оператор импульса в координатном пространстве

[orca89]

Здравствуйте. Не знала, куда точно отнести вопрос, но так как в общем-это учебник по квантовой механике, то поместила его сюда, а не в математику.

Вопрос следующий. Предлагается выяснить, как выглядит оператор импульса в координатном пространстве. Во многих книжках сделано по-разному, я изчаю учебник Сакураи и Неаполитано. Заранее прошу прощения за может быть не принятые обозначения.

Приведён следующий вывод: рассматривается унитарный, но неэрмитов оператор перемещения $\mathfrak{J}(\Delta x)=1-i p \Delta x/\hbar$ . Здесь величины $p$ и $\Delta x$- операторы. 1-единичный оператор.

При действии им на вектор состояния $\left\lvert\alpha\right\rangle$ получается следующее:
$(1-i p \Delta x/\hbar)\left\lvert\alpha\right\rangle= \int {dx' \mathfrak{J}(\Delta x)}\left\lvert x'\right\rangle\left\langle x'\right\rvert\left\alpha\right\rangle = \int {dx' \left\lvert x'+\Delta x'\right\rangle\left\langle x'\right\rvert\left\alpha\right\rangle}=\int {dx' \left\lvert x'\right\rangle\left\langle x'-\Delta x'\right\rvert\left\alpha\right\rangle} = \int {dx' \left\lvert x'\right\rangle(\left\langle x'\right\rvert\left\alpha\right\rangle-\Delta x'\frac{\partial{}}{\partial{x'}}\left\langle x'\right\rvert\left\alpha\right\rangle)}$

Далее сравниваются левая и правая части и получается значение импульсного оператора в координатном пространстве. Здесь мне совершенно непонятно последнее равенство в этой цепочке: каким образом смещённая волновая функция в предпоследнем интеграле раскладывается в выражение в последнем интеграле?

Если бы речь шла об обычных функциях, то можно было бы сказать, что это просто обычное выражение через производную в явном виде, где $\Delta x'$- это просто разность координат. Но здесь в последнем интеграле вроде как стоят операторы. Верна ли здесь такая же математика, как для обычных функций?

Спасибо за помощь.

[AnatolyBa]

orca89 в сообщении #1074001 писал(а):

Здесь величины $p$ и $\Delta x$- операторы.

Что, так и написано - оба операторы?

Посмотрите
сообщении #1060897

[orca89]

В сообщении Вами предложенном ровно та же самаяч цитата из Сакураи. И там тот же переход, который мне не ясен.

каким образом $\left\langle x'-\Delta x'\right\rvert$ превращается в ($\left\langle x' \left\lvert\alpha\right\rangle-\Delta x' \frac{\partial}{\partial x'}\left\langle x'\left\lvert\alpha\right\rangle$).

[AnatolyBa]

Ну да, но почему вы пишете, что и $p$ и $\Delta x$ операторы? Я думаю, что $p$ оператор а $\Delta x$ число

[orca89]

Насколько я разобралась в обозначениях сакураи- это именно скалярное произведение операторов. Иначе вы вычитаете из скалярного единичного оператора векторный оператор импульса.

-- 16.11.2015, 14:36 --

У него действительно можно очень сильно запутаться в обозначениях. Сакураи не парится со шляпками.

-- 16.11.2015, 14:41 --

Так же можно посмотреть определение оператора инфинитезимальной трансляцииЮ, которое говорит, что $\mathfrak{J}(\Delta x')\left\lvert x'\right\rangle=\left\lvert x'+\Delta x'\right\rangle$. Видимо он не является векторным оператором, отсюда следует, что изначально стоит скалярное произведение операторов.

Принимаю любую критику.

[AnatolyBa]

Все же в данном случае $\Delta x$ не оператор. Это может быть и вектор, но числовой вектор, который вполне может быть умножен скалярно на векторный оператор

[orca89]

Допустим. Спасибо за разъяснение. Как я уже говорила, Сакураи не обременяет себя шляпками над операторами. А Вы могли бы пояснить,как это отвечает на вопрос? Извините, если туплю.

[AnatolyBa]

Тогда $\left\langle x'-\Delta x'\right\rvert\left\alpha\right\rangle$ будет функцией (обычной) от числовой (неоператорной) переменной $\Delta x'$ и можно дифференцировать. И разлагать в ряд оставляя первый член

[Arkhipov]

Откровенно говоря, понятнее не стало. Если мы имеем в виду координатное представление, то
$\left\langle x | \alpha \right\rangle=\alpha(x)$
Бра-вектор не эквивалентен кет-вектору, он ставит соответствие между функцией (справа) и числом.

[physicsworks]

orca89 в сообщении #1074045 писал(а):

Как я уже говорила, Сакура не обременяет себя шляпками над операторами.

Как и практически все авторы на Западе. И правильно делают. На просторах бывшего Soviet Union прижились шляпки, но если из контекста понятно, что оператор, а что нет, то шляпки только загромождают выражение, да и набирать их каждый раз лень. Иногда, конечно, сто́ит оговориться. Например, при написании уравнения типа
$p|p\rangle = p |p\rangle$
сделать оговорку, что первый $p$ слева --- оператор, первый $p$ справа --- его собственное значение, а $|p\rangle$, разумеется, собственный вектор отвечающий этому собственному значению.

orca89 в сообщении #1074045 писал(а):

А Вы могли бы пояснить,как это отвечает на вопрос?

Как выше уже написали, нужно $\langle x' - \Delta x'|\alpha \rangle$ разложить в ряд Тейлора, ограничившись первыми двумя членами.

[Munin]

physicsworks в сообщении #1074187 писал(а):

Как и практически все авторы на Западе. И правильно делают. На просторах бывшего Soviet Union прижились шляпки

Afaik, разграничение иное:
- шляпки употребляются в $\Psi$-нотации (как в ЛЛ-3);
- шляпки не употребляются в бра-кет-нотации и в КТП.

physicsworks в сообщении #1074187 писал(а):

Иногда, конечно, сто́ит оговориться. Например, при написании уравнения типа
$p|p\rangle = p |p\rangle$
сделать оговорку, что первый $p$ слева --- оператор, первый $p$ справа --- его собственное значение, а $|p\rangle$, разумеется, собственный вектор отвечающий этому собственному значению.

Обычно пишут
$p|p\rangle=p_n|p\rangle$
и всё понятно без слов (хотя $n$ может не иметь смысла целого числа).

[orca89]

Спасибо большое. После того, как пояснили, что это просто функции, а не операторы, то ряд стал очевиден.

-- 17.11.2015, 14:56 --

Кстати, иногда у Сакураи эти шляпки иногда есть. Несмотря на бра-кет описание.Поэтому, если читать подряд, прих=одится иногда возвращаться назад, чтобы разобраться в строгой математике.

Можно ли тогда задать вопрос, который только что появился- если берётся разложение в ряд, и отбрасываются члены высших порядков, почему тогда делается строгое соответсвие для выражения оператора импульса?

Какие эффекты могут возникнуть, если брать следующий порядок по производным?

[Arkhipov]

Признаюсь, мне не все понятно. Прежде всего, мы имеем дело с базисом размерности континуума (и несепарабельным пространством), каждый из выписанных векторочков имеет бесконечную длину (не принадлежит Гильбертову пространству), и наконец, мы переложили координаты $\alpha(x)$ по формуле $x \to y, y \to z$, совершили условный поворот и обозначили его неожиданно значком интеграла.

-- 17.11.2015, 21:42 --

На последний Ваш вопрос ответить несложно, поэтому сначала спрошу,
что Вы подразумеваете под:

orca89 в сообщении #1074001 писал(а):

рассматривается унитарный, но неэрмитов оператор

[AnatolyBa]

orca89 в сообщении #1074328 писал(а):

Какие эффекты могут возникнуть, если брать следующий порядок по производным?

Все начинается с этого

orca89 в сообщении #1074001 писал(а):

$\mathfrak{J}(\Delta x)=1-i p \Delta x/\hbar$ .

И далее все вычисления делаются с точностью до $\Delta x$ . Так оно принято в физике. Без излишней математической строгости. На глазок я не вижу, что нового вы получите если с самого начала будете учитывать высшие порядки. Но можете попробовать.

Arkhipov
Я взялся здесь отвечать, так как вопрос показался мне простым. Но вас я не понимаю. По моемы вы говорите о чем то другом. Может быть более квалифицированные участники вам ответят.

[Arkhipov]

Справедливо. Ответьте, пожалуйста, как я должен интерпретировать $x\rangle$ ?
Если это базисный вектор, то какова размерность пространства?