"Почти целые" числа

[venco]

alexizos в сообщении #290983 писал(а):

e-основание натуральных логарифмов. $\pi$-отношение окружности к диаметру. f-золотое сечение (положительный корень). $\frac{e^2\sqrt{e^2-e}}{f\pi^2}=0,99999...$ Да не точно, но зато как красиво. Что думаете?

По моему, ничего удивительного в этом выражении. Количество информации в выражении вполне соответствует точности.
Гораздо интереснее, на мой взгляд:

$$e^{\pi\sqrt{163}} \approx 262537412640768744 - 7.5\cdot 10^{-13}$$

Говорят, тому, что среди чисел вида $e^{\pi\sqrt n}$ много почти целых, есть объяснение, но я его не знаю.

-- Вс фев 21, 2010 21:29:39 --

Надо же, оказывается с этого числа тема и началась.

[alexizos]

Вот еще похожее: $\frac{\pi^2}{\sqrt{e^2-e}}+{\sqrt{e^2-e}\neq\pi^2-\pi$ Можно все это "объединить","обосновать", прибавить еще что нибудь,, и слить мистикам. И у них появится своя матиматека.

[age]

Думаю, очень сильно зависит от системы исчисления. В двоичной системе и $\pi$ и $e$ будут выглядеть совсем по-другому, соответственно и "почти целые" числа.

Гораздо более интересны не "почти целые", а строго целые числа.
$\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+...}}}}=3$
$\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}=3$

-- Вт фев 23, 2010 14:09:53 --

По идее последнее доказывается методом бесконечного спуска:
При возведении в куб:

$$\left(\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}\right)^3=18+3\sqrt[3]{(9+\sqrt{80})(9-\sqrt{80})}\cdot\left(\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}\right)=$$

$=18+3(\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}})$

Откуда замечаем, что последнее выражение в скобках идентично начальному, т.е. если обозначить $A=\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}$, то имеем $A^3=18+3A$

Последнее уравнение имеет лишь один вещественный корень $A=3$.(но это не совсем метод бесконечного спуска, хотя идея спуска также видна, если продолжить дальше возводить в 3-степень).

Еще этим же свойством кроме чисел $9$ и $80$ обладают числа $26$ и $675$:
$\sqrt[3]{26+\sqrt{675}}+\sqrt[3]{26-\sqrt{675}}=4$

-- Вт фев 23, 2010 14:19:31 --

Наверняка возможны подобные "целые" выражения и для $5,7,11,...$ степеней.

[maxal]

age в сообщении #291462 писал(а):

Думаю, очень сильно зависит от системы исчисления. В двоичной системе и $\pi$ и $e$ будут выглядеть совсем по-другому, соответственно и "почти целые" числа.

"Почти целостность" от системы счисления не зависит. Число называется почти целым, если расстояние от него до ближайшего целого достаточно мало.

age в сообщении #291462 писал(а):

Гораздо более интересны не "почти целые", а строго целые числа.
$\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+...}}}}=3$
$\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}=3$

Не захватывайте чужие темы посторонними вопросами!
Подобные тождества в общем виде обсуждались в другой теме:
post58316.html#p58316

[Droog_Andrey]

Droog_Andrey в сообщении #185402 писал(а):

Например, число 246.7 даёт почти целое при умножении на $\ln{N}$ для первых десяти $N$.

Аналогичными свойствами обладает число $3549$. Приближение хуже, но зато оно само целое, а $N$ пробегает более широкий диапазон (до $28$).

[alexizos]

Фантазия. Цепные дроби, ряды,... и т.д. и т.п., в каких то моментах некая закономерность, понятно что не соответствуют математической строгости,, и вдруг соответствуют физической логике. Вот веселье: неточная математика в неточной физике.

[ananova]

Пользуясь случаем, что тема "плавающая" - переходит от одних идей к другим, хотел бы Вам задать вопрос, который, именно сегодня, заставил меня напрячь (пока безрезультатно) извилины.

Есть три множества взаимнопростых множителей (в целых числах):
Q, S, D.

Возможна ли конструкция целого числа (из наборов множителей), обладающая следующим свойством:

$Q^p=QS+D $

?

Элементарный вывод, что D - содержит среди других множителей двойку.

Например, вот такой гипотетический пример:
$(Q=5*17*19*)^p=(Q=5*7*19*)*(S=11*37*...)+D$(2*набор множителей, которых нет среди Q и S).

Может так невозможно создать целое число? К "почти целым" такая конструкция, на мой взляд, совсем не относится.

Вроде бы элементарный вопрос, а создать пример не удается.
Без Вашей помощи я буду ещё месяц "колбаситься"

Может кто-то из Вас уже рассматривал такие конструкции?

[ananova]

В предыдущем посте я задал среди важного - пустой вопрос:

Может так невозможно создать целое число?

На самом деле вопрос должен звучать так:

Может такая конструкция не позволяет создать равенство?

Если вопрос касается целых, то можно перевернуть его и так:
будет ли единицей такая конструкция взаимнопростых множителей:

$(QS+D)/Q^p$ ?

[venco]

ananova в сообщении #293105 писал(а):

Если вопрос касается целых, то можно перевернуть его и так:
будет ли единицей такая конструкция взаимнопростых множителей:

$(QS+D)/Q^p$ ?

Нет. Т.к. $D$ не делится на $Q$, то $(QS+D)/Q = S + D/Q$ - не целое, не говоря уж о $(QS+D)/Q^p$.

[ananova]

Спасибо!!!

[alexizos]

Кстати вторая формула, (моя которая), так же своеобразным способом связанна с золотым сечением, точнее даже с так называемыми P-зол.сеч. Их можно представить например так: ${${P_m}^n}/{{$P_m}^2}+{$P_m}^2={$P_m}^n-{$P_m}$ Во как!

[Droog_Andrey]

Droog_Andrey в сообщении #185245 писал(а):

Также весьма интересным представляется выражениe \sqrt[12]{2}\sqrt[7]{5}, которое весьма близко к 4/3. Доказательство без использования калькулятора того факта, что в действительности это выражение чуть меньше, обычно заинтересовывает школьников. Вероятно, впервые близость этого выражения к 4/3 была обнаружена в теории музыки: http://en.wikipedia.org/wiki/Schisma

Пытался отправить на mathworld, однако ничего не вышло.

Впрочем, вот ещё одно соотношение, опять же засветившееся в музыке:

$\sqrt[8]{5}\sqrt[3]{35} \approx 4$

[Droog_Andrey]

И ещё одно, из задачника:

$\sqrt[9]{0.6}\sqrt[28]{4.9} = 0.99999999754... \approx 1 $

[AliceLovelace]

Значения золотого ряда $\Phi^n$ (Ф - золотое число 1.6...) стремятся к целочисленным.

В египетских пирамидах используется $\frac{5}{6}\pi\approx\Phi^2$

[Droog_Andrey]

$19\sqrt{\sqrt{9,1}}\approx33$