оператор импульса в координатном пространстве

[Munin]

Такого вообще не пишут. Пишут $|x\rangle.$ Это базисный вектор бесконечномерного пространства.

[Arkhipov]

Munin
Мне кажется, Вы немного лукавите. Бесконечность бесконечности рознь и в данном случае это плохая бесконечность.

[arseniiv]

Насколько плохая?

[Arkhipov]

Все зависит от того, что мы понимаем под функцией. Если функция принимает произвольные или случайные значения в каждой точке своего аргумента, то мы должны признать, что размерность пространства для таких функций - континуум. Если же мы сузим диапазон возможностей, например до интегрируемых по Лебегу измеримых функций, то размерность окажется счетной. Так я себе это представляю.

[physicsworks]

Arkhipov, ну, если Вы хотите тонкости обсуждать, то в квантовой механике постулируется, что в пространстве состояний существует полный, счетный (сепарабельный) базис и это можно физически "обосновать" счетным количеством измерительных приборов. Формально можно рассматривать физ. системы, которые характеризуются непрерывными наблюдаемыми, принимающими непрерывные значения на заданном промежутке. Например, для движения вдоль прямой можно выбрать координату $x$ вдоль этой прямой в качестве наблюдаемой. В этом случае стартуют со счетной последовательности значений наблюдаемой на заданном, скажем, отрезке $[x_{min};x_{max}]$, разбивают отрезок на $N$ частей и в переделе $N\to\infty$ приходят (от суммы) к интегралу $|\psi\rangle = \int_{x_{min}}^{x_{max}} dx\,\psi(x) |x\rangle$, где $|x\rangle$ --- базисный вектор теперь уже в непрерывном спектре (континуум).

НО, при таком переходе от счетного базиса к непрерывному получаются состояния, не нормируемые в стандартном смысле: $\langle x' | x\rangle = \delta (x'-x)$, возникают дельта-"функции" Дирака. Физически это можно "объяснить" тем, что состояние со строгим значением координаты $x$ --- идеализировано, т.е. невозможно привести частицу в состояние со строгим значением $x$. Однако физики пользуется такой идеализацией. Оправдывается это тем, что при переходе от счетного базису к непрерывному никаких особых сюрпризов помимо указанных выше не возникает, т.е. существует тождественность свойств возникающих понятий.

[Munin]

Arkhipov
На "физическом" уровне строгости говорят, что где-то в недрах функционального анализа обосновывается, что пространство счётномерно, и на этом успокаиваются.

А на "математическом" уровне строгости, возникают всякие ужастики - такие, что заглянув в них, больше углубляться и не хочется.

[Arkhipov]

Большое спасибо.
Буду очень признателен, если кто-нибудь посоветует учебник с таким же ясным изложением математической стороны вопроса.
orca89
Не буду больше отклоняться от топика и надеюсь, что не успел привести Вас в отчаяние, подобное тому, что было у меня в молодости при изучении этой странной науки. Не будучи специалистом вовсе, все же рискну дать малограмотный совет. Попробуйте почитать КМ в изложении Фейнмана на конечномерных пространствах, это единственная книга, которую мне удалось прочитать и книга хорошая.

[physicsworks]

Arkhipov, попробуйте Quantum Theory: Concepts and Methods, Chapter 4, Continuous variables и список литературы к этой главе. Вообще эту книжку желательно полностью прочитать параллельно с Сакураи.

[Red_Herring]

orca89 в сообщении #1074001 писал(а):

рассматривается унитарный, но неэрмитов оператор перемещения $\mathfrak{J}(\Delta x)=1-i p \Delta x/\hbar$ .

Этот оператор не просто не укутанный, но даже неограниченный! Унитарным оператором является $e^{-itp}$ для любого $t$, и на достаточно гладких функциях при малых $t$ он совпадает с $1-itp$ по модулю $О(t^2)$ (но именно с такими оговорками). Я понимаю, что без «лишней математической строгости», но если бы я написал «без излишнего политеса» что я об этом безобразии думаю, то минимум недельный бан мне был бы обеспечен. И, главное, зачем всё это проделывается? Чтобы доказать что оператор момента генерирует унитарную группу сдвигов? Или чтобы все мозги разбить на части и все извилины заплести?

[amon]

orca89 в сообщении #1074001 писал(а):

рассматривается унитарный, но неэрмитов оператор перемещения $\mathfrak{J}(\Delta x)=1-i p \Delta x/\hbar$ .

Я Солженицина Сакураи не читал, но написанного не одобряю. Если инфинитезимальный сдвиг так написать, то все остальные манипуляции с бубном бра- и кет-векторами абсолютно избыточны. Можно сразу писать, что $p=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}$, что, собственно, и проделано у Ландау. Альтернативный вывод через коммутационное соотношение (он мне лично больше нравится) я приводил в конце этого поста.

[Munin]

Arkhipov
Говорят, "для математиков" Фаддеев-Якубовский.

Но мне это всё кажется противоестественным. Квантовая механика - физическая теория. Она рассказывает удивительные вещи о нашем мире, а математиков при этом интересует, как пространство построить.

Мне тут недавно довелось у Жванецкого услышать про английский юмор:

(под кат)

Цитата:

Что такое английское чувство юмора?
Русский человек, который живёт в Англии, увидел на деревьях в Лондоне стаю попугаев.
Он рассказал в английской компании. Все согласились.
— Конечно! Хотя зима, −5, но это значения не имеет...
— Но я их видел! — все сказали:
— Конечно, видел, мы тебе верим!
— Красные, синие, жёлтые!
— А как же? Других не бывает.
— Они сидели на деревьях Гайд-парка!
— Конечно! — сказали все — Зима, −5, где же им ещё сидеть? Конечно.
— Честное слово, это были попугаи!
— Попугаи, кто же ещё? Кто ещё в Лондоне зимой на деревьях сидит?
— Я клянусь! — кричал он.
— Обязательно!
В общем, он не выдержал, ушёл, а назавтра в газетах сообщение: ”Кто-то открыл клетку в зоопарке, и сбежала стая попугаев.” Он принёс газету:
— Вот! Вот! Попугаи, на деревьях, в Лондоне, зимой, в −5, — вот они!
— Какой ты странный. Разве кто-то из нас тебе возражал?
— Но вы же мне не верили!
— Верили, конечно!
— Вы и щас мне...
— Конечно, это же были попугаи!
— Ну я же был прав!
— Конечно, жёлтые, красные, синие,..
— Да, жёлтые,..
— Зимой в Лондоне, конечно, −5, для них обычная температура, мы же это понимаем...
— Но я сам видел!
— Конечно, мы тебе верим!
Так русские в Лондоне сходят с ума.
Он ещё долго ходил:
— Вот газета, вот попугаи, ну сволочи, джентльмены, верят мне, гады, я вам не верю, паразиты, ну джентльмены, ну паскуды...

Вот диалог с математиками про квантовую механику - он примерно такой же. "Ну электрон же в разных местах пространства! — Конечно! Где же ему ещё быть! — Вот эксперимент! — Обязательно! — А две связанные частицы вообще требуют для описания не нашего пространства, а шестимерного! — Ну а где же им ещё сидеть? — Вот эксперимент! — Какой ты странный. Разве кто-то из нас тебе возражал?"

-- 18.11.2015 19:49:37 --

Как-то от математиков очень ждёшь, что они хоть чуть-чуть будут понимать физиков, что они хоть чуть-чуть "свои, родные".