3 \approx b^3...$ Помогло бы это ему?

***

TR63
Да, возможно, что фокусировка на пифагоровых тройках ускорит обнаружение закономерности.

***

ASH в сообщении #1074580 писал(а):

Если не ошибаюсь, в Вавилоне, а потом и в Египте, знали не теорему, а пифагоровы тройки

Глянул в "Пробуждающуюся науку". Кажется, в Древнем Вавилоне знали не только тройки, но и саму теорему. Там умели такие задачи решать:

ван дер Варден в 'Пробуждающейся науке' (стр. 103) писал(а):

Palu (балка?) длины 0;30 (прислонена к стене). Ее верхний конец опустился на 0;6. Как далеко отодвинется ее нижний конец?

На стр. 110, в перечне геометрических знаний вавилонян теорема Пифагора тоже значится.

[grizzly]

A_Nikolaev в сообщении #1074594 писал(а):

А у Вас есть какие-нибудь идеи, как правильно структурировать, чтобы помочь угадать закономерность?

Нет. Табличка на мой взгляд -- лучший способ. Я просто хотел сказать, что имея на вооружении "метод таблички для анализа" современный школьник получает неслабую фору перед древним гением. (Если этот школьник созрел для пользования таким методом.)
Эту фору даёт культура, а не наблюдательность или острота ума. Из этого я заключаю, что ответ на вопрос первой части Вашего стартового сообщения мало что даёт (имхо) для понимания исторических вопросов. Просто это независимые вопросы -- сложные и важные.

[TR63]

grizzly в сообщении #1074640 писал(а):

имея на вооружении "метод таблички для анализа" современный школьник получает неслабую фору перед древним гением.

Чтобы метод "таблички для анализа" не был гаданием на кофейной гуще, надо проанализировать ряд задач, зависящих от натурального n, и посмотреть, при каких дополнительных условиях гипотезы становятся теоремами. В частности, можно обратить внимание на то, какими свойствами обладают задействованные операции. Ну, и ряд других моментов. Но это уже другая история.

[ET]

A_Nikolaev в сообщении #1074594 писал(а):

ET
Вы говорите о геометрических построениях, при помощи которых доказывают, что $c^2 = a^2 + b^2$. Но мне кажется маловероятным, что люди узнали об этом соотношении, разглядывая подобные чертежи. Вавилоняне, к примеру, знали об этой закономерности, но, скорее всего, не были знакомы с такими чертежами, с такими доказательствами.

Не знаю, что вам кажется, но данный чертеж был известен до нашей эры

[A_Nikolaev]

ASH
Задача, о которой я написал, -- это тоже пифагорова тройка (18, 24, 30), которую легко получить из тройки (3, 4, 5).

***

grizzly в сообщении #1074640 писал(а):

имея на вооружении "метод таблички для анализа" современный школьник получает неслабую фору перед древним гением. ... Эту фору даёт культура, а не наблюдательность или острота ума.

Ну, древние гении не были такими уж бескультурными, они тоже умели составлять таблички. Пример -- глиняная табличка Plimpton 322, которая является то ли продуктом труда древнего гения, то ли сборником упражнений для школьников. О ней рассказано и в книге Вардена.

Интересно, а наличие у месопотамцев таких табличек -- это аргумент за то, что они знали теорему Пифагора, или это аргумент против? Мне кажется, что это аргумент за, потому что измерением трудно найти пифагоровы тройки из Plimpton 322.

grizzly в сообщении #1074640 писал(а):

Из этого я заключаю, что ответ на вопрос первой части Вашего стартового сообщения мало что даёт (имхо) для понимания исторических вопросов.

Наоборот, я хотел в истории найти подсказку для того, чтобы сделать покороче дистанцию от опытных данных до закономерности, дистанцию, которая преодолевается случайным прыжком-догадкой. (А-ля загадка зарождения жизни.)

***

Да, думаю, что аккуратное и систематичное табулирование результатов измерений и внимание к красивым, целым числам могут увеличить шансы на угадывание данной закономерности.

(О школе)

В школе не уделяют внимания поиску гипотез. И наказывают за ошибки, что вообще отбивает желание думать и учиться.

Дрессировщики знают, что обучение ускоряется в разы, если поощряешь за успехи, но не наказываешь за неудачи. Ошибки -- элемент поиска и выработки навыков, в т.ч. навыка находить нестандартные ходы, угадывать. Этот навык успешно вырабатывается даже у домашних животных.

В школе акцент смещён на заучивание фактов, теорем, доказательств, т.е. на результаты научного процесса, а не на его ход. Но "суть дела исчерпывается не своей целью, а своим осуществлением, и не результат есть действительное целое, а результат вместе со своим становлением". "Голый результат есть труп".

***

ET в сообщении #1074759 писал(а):

Не знаю, что вам кажется, но данный чертеж был известен до нашей эры

Вы думаете, что кто-то когда-то нарисовал именно такой чертёж, долго на него смотрел и вдруг открыл теорему Пифагора? А зачем он нарисовал именно такой чертёж? Случайно? Маловероятно.

Если бы этот чертёж был нужен для чего-нибудь кроме доказательства теоремы, то можно было бы допустить, что её открыли с помощью этого чертежа.

Я думаю, что данное доказательство не воспроизводит тот путь, которым прошла мысль, формулируя гипотезу о закономерности имени Пифагора.

[ET]

A_Nikolaev в сообщении #1074762 писал(а):

Вы думаете, что кто-то когда-то нарисовал именно такой чертёж, долго на него смотрел и вдруг открыл теорему Пифагора? А зачем он нарисовал именно такой чертёж? Случайно? Маловероятно.

Если бы этот чертёж был нужен для чего-нибудь кроме доказательства теоремы, то можно было бы допустить, что её открыли с помощью этого чертежа.

Я думаю, что данное доказательство не воспроизводит тот путь, которым прошла мысль, формулируя гипотезу о закономерности имени Пифагора.

По вашему картинки рисуют только когда имеют цель доказать конкретную формулу? Не знаю, была ил у древних возможность играть с пластинками в виде треугольников, но если была - вот простейший способ прийти к такой картинке
А вы потренируйтесь решать задачи, все сомнения сразу отпадут. Полистал ваши сообщения на этом форуме - ничего содержательного не нашел. Когда научитесь решать, все ваши сомнения исчезнут.
а вот измерять стороны, возводить в квадраты при остутствии позиционной системы счисления - это реально адов бесперспективный труд

[A_Nikolaev]

ET в сообщении #1074767 писал(а):

По вашему картинки рисуют только когда имеют цель доказать конкретную формулу?

Если говорить в контексте нашей темы, то да.

ET в сообщении #1074767 писал(а):

Не знаю, была ил у древних возможность играть с пластинками в виде треугольников, но если была - вот простейший способ прийти к такой картинке

Возможно. Но у древних, как мне кажется, все эти задачки связаны с практикой, типа вычисления длины устойчиво приставленной к стене лестницы, наклона стен и лестниц зиккуратов и пр.

Сколько всяких фигурок из всяких пластинок можно сложить! А вот взять именно такие треугольнички, именно так их сложить и задуматься о соотношении длин, площадей -- это, всё равно, кажется маловероятным.

И где море других теорем открытых древними методом игры с пластинками?

ET в сообщении #1074767 писал(а):

а вот измерять стороны, возводить в квадраты при остутствии позиционной системы счисления - это реально адов бесперспективный труд

Они умели даже корни извлекать и довольно сложные уравнения и их системы решать без позиционной системы счисления. И похоже, что существовала и воспроизводилась довольно внушительная прослойка людей, которые это умели делать и делали постоянно, потому что этого требовало хозяйство.

[Skeptic]

Мне кажется, что египетский треугольник возник после умения строить прямой угол к началу луча и выделение его из других углов.

Например. Имеем луч с началом в точке $A$. Возьмём точку $O$ вне луча. Из неё проводим окружность радиусом $OA$. Получим точку $B$ пересечения окружности и луча. Проводим диаметр из точки $B$, получим точку $C$. При изменении точки $O$ всегда будут получаться треугольники в равными углами $CAB$. Этот угол назвали прямым, треугольник - прямоугольным.
Измерение длин сторон разных прямоугольных треугольников привело к египетскому треугольнику.