В чем ошибка Гильберта и принцип причинности.

[epros]

manul91 в сообщении #1074024 писал(а):

Подчеркнутое означает, что в точке схождения - профицит угла - и по определению, в данной точке кривизна будет отрицательна

Ах вот Вы о чём. Да, в некотором смысле можно сказать, что кривизна в этой одной точке "бесконечно отрицательна". Но правильнее просто говорить, что там особенность. Потому что там, строго говоря, даже касательное пространство однозначно не определено.

manul91 в сообщении #1074024 писал(а):

...еще не значит, что оно глобально-топологически совместимо.

Например назовем "антисферой" некую гипотетическую "сфероподобную" компактную поверхность - с положительной константной кривизной $K=\text{const}>0$ везде, за исключением двух точек полюсов в которых у ней - отрицательная кривизна $K_{P} = K_{P'} < 0$ - т.е. угол полного поворота вокруг полюсов больше $2\pi$;

Видите ли, кривизна в точке определяется расстояниями по линиям, проведённым в окрестности точки. Поэтому нельзя определить окрестность так, чтобы кривизна получилась одна, а потом сказать: Нет, кривизна здесь будет другая. Разумеется это будет "несогласованость".

Это не мой случай. Я привёл "антикаплю" всего лишь как пример поверхности, не вкладываемой в трёхмерие. Ибо Вы меня обвиняли в том, что я зациклился на вложениях.

[manul91]

epros в сообщении #1074204 писал(а):

Ах вот Вы о чём.

Именно и кто теперь здесь "читает невнимательно"? Я давно об этом говорю ; )

epros в сообщении #1074204 писал(а):

Да, в некотором смысле можно сказать, что кривизна в этой одной точке "бесконечно отрицательна". Но правильнее просто говорить, что там особенность. Потому что там, строго говоря, даже касательное пространство однозначно не определено.

Отнюдь не обязательно "бесконечно отрицательна". Например кривизна в вершине обычного конуса по этом определении (или альтернативном, с площади) - положительна, вполне определена и конечна.
Если точка особая и касательное пространство в ней не определено - это нам не претит воспользоваться определению кривизны в этой точке как предела например $K = \lim_{r \to 0+} 3\frac{2\pi r - C(r)}{\pi r^3}$ - который может оставаться вполне определенным вкл. в самой точке. В этом и смысл утверждения, что в таких точек (вершине конуса) поверхность "положительно выпукла".

epros в сообщении #1074204 писал(а):

Видите ли, кривизна в точке определяется расстояниями по линиям, проведённым в окрестности точки. Поэтому нельзя определить окрестность так, чтобы кривизна получилась одна, а потом сказать: Нет, кривизна здесь будет другая. Разумеется это будет "несогласованость".

Вы опять читаете невнимательно.... Попробую иначе.

Локальная окрестность какой-нибудь поверхности у которой кривизна везде нулевая - но в одной изолированной точке окрестности имеет положительную кривизну (дефицит "угла обихода") - ничему не противоречит и сама по себе самосогласованна (та же окрестность вершины обычного плоского конуса).


Локальная окрестность какой-нибудь поверхности у которой кривизна везде положительна и константна $K=\text{const}=K_0>0$, но в одной изолированной точке окрестности имеет бОльшую положительную кривизну в n раз где n - целое число $K_1=K_0/n>K_0$ - ничему не противоречит и сама по себе самосогласованна.
Цельная замкнутая топологическая поверхность с постоянной положительной кривизной и наличием "полюсов" с таком "кратном скачке положительной кривизны" - ТАКЖЕ ничему не противоречит и самосогласованна (та же окрестность полюса фактор-сферы числа n - в ней кривизна в полюсе равна $\frac{1}{nR^2}$ и "дефицит угла обихода" соответно равен $2\pi(1-\frac{1}{n})$; хотя иначе кроме полюсов - кривизна везде одинакова и равна $\frac{1}{R^2}$ и "профицита-дефицита" угла нет).


Локальная окрестность какой-нибудь поверхности у которой кривизна везде положительна и константна $K=\text{const}=K_0>0$, но в одной изолированной точке окрестности имеет бОльшую положительную кривизну в n раз где n - НЕ-целое число (например $\frac{2}{3}K$) - ничему не противоречит и сама по себе самосогласованна.
Однако, цельная замкнутая топологическая поверхность с постоянной положительной кривизны и наличия "полюсов" с таком нецелом "скачке положительной кривизны" - УЖЕ топологически НЕ согласованна - в частности, НЕ существует фактор-сфера числа n, где n нецелое число.


Локальная окрестность какой-нибудь поверхности у которой кривизна везде положительна и константна $K=\text{const}=K_0>0$, но в одной изолированной точке окрестности имеет отрицательную кривизну - сама по себе самосогласованна.
Однако, цельная замкнутая топологическая поверхность с постоянной положительной кривизны и наличия "полюсов" с таком отрицательном "скачке кривизны" - УЖЕ топологически НЕ согласованна - в частности, НЕ существует фактор-сфера с профицитом в полюсов (вне зависимости от целости или нет числа n).


Поэтому даже если метрически-топологически у вас "все хорошо в окрестности" в точке схода в которой у вас профицит угла (отрицательная кривизна) а иначе везде вокруг в этой окрестности положительная кривизна - это еще не значит, что "цельная антикапля" такого вида согласованна (безотносительно к возможности вложения в 3d или нет).

epros в сообщении #1074204 писал(а):

Это не мой случай. Я привёл "антикаплю" всего лишь как пример поверхности, не вкладываемой в трёхмерие. Ибо Вы меня обвиняли в том, что я зациклился на вложениях.

Я лишь заметил что вещи вовсе не так тривиальны - ваш "пример поверхности" где точка схода имеет "избыток угла" (отрицательная кривизна) - может быть несогласованным в целом, и вообще не существовать (не как вложение в 3d - а вообще в принципе, чисто топологически-метрически).
И этого нельзя выявить одним только метрическим анализом в одной только окрестности "точки схода" - там может быь все в порядке - но нужны глобальные топологически-метрические соображения чтобы убедиться в самосогласованности (или НЕсамосогласованности) такой поверхности в целом (безотносительно к возможности вложения в 3d или нет).

[epros]

manul91 в сообщении #1074359 писал(а):

Именно и кто теперь здесь "читает невнимательно"? Я давно об этом говорю ; )

Вы неправильно говорите. И я Вам на это указал. Конус можно представить как предельный случай последовательности конусов со скруглёнными вершинами. В смысле такой последовательности можно говорить, что вершина конуса -- точка "бесконечной кривизны". Но в общем случае такое словоупотребление некорректно. Правильно говорить об особенности в этой точке.

manul91 в сообщении #1074359 писал(а):

Отнюдь не обязательно "бесконечно отрицательна". Например кривизна в вершине обычного конуса по этом определении (или альтернативном, с площади) - положительна, вполне определена и конечна.

Бесконечна.

manul91 в сообщении #1074359 писал(а):

Локальная окрестность какой-нибудь поверхности у которой кривизна везде положительна и константна $K=\text{const}=K_0>0$, но в одной изолированной точке окрестности имеет бОльшую положительную кривизну в n раз где n - целое число $K_1=K_0/n>K_0$ - ничему не противоречит и сама по себе самосогласованна.

Противоречит. Дефицит угла несовместим с конечной кривизной. Извините, дальше не читаю. Разберитесь с конусами.

manul91 в сообщении #1074359 писал(а):

Я лишь заметил что вещи вовсе не так тривиальны - ваш "пример поверхности" где точка схода имеет "избыток угла" (отрицательная кривизна) - может быть несогласованным в целом, и вообще не существовать (не как вложение в 3d - а вообще в принципе, чисто топологически-метрически).
И этого нельзя выявить одним только метрическим анализом в одной только окрестности "точки схода" - там может быь все в порядке - но нужны глобальные топологически-метрические соображения чтобы убедиться в самосогласованности (или НЕсамосогласованности) такой поверхности в целом (безотносительно к возможности вложения в 3d или нет).

Не может быть "несогласованным" и геометрия определяется только внутренними расстояниями, независимо от вложений.

[manul91]

epros в сообщении #1074509 писал(а):

Вы неправильно говорите. ....Бесконечна....
....Противоречит. Дефицит угла несовместим с конечной кривизной....

Нет. При подходящей дефиниции (не через касательное пространство, которое в вершине не однозначно) - дефект угла в вершине и есть кривизна в точки вершины.
Так кривизна и дефинируется например, в точек вершин многогранников:
In modern terms, the defect at a vertex or over a triangle (with a minus) is precisely the curvature at that point or the total (integrated) over the triangle, as established by the Gauss–Bonnet theorem.

Кривизна поверхности куба в точке его вершины - положительна, вполне конечна и равна $\frac{\pi}{2}$.

Аналогично для любой фигуры на поверхности конуса, содержащей вершину - вся кривизна "сосредоточена в вершине" - вполне конечна и собственно, равна дефекта угла в вершине:
https://en.wikipedia.org/wiki/Gauss%E2% ... he_theorem
If the boundary $\partial M$ is piecewise smooth, then we interpret the integral $\int_{\partial M}k_g ds$ as the sum of the corresponding integrals along the smooth portions of the boundary, plus the sum of the angles by which the smooth portions turn at the corners of the boundary.

Также очевидно из развертки в плоскости - что окрестности вершин куба, и соответного конуса (с дефицитом равным $\frac{\pi}{2}$ в вершине) - не только топологически, но и изометрически эквивалентны (неотличимы "изнутри", без привязки к конкретному вложению).

"Разберитесь с конусами."

epros в сообщении #1074509 писал(а):

Не может быть "несогласованным" и геометрия определяется только внутренними расстояниями, независимо от вложений.

Что "геометрия определяется внутренними расстояниями, независимо от вложений" - верно.
Под "несогласованности" - имелось ввиду что анализ в одних только окрестностей недостаточен, чтобы утверждать что такое замкнутое многообразие как целое существует (независимо от вложений).
Например сумма полной интегральной кривизны плюс дефицита углов в вершин для любой замкнутой поверхности топологии сферы - должна быть равна $4\pi$; то же должно быть валидным для симметричной "поверхности" aka "антикапли" (ибо ее замкнутость доказана).

Впрочем да, видно что продолжать этот разговор с вами на данном уровне - трата времени.

[epros]

manul91 в сообщении #1074634 писал(а):

Нет. При подходящей дефиниции (не через касательное пространство, которое в вершине не однозначно) - дефект угла в вершине и есть кривизна в точки вершины.

Не знаю какая Ваша "дефиниция", но это явно не та скалярная кривизна, о которой здесь всё время была речь. Последняя является дифференциальной характеристикой. Простым способом её можно определить как отношение интегральной кривизны для фигуры к площади этой фигуры в пределе малой площади. Интегральная же кривизна определяется углом поворота вектора при переносе его по границе фигуры. Нетрудно убедиться, что для сферы радиуса $R$ эта кривизна везде равна $\frac{1}{R^2}$.

Для конуса же с "дефектом угла" $\alpha$ интегральная кривизна для любой фигуры, включающей вершину, равна как раз $\alpha$. Поэтому дифференциальная кривизна (та самая, о которой здесь везде была речь) иначе как дельта-функцией не определяется. Ни о каких конечных величинах (в точке) в данном контексте речи быть не может.

manul91 в сообщении #1074634 писал(а):

Например сумма полной интегральной кривизны плюс дефицита углов в вершин для любой замкнутой поверхности топологии сферы - должна быть равна $4\pi$; то же должно быть валидным для симметричной "поверхности" aka "антикапли" (ибо ее замкнутость доказана).

Я не понимаю что Вы здесь именуете "интегральной кривизной". Но угол полного оборота, очевидно, определяется отношением длины окружности к радиусу (в пределе малого радиуса). Так вот, "дефицит" этого угла в точке, очевидно, возникает тогда и только тогда, когда скалярная кривизна (см. определение выше) выражается дельта-функцией в этой точке.

Если определены (и положительны) длины любых (кусочно-гладких) линий многообразия, то этим определяется геометрия метрического пространства. И такое определение никак не может оказаться "несогласованным" в Вашем смысле. Разумеется, сделать так, чтобы везде кривизна была 1, а в какой-то одной точке 2 (как Вы хотели),тоже не получится, это ерунда какая-то.

[manul91]

epros в сообщении #1074700 писал(а):

Не знаю какая Ваша "дефиниция", но это явно не та скалярная кривизна, о которой здесь всё время была речь. Последняя является дифференциальной характеристикой.

Разумеется что для вершин я говорил про интегральной кривизной в вершине, а не про скалярной

epros в сообщении #1074700 писал(а):

Последняя является дифференциальной характеристикой. Простым способом её можно определить как отношение интегральной кривизны для фигуры к площади этой фигуры в пределе малой площади. Интегральная же кривизна определяется углом поворота вектора при переносе его по границе фигуры. Нетрудно убедиться, что для сферы радиуса $R$ эта кривизна везде равна $\frac{1}{R^2}$.
Для конуса же с "дефектом угла" $\alpha$ интегральная кривизна для любой фигуры, включающей вершину, равна как раз $\alpha$

Все верно. В частности, вся замкнутая поверхность всей "капли/антикапли" - также являестя фигурой включающей вершину (с границу нулевой длины)

epros в сообщении #1074700 писал(а):

Я не понимаю что Вы здесь именуете "интегральной кривизной".

Вы только что написали то же самое выше, так что вроде должны понимать

epros в сообщении #1074700 писал(а):

И такое определение никак не может оказаться "несогласованным" в Вашем смысле. Разумеется, сделать так, чтобы везде кривизна была 1, а в какой-то одной точке 2 (как Вы хотели),тоже не получится, это ерунда какая-то.

Я ничего такого не "хотел".
Вместо разговора слепого с глухим - вы не запишете конкретный пример для вашей замкнутой "антикаплевидной" поверхности - где гауссова кривизна везде положительна и есть полная круговая (но возможно, не и радиальная) симметрия - и притом дефект угла в точке схода - отрицателен?
Объяснения с вашей стороне не нужны - достаточно сообщить примерную метрику (хорошо бы в центрально-симметричных координат соответствующих симметрии поверхности) и сказать какие отождествления координат делаются.

[epros]

manul91 в сообщении #1074727 писал(а):

Разумеется что для вершин я говорил про интегральной кривизной в вершине, а не про скалярной

Дело в том, что интегральная кривизна определена для фигуры, а не для точки. Поэтому нельзя говорить о её значении в вершине, точно так же, как нельзя говорить о значении дельта-функции в нуле. Можно говорить об интеграле от дельта-функции, причём не в нуле а вообще.

manul91 в сообщении #1074727 писал(а):

вы не запишете конкретный пример для вашей замкнутой "антикаплевидной" поверхности

Ну вот пример: Кривизна меняется по формуле
$s=\frac{R+r}{R^3}$,
где $R$ -- константа размерности расстояния, а $r$ -- расстояние по геодезической от начальной точки. Записать и решить диф. уравнение чтобы рассчитать на каком расстоянии и под какими углами сойдутся геодезические оставляю возможность Вам.

[manul91]

epros в сообщении #1074774 писал(а):

Ну вот пример: Кривизна меняется по формуле
$s=\frac{R+r}{R^3}$,
где $R$ -- константа размерности расстояния, а $r$ -- расстояние по геодезической от начальной точки.

Спасибо.

При данной симметрии, метрику можно записать в виде: $dl^2 = dr^2 + f(r)^2{d\varphi}^2$ где r - геодезическое расстояние от центра, $\varphi$ - периодическая координата с периодом $2\pi$ а $f(r)$ - неизвестная функция от $r$.
$f(r)$ определяет периметр геодезической окружности на геодезическом радиусе $r$: $P(r)=\oint_{\varphi=0}^{\varphi=2\pi}f(r)d\varphi$.
"Дефект угла" в центров симметрии - исходной точке или точке схода - определяется отклоненем модуля предела $\frac{df}{dr} = f'(r)$ от единицы в этих точек.

Связь $f(x)$ с гауссовой кривизной $K(r)$, дается дифференциальным уравнением
(1) $\frac{f''(r)}{f(r)} = - K(r)$
(из этого уравнения в частности, с учетом знаков производных и $r$ - следует и повторный переход $f(r)$ через нуля - тоесть при положительном $K$ пересечение где-нибудь любых радиальных геодезических, начинающихся в $r=0$).

По смыслу задачи и условия (1), между двух нулей функции $f(r)$ (соответно в $r=0$ и $r=L$): $r$ и $f(r)$ положительны, $f''(r)$ везде там отрицательна ($f(r)$ "вогнута" колпачком вверх); $f'(r)$ в первом нуле при $r=0$ положительно, в последующем при $r=L$ отрицательна (а значит, и обнуляется где-то в интервале м/у исходной точке и точке схода).
Чтобы определить "дефект угла" в точке схода $r=L$ нужно анализировать производную $f'$ в точке следующего нуля функции, т.е. $f'(L)$; я пробовал разных подходов, но по-любому все сводится до нахождением первого повторного нуля функции $f(r)$ являющейся решением (1).
Уравнение (1) второго порядка, а значит необходимы и две начальные условия (константы интегрирования). Одно из них ясно $f(0)=0$ для начальной точки центра симметрии.
Второе априори не ясно, так как вы не делали никаких отождествлений (по сути не ясно для начальной точки - является ли она тоже "вершинной" т.е. с "дефектом угла", или регулярной). Так что я просто допустил что она регулярна в начале (в согласием с терминологии "капли"), и тогда вторая константа дается условием $f'(0)=1$.

Уравнение (1) при $K=\frac{R+r}{R^3}$ я не смог решить в аналитичном виде, поэтому решал численно (анализ поведения $f'(L)$ в окрестности $r=L_-$ существенно зависит от самого $L$; как ни верти нужно знать второй нуль $f(r)$ чтобы узнать поведение $f'(L)$ там).

Поэтому интегрировал численно, при R=1 получил результаты:
Точка второго нуля f находится на $r=L=2.161646...$; производная функции $f$ в данной точке $f'(L) = -1.2926...$.
Поскольку по модулю производная больше единицы - в точке схода есть "избыток угла" - как и вы говорили (в отношением ~1.3 к 1).

Насчет "согласованности" (в смысле в котором я говорил). Для "антисферы" у которой одинаковый дефект (профицит) угла в обоих полюсов - несогласованность следует из того что любая ее точка также является точку "центра/схода" всех геодезических (за исключением геод. к полюсов) что после тривиальных рассуждений про идентификации точек опровергает допущенный профицит в полюсов.
В поверхности данного типа, это уже не так (из-за радиальной ассиметрии); так что скорее всего тут все в порядке (хотя по-хорошему нужно проверить хотя бы точки на "экваторе" где $f'(r) = 0$).

[epros]

manul91 в сообщении #1075182 писал(а):

Второе априори не ясно, так как вы не делали никаких отождествлений (по сути не ясно для начальной точки - является ли она тоже "вершинной" т.е. с "дефектом угла", или регулярной). Так что я просто допустил что она регулярна в начале (в согласием с терминологии "капли"), и тогда вторая константа дается условием $f'(0)=1$.

Правильно допустили. Потому что из условий однозначно следует, что в точке $r=0$ кривизна равна $\frac{1}{R^2}$ (а не плюс или минус бесконечность).

manul91 в сообщении #1075182 писал(а):

Насчет "согласованности" (в смысле в котором я говорил). Для "антисферы" у которой одинаковый дефект (профицит) угла в обоих полюсов - несогласованность следует из того что любая ее точка также является точку зрения "центра/схода" всех геодезических (за исключением геод. к полюсов) что после тривиальных рассуждений про идентификации точек опровергает допущенный профицит в полюсов.

Здесь я ничего не понял.