О теореме Пифагора

[AliceLovelace]

provincialka в сообщении #1075854 писал(а):

AliceLovelace
Других ваших сообщений не читала, но дифференциал переменной никак не может быть равен произведению дифференциалов. Это просто тупо разные математические объекты. Не говоря уж о невесть откуда взявшейся "окружности"

Да, опечатка конечно же, спасибо.
$dx = -ydt$
$dy = xdt$

Вот окружность)

[Munin]

Не все опечатки исправлены. Правильно так:

Цитата:

$dx=-y\,dt$
$dy=x\,dt$
Вот не окружность

[A_Nikolaev]

TR63 в сообщении #1075726 писал(а):

Далее нужна статистика (схемы других задач), наблюдения и анализ. Простая, нудная работа над различными задачами в поисках закономерности, когда гипотезы становятся теоремами.

Т.е., проще говоря, так и этак покрутить проблему в руках, попробовать что-нибудь увидеть-угадать. Правильно? Это я понимаю.

TR63 в сообщении #1075726 писал(а):

Поэтому я и говорила выше, что для школьников лучше изучать "свойство Пифагора с помощью чертежа.

Это я тоже понимаю. Я понимаю, что и в древности могли прийти к теореме чисто геометрическим путём, как писали grizzly и ET.

***

Всем

Я хочу убрать фокус со школьников и истории. Забудем о школе и об истории. Как современные учёные решают подобные задачи?

Итак, у нас есть таблицы, в которые мы записали результаты измерений гипотенузы. Есть графики. Известны некоторые свойства функции, которую мы ищем:

• $f(a, b) = f(b, a)$,
• $f(a, 0) = a$,
• $f(\alpha \cdot a, \alpha \cdot b) = \alpha \cdot f(a, b)$.

Что делаем дальше? Вычисляем какие-то дополнительные свойства из таблиц и ищем подходящую функцию в справочниках, в базах?

А существуют ли такие справочники, базы? Если не существуют, то почему? Надо сделать! Я представляю это так: сайт, где отмечаешь или вводишь известные свойства функции, вводишь границы измерений, а он выдаёт тебе странички с графиками функций с похожими свойствами. Листаешь и ищешь.

Я нашел справочник Рыбасенко В. Д. и Рыбасенко И. Д. "Элементарные функции: формулы, таблицы, графики". В нём то, что мы ищем, -- это первый график на странице 100 (говорю о случае, когда один из катетов зафиксирован). Но справочник этот не очень удобен: в нем нет возможности искать функцию по известным свойствам.

Ещё раз вопрос: что делает в подобных случаях современный учёный?

-- 23.11.2015, 12:05 --

A_Nikolaev в сообщении #1075901 писал(а):

Я представляю это так: сайт, где отмечаешь или вводишь известные свойства функции, вводишь границы измерений, а он выдаёт тебе странички с графиками функций с похожими свойствами. Листаешь и ищешь.

Но, наверняка, можно автоматизировать: вводишь данные измерений, а он подбирает похожий график.

[Someone]

A_Nikolaev в сообщении #1075901 писал(а):

Итак, у нас есть таблицы, в которые мы записали результаты измерений гипотенузы. Есть графики. Известны некоторые свойства функции, которую мы ищем:
$f(a, b) = f(b, a)$,
$f(a, 0) = a$,
$f(\alpha \cdot a, \alpha \cdot b) = \alpha \cdot f(a, b)$.
Что делаем дальше? Вычисляем какие-то дополнительные свойства из таблиц и ищем подходящую функцию в справочниках, в базах?

Математики так не работают. Из ряда примеров можно извлечь намёки на какую-то закономерность, но, во-первых, это в математической практике сравнительно редкий случай, а во-вторых, всё равно требуется доказательство, не апеллирующее к примерам.

В прикладных дисциплинах такой метод может использоваться, но без соответствующей теории можно рассчитывать только на эмпирические зависимости, которых обычно можно подобрать воз и маленькую тележку.

A_Nikolaev в сообщении #1075901 писал(а):

Я представляю это так: сайт, где отмечаешь или вводишь известные свойства функции, вводишь границы измерений, а он выдаёт тебе странички с графиками функций с похожими свойствами.

Ещё в восьмидесятые годы мне встречались публикации об алгоритме МГУА, который, получив таблицу данных, перебирал сотни эмпирических формул и выдавал ту, которая лучше всего соответствовала этим данным.

A_Nikolaev в сообщении #1075901 писал(а):

Ещё раз вопрос: что делает в подобных случаях современный учёный?

Почитайте какой-нибудь учебник по прикладной статистике. Эконометрику какую-нибудь, например. Прежде всего, обратите внимание на метод наименьших квадратов.

Но, ещё раз повторяю, математики так не работают.

[arseniiv]

A_Nikolaev в сообщении #1075901 писал(а):

Известны некоторые свойства функции, которую мы ищем:
$f(a, b) = f(b, a)$,
$f(a, 0) = a$,
$f(\alpha \cdot a, \alpha \cdot b) = \alpha \cdot f(a, b)$.
Что делаем дальше?

Можно подкопить ещё соотношений и решить систему честно. Пока класс функций слишком широкий получится, даже если включить непрерывность $f$: можно задать $f(\mathbf r)$ на точках $\mathbf r$ восьмой части понятно какой окружности, исключая точку $(0,1)$ или $(1,0)$ (смотря как провели четверть), в которой значение — 1.

[Munin]

Кроме как угадывать, другого способа нет, и принципиально быть не может.

[venco]

Не понимаю, чем не понравилось это доказательство:

По моему, оно вполне по силам древним учёным.

[grizzly]

venco в сообщении #1076028 писал(а):

Не понимаю, чем не понравилось это доказательство:

Замечательное доказательство. Просто эта тема немного о другом: о формулировке гипотезы -- как найти / угадать нужную гипотезу.

Munin в сообщении #1076026 писал(а):

Кроме как угадывать, другого способа нет, и принципиально быть не может.

Я бы согласился с этим в 99 случаях из 100. Один раз из 100 (а может из 1000) я бы оставил для тех случаев, которые скорее нарочно обнаруживаются под освещением нужного фонаря, а не угадываются в тёмном лесу:

Матиясевич про свою находку писал(а):

Удивительно, для того, чтобы сконструировать Диофантово представление я нуждался в доказательстве уже нового чисто теоретико-числового результата, касающегося чисел Фибоначчи, а именно, что $k$-е число Фибоначчи делится квадратом $l$-го числа Фибоначчи, тогда и только тогда, когда $k$ делится $l$-м числом Фибоначчи. Это свойство нетрудно доказать; однако поразительно то, что этот замечательный факт не был открыт даже экспериментально со времени Фибоначчи".

Всё-таки вот это "я нуждался" это уже не совсем угадайка.

[Munin]

grizzly в сообщении #1076047 писал(а):

Всё-таки вот это "я нуждался" это уже не совсем угадайка.

Я бы не сказал. Всё-таки, Матиясевичу пришлось догадаться до того, что именно этот результат нужен. (И вообще, в общем случае, что он справедлив, его можно исследовать с перспективой на него опереться. Хотя в данном случае это и не составило труда.)

[grizzly]

Munin в сообщении #1076057 писал(а):

Я бы не сказал.

Вряд ли это принципиально, но я предпочёл бы выделить обе составляющие:
(а) фактор случайности (чистая угадайка);
(б) способность смотреть (строить рассуждения) на несколько ходов вперёд, перебирая и комбинируя как ходы шахматных фигур уже известные факты.

Второе важнее, иначе альты рулили бы вовсю. Но с учётом того, что в современной науке новое открывается только вперёдсмотрящими (за редчайшими исключениями), то п. (б) считается как бы само собой разумеющимся по умолчанию. Я же хотел отдать этому пункту должное на (даже) удивительном примере, где случайность за почти 1000 лет ничем не помогла толпам рыскающих.

[venco]

grizzly в сообщении #1076047 писал(а):

venco в сообщении #1076028 писал(а):

Не понимаю, чем не понравилось это доказательство:

Замечательное доказательство. Просто эта тема немного о другом: о формулировке гипотезы -- как найти / угадать нужную гипотезу.

А зачем её угадывать, когда формула просто выводится?
Задались вопросом - как узнать длину гипотенузы, подумали, вывели: $c^2=a^2+b^2$, всё.

[grizzly]

venco в сообщении #1076068 писал(а):

Задались вопросом - как узнать длину гипотенузы

Здесь есть несколько моментов:
-- с какой стати кто-то вообще задался бы таким вопросом?
-- по силам ли любому школьнику в 13 лет (до изучения темы) догадаться поставить перед собой такой вопрос, подумать и вывести?
-- это всё обсуждалось на нескольких предыдущих страницах этой темы. Я понимаю, что Вам недосуг всё это перечитывать, но а как нам всё это теперь заново обсуждать?

[Munin]

grizzly в сообщении #1076067 писал(а):

Вряд ли это принципиально, но я предпочёл бы выделить обе составляющие:
(а) фактор случайности (чистая угадайка);
(б) способность смотреть (строить рассуждения) на несколько ходов вперёд, перебирая и комбинируя как ходы шахматных фигур уже известные факты.

Причём "б" доступно только тем исследователям, которые набрали уже большой опыт (и шишки!) на пути "а" :-)

[venco]

grizzly в сообщении #1076072 писал(а):

venco в сообщении #1076068 писал(а):

Задались вопросом - как узнать длину гипотенузы

Здесь есть несколько моментов:
-- с какой стати кто-то вообще задался бы таким вопросом?

Строителям, землемерам это необходимо по работе.

grizzly в сообщении #1076072 писал(а):

-- по силам ли любому школьнику в 13 лет (до изучения темы) догадаться поставить перед собой такой вопрос, подумать и вывести?

Вы неправомерно ставите равенство между древними людьми и школьниками 13 лет. Да, по уровню знаний они где-то, может быть, и равны, но вот по способности делать логические умозаключения взрослый человек всё же превосходит школьника. Особенно если брать не среднего человека, а всё же, в некотором роде, учёного.

grizzly в сообщении #1076072 писал(а):

-- это всё обсуждалось на нескольких предыдущих страницах этой темы. Я понимаю, что Вам недосуг всё это перечитывать, но а как нам всё это теперь заново обсуждать?

Дык, из пустого в порожнее переливаем. Одни говорят - это просто, другие - да не может быть. Причём это действительно просто, на мой взгляд, а попытки экстраполировать способности древних людей мне кажутся необоснованными.
Да, тогда не были наработаны методы для науки современного уровня, но ведь теорема Пифагора требует только арифметики, а её то уж они знали.

[Munin]

Знали ли тогда, что площадь квадрата выражается арифметическим выражением $a\cdot a$ для нецелых длин сторон?