В чем ошибка Гильберта и принцип причинности.

[manul91]

Ок, поехали.

Мне понадобится измененные (вроде ослабленные) условия на многообразия:

1) Двухмерное многообразие гомеоморфно плоскости в любой точке (по определению многообразия); НО в метрическом смысле мы допускаем наличия конечного числа точек где гауссова кривизна прерывна (хотя пределы кривизны из любых направлений к этих точек - один и тот же). При этом конечно, сама поверхность остается непрерывной.

1a) Если нашу специальную исходную точку назовем $P$ - то для любой точки $Q$ многообразия несовпадающей с $P$ - существует геодезическая соединяющая $Q$ и $P$.

Я не уверен, что (1а) следует из требования 1) - во всяком случае если не так, то просто добавим его как дополнительное условие.
Кроме

3) Из прежнего также следует, что если из точку $P_1$ проведем геодезический отрезок $\Gamma$ до точку $P_2$ чья длина равна $L$ - и потом из точки $P_2$ геодезическую в обратном направлении и той же длины $L$ - то оба геодезических отрезка самоидентичны и мы возвращаемся обратно именно к точки $P_1$ а не к какой-нибудь другой.

добавим (для ясности, чтобы ссылаться на нем ниже) и следующее очевидно верное утверждение, следующее из непрерывности самой поверхности:

3а) Пусть из точку $P_1$ проведены две разные конкретные геодезические отрезка $\Gamma_1$ и $\Gamma_2$ которые пересеклись в точку $P_2$, чьи длины равны соответно $L_1$ и $L_2$. Тогда, если пройдем из точку $P_1$ путь (разумеется длины $L_1$) к точке $P_2$ по геодезической $\Gamma_1$ - И потом с точку $P_2$ по другой геодезической $\Gamma_2$ пройдем путь длиной $L_2$ в обратном направлении до какую-то точку $P_1'$ - то длина общего пути $L_1+L_2$; и, что существенно: точки $P_1'$ и $P_1$ идентичны - тоесть мы возвращаемся обратно именно к точку $P_1$, а не к какой-нибудь другой.

------------
Тогда:

Выпускаем "веером" во всех направлений геодезические из исходной точке $P$.
При этом, пусть полный угол вокруг точки $P$ равен $2\theta$.
Что все эти геодезические пересекаются в одной и той же точке $P'$, и что все их длины одинаковы и равны $L$ - как и прежде, следует из симметрии и существенной положительности кривизны в любой точке (не буду расписывать детально).

Докажем, что семья геодезических исходящих "веером" из $P$ во всех направлений (назовем ее $\mathbb{G}_P$) - исчерпывает все многообразие (возможно, с избытком):
Допустим, что это не так - значит, существует точка Q принадлежащая многообразию которая не принадлежит $\mathbb{G}_P$ - противоречие с либо с том что любую точку из многообразия можно достичь геодезической из $P$ (1a), либо с определении $\mathbb{G}_P$ уже по построению (есть геодезическая исходящая из $P$ которую мы не включили в "веере" $\mathbb{G}_P$ - значит, "веер" не во всех направлений из $P$ - противоречие с построения).

Теперь, пусть семья $\mathbb{G}_P$ геодезических исходящих во всех направлений из $P$ - "приходит" к $P'$ под неким итоговым углом "максимального раствора" $2\varphi$.
Это означает, что когда направления исхода геодезических из $P$ параметризируются непрерывно параметром угла $\alpha$, пробегая полный угол $0<\alpha<2\theta$ вокруг точки $P$ - то направления "прихода" этих геодезических к $P'$ параметризируются непрерывно параметром угла $\beta$, находящемся внутри интервала $0<\beta<2\varphi$ (приходящие к $P'$ геодезические из $P$ - обязаны "плотно заполнять" угла раствора $2\varphi$ с вершиной в $P'$ - это ясно из-за непрерывности).

Ясно, что "раствор $2\varphi$ угла прихода" $\mathbb{G}_P$ к $P'$ - также является и полным углом вокруг $P'$.
Что из $P'$ не могут исходить какие-либо "другие" геодезические, не принадлежащие "вееру" $\mathbb{G}_P$ (и соответно, не включенных в "углом прихода" $2\varphi$) - следует сразу из того, что $\mathbb{G}_P$ накрывает все многообразие - что мы уже доказали.
Тоесть, направления под которым $\mathbb{G}_P$ приходит к $P'$ ограниченные углом $2\varphi$ - также пробегают и полный угол вокруг $P'$ на многообразии - $2\varphi$ является полным углом точки $P'$.

Значит - любая геодезическая $\Gamma_{P}(\alpha_1)$ длины $L$ изходящая из $P$ (геодезическая семьи $\mathbb{G}_P$) приходит к $P'$; и на свой лад любая геодезическая $\Gamma_{P'}(\beta_1)$ из $P'$ совпадает с некоторой геодезической $\Gamma_{P}(\alpha_2)$ из $P$ семьи $\mathbb{G}_P$ - а значит - и пройдя путь длины $L$ обратно по $\Gamma_{P}(\alpha_2) \equiv \Gamma_{P'}(\beta_1)$ - мы достигаем именно ту же исходную точку $P$.

Тут конечно, мы использовали (3а) - нас не интересует продолжение геодезической из $P$ через $P'$ - мы просто берем двух разных геодезических отрезков с $P$ до $P'$ и с $P'$ до $P$.

Замечу, что обе $P$ и $P'$ могут быть "особыми", и полный угол вокруг них меньше $2\pi$ (и разный для $P$ и $P'$).

epros - что вы думаете об этом?
По моему, все четко.

[epros]

manul91 в сообщении #1073439 писал(а):

что вы думаете об этом?

Непонятно, зачем Вы всё это пишете? Если Вас не беспокоит, что в точке схождения геодезических получится особенность кривизны, то мы просто принимаем к сведению, что эта точка не входит в многообразие, так что топология не совсем сферическая. А получится там особенность или нет -- это полностью определяется формулой зависимости кривизны от расстояния по геодезической до начальной точки.

[manul91]

epros в сообщении #1073444 писал(а):

Непонятно, зачем Вы всё это пишете?

Затем что по-прежнему, такая "центральная симметрия [существенно положительной] гауссовой кривизны" - обеспечивает замкнутую топологию (пусть и "каплевидной", с одной или двух "вершин").
Все факторпространства сферы кстати, имеют две вершины (на "полюсов") с одинаковым дефицитом угла - это не означает что они теперь не замкнутые.

epros в сообщении #1073444 писал(а):

Если Вас не беспокоит, что в точке схождения геодезических получится особенность кривизны, то мы просто принимаем к сведению, что эта точка не входит в многообразие, так что топология не совсем сферическая

Я не хочу топологически выкидывать эту точку из многообразия - зачем это? Многообразие вполне может оставаться непрерывным, несмотря на то что в неких точек гауссова кривизна прерывна (тот же конус или куб с их вершин).
Когда рассматривается метрика массивного сферического тела в вакууме в ОТО - не выкидываете же вы поверхность тела из многообразия пространства-времени, меняя его топологию? Хотя и инварианты кривизны на поверхности тела претерпевают скачок из-за скачка плотности (в частности, скалярная кривизна претерпевает скачек из нуля).

[epros]

manul91 в сообщении #1073446 писал(а):

Я не хочу топологически выкидывать эту точку из многообразия - зачем это? Многообразие вполне может оставаться непрерывным, несмотря на то что в неких точек гауссова кривизна прерывна

Чтобы начать думать о том, выкидывать или нет, надо сначала доказать, что она была включена. А эта точка не была включена в многообразие по той простой причине, что она не удовлетворяет поставленным Вами же условиям. Напоминаю, что условием было: "кривизна изменяется по такому-то закону", так что ровно на этой точке его выполнение заканчивается. Если, конечно, не продлить поверхность дальше вершины конуса. Но негоже на ходу менять условия, говоря: "Давайте для этой точки сделаем исключение, забыв на время, что мы пытались доказать как раз то, что топология определяется кривизной".

[manul91]

epros в сообщении #1073455 писал(а):

А эта точка не была включена в многообразие по той простой причине, что она не удовлетворяет поставленным Вами же условиям. Напоминаю, что условием было: "кривизна изменяется по такому-то закону", так что ровно на этой точке его выполнение заканчивается.

Как я сказал раньше - это требование вполне можно заменить ослабленным требованием - что при приближении к точку центральной симметрии $P$ любым способом - положительная гауссова кривизна $\lim_{Q \to P} K(Q)$ стремится к одной и той же величиной предела.
Это не означает, что в точке $P$, кривизна $K(P)$ обязана быть равной этим пределом.
Сравните - требуем что функция $f(x)$ при $x \to 0$ имела одинаковый предел слева и справа (при $x<0$ и $x>0$) - а сама величина функции в нуля $f(0)$, может не быть равной этому пределу.
Короче, для функций кривизны по геодезических $K(L)$ через $P$ требуется чтобы они были существенно положительными, одинаковыми независимо от направления, и им разрешается иметь устранимых разрывов первого рода в точeк пересечения геодезических $P$ и $P'$.
Считайте что условие ослаблено именно таким образом.

epros в сообщении #1073455 писал(а):

Если, конечно, не продлить поверхность дальше вершины конуса. Но негоже на ходу менять условия, говоря: "Давайте для этой точки сделаем исключение, забыв на время, что мы пытались доказать как раз то, что топология определяется кривизной".

Из этого ничего не понимаю - тем более что значит "продлить дальше вершины конуса" - я ведь доказал что геодезические веером из исходной точки $P$ сходясь на $P'$, исчерпывают все многообразие (это вообще, тривиально следует из геодезической полноты в смысле 3а).
Тем более я дал пример так сказать, "из практики" (с поверхности тела в ОТО) - почему из-за скачек инвариантов кривизны не необходимо ни выкидывать точек, ни "продолжать" в каких-то высших над-пространств и/или "накрытий".

К доказательству (с учетом корекций) - имеете какие-либо конкретные возражения?

[epros]

manul91 в сообщении #1073465 писал(а):

Это не означает, что в точке $P$, кривизна $K(P)$ обязана быть равной этим пределом.

Это называется "разрыв кривизны". А в данном случае разрывна не просто кривизна, но и связность.

manul91 в сообщении #1073465 писал(а):

Считайте что условие ослаблено именно таким образом.

Не могу. Если Вы разрешаете подобные разрывы где попало, то понятие геодезической вообще лишается смысла. Так что вообще доказывать нечего.

manul91 в сообщении #1073465 писал(а):

я ведь доказал что геодезические веером из исходной точки $P$ сходясь на $P'$, исчерпывают все многообразие

Я не очень внимательно смотрел Ваше доказательство, поскольку вообще не понимаю, что и зачем Вы пытаетесь доказать. Зато я прекрасно понимаю, что геодезическую, упирающуюся в вершину конуса, можно гладко продлить только если дорисовать вторую половину конуса. Как этому могут помешать какие-то рассуждения о том, что уже нарисованные геодезические якобы "исчерпывают всё многообразие" (т.е. понимай так, что кроме первой половины конуса в многообразие ничего входить не должно)? По-моему, это ерунда какая-то.

[manul91]

epros в сообщении #1073471 писал(а):

Не могу. Если Вы разрешаете подобные разрывы где попало, то понятие геодезической вообще лишается смысла.

Это не так. Если есть конечное число точек разрывов кривизны, то теряется только возможность однозначно продолжать геодезических через этих точек. Но связывать этих точек геодезическими отрезками на фоне "непрерывной кривизны" - по прежнему возможно (и условия не требуют более чем двух точек разрыва).

epros в сообщении #1073471 писал(а):

Зато я прекрасно понимаю, что геодезическую, упирающуюся в вершину конуса, можно гладко продлить только если дорисовать вторую половину конуса

А я не нуждаюсь в "продлении" геодезических через вершин. Приходя к "вершине", можно продолжить по [другой] геодезической, в каком угодно направлении - это вывода не меняет.

epros в сообщении #1073471 писал(а):

вообще не понимаю, что и зачем Вы пытаетесь доказать

Доказывается что: если пойти с точки центрально-радиальной симметрии $P$ по любой геодезической и пройти расстояние $L$ до точки схода всех геодезических $P'$. То потом пойдя из $P'$ по любой геодезической в любом направлении, и пройдя то же самое расстояние $L$ - то окажемся именно в исходной точки $P$ а не какой-нибудь другой.
Тоесть доказывается наличие замкнутых петель из $P$ не более чем длины $2L$ - eсли идти по геодезических (eсли геодезическая "упрется" в точку "вершины" - можно "продолжать путь" по любой геодезической - это следствие не меняет).
В итоге, центрально-симметричная геометрия существенно положительной кривизны (не обязательно постоянной) - тоже обеспечивает замкнутую топологию.

epros в сообщении #1073471 писал(а):

. понимай так, что кроме первой половины конуса в многообразие ничего входить не должно

Разумеется разветвления не допускаются - иначе это не многообразие даже в стандартном чисто топологическом смысле. Мы рассматриваем только многообразия (да и даже с неким дополнительным ограничениям - на них введена положительная метрика и т.д).

[epros]

manul91 в сообщении #1073481 писал(а):

теряется только возможность однозначно продолжать геодезических через этих точек

Этого достаточно чтобы не считать эти точки принадлежащими многообразию, которое определяется заданной кривизной.

manul91 в сообщении #1073481 писал(а):

Тоесть доказывается наличие замкнутых петель из $P$ не более чем длины $2L$

Это не замкнутые петли. Это разомкнутые петли. Вы всего лишь доказали, что можно вернуться по другой геодезической, а не по той, по которой пришли. Ничего нового сравнительно с доказательством того факта, что геодезические сходятся.

manul91 в сообщении #1073481 писал(а):

тоже обеспечивает замкнутую топологию

Топология с выколотой точкой -- не замкнутая.

manul91 в сообщении #1073481 писал(а):

Разумеется разветвления не допускаются - иначе это не многообразие даже в стандартном чисто топологическом смысле.

Ну как хотите. Это был единственный способ продолжить геодезическую дальше точки схождения. Потому что продолжить геодезическую дальше точки схождения в направлении геодезической, ведущей к точке $O$, невозможно.

[manul91]

epros в сообщении #1073484 писал(а):

Цитата:

теряется только возможность однозначно продолжать геодезических через этих точек

Этого достаточно чтобы не считать эти точки принадлежащими многообразию, которое определяется заданной кривизной.

Многообразия никогда не определялись одной заданной кривизной - вы просто выходит не поняли, о чем речь в самом начале.
Даже при константной положительной кривизны (с которой вы якобы "согласились") - существуют разные варианты многообразий: как сфера так и проективная плоскость.

Одной кривизной, при определенных условий - определяется только конкретное топологическое свойство многообразия - существования замкнутых петель по геодезических.
В каком смысле это самое валидно и при существовании "вершин" (в точек центрально-симметричной хотя и радиально-переменной, существенно положительной кривизны) - я уже сказал.

epros в сообщении #1073484 писал(а):

Вы всего лишь доказали, что можно вернуться по другой геодезической, а не по той, по которой пришли. Ничего нового сравнительно с доказательством того факта, что геодезические сходятся.

Это неверно. Я также показал, что множество всех геодезических между этих двух точек ("центрально-радиальной симметрии") - исчерпывает все многообразие: нет точки многообразия, через которой не проходит геодезическая соединяющая этих двух точек. "Вершины" ли эти две точки или там "все гладко" - неважно.
Это достаточно сильное утверждение.

epros в сообщении #1073484 писал(а):

Топология с выколотой точкой -- не замкнутая.

Ну это только вы норовите выкалывать вершин из всяких поверхностей, споря уже только из вредности.
Ладно это уже неважно; я без того разобрался.

[epros]

manul91 в сообщении #1073511 писал(а):

нет точки многообразия, через которой не проходит геодезическая соединяющая этих двух точек.

Я не понимаю смысла этого доказательства. Если Вы хотите сказать, что по определению не существует никаких точек, кроме как принадлежащих геодезическим, соединяющим эти две точки, то так и скажите. Это будет означать то же самое, что условие, запрещающее продолжать геодезические дальше точки их схождения. Но если мы не наложим такого условия, то это доказательство просто неверно.

manul91 в сообщении #1073511 писал(а):

Ну это только вы норовите выкалывать вершин из всяких поверхностей, споря уже только из вредности.

Дело не в том, что мне "вдруг захотелось" выколоть точку, а в том, что включение особенности в многообразие действительно нарушает постановку задачи. Вот представьте, что Вы захотели свернуть плоский лист в трубочку, изменив таким образом его топологию. Что Вам для этого нужно? Нужно -- точно попасть одним краем листа в другой, что не так уж тривиально. Если чуть-чуть не попадёте -- то уже не получится у Вас свернуть лист в трубочку. Так вот, формируя вокруг точки $O$ поверхность заданной постоянной кривизны, которая в итоге должна замкнуться, Вы делаете то же самое -- т.е. пытаетесь точно попасть одним краем поверхности в другой, чтобы замкнуть её. И если кривизна не в точности везде одинакова, а слегка варьируется, то и не попадёте. И выражается это как раз в том, что где-то около точки схождения пучка геодезических, проведённых из точки $O$, возникнет особенность. Поэтому я и говорю Вам, что игнорировать эту особенность -- неправильно. А если слегка нарушить круговую симметрию, то станет ещё интереснее: тогда у Вас даже точки схождения геодезических как таковой не получится.

Да, капля топологически эквивалентна сфере. Но это только потому, что точка вершины была искусственно включена в это многообразие, пренебрегая исходными требованиями к гладкости. А если Вы ставите задачу таким образом, что условия на гладкость изначально не ставятся, тогда вообще непонятно по каким правилам Вы собираетесь конструировать эту поверхность.

[manul91]

epros в сообщении #1073553 писал(а):

Я не понимаю смысла этого доказательства. Если Вы хотите сказать, что по определению не существует никаких точек, кроме как принадлежащих геодезическим, соединяющим эти две точки, то так и скажите.

Не могу поверить что на самом деле не понимаете; ничего такого "по определению" не требуется (это - следствие).
Ладно напишу еще раз, со учетом всех корекций.

С одной стороны мы имеем исходную точку принадлежащую поверхности - я назвал ее $P$.
Далее, многообразие в окрестности $P$ гладко - так что начиная ИЗ $P$, можно проводить геодезические и продолжать их (по меньшей мере, пока они пересекли друг друга).
Мы НЕ требуем чтобы многообразие В самой точки $P$ было гладким, и также НЕ требуем чтобы ЧЕРЕЗ $P$ однозначно проходили бы геодезические (хотя через P могут проходить всякие линии многообразия). Точно также, как в вершине конуса или куба - ИЗ вершины можно проводить геодезическиe к остальных точек, хотя ЧЕРЕЗ вершину геодезических однозначно продолжать нельзя.
Итак, многообразие в точки P может быть как гладкое, так и с дефицитом угла наподобие вершины конуса - это нам не важно.
Все что мы хочем насчет геодезических - это возможность однозначно проводить геодезические ИЗ ("исходя из") $P$ в любых направлений к других точек, и/или проводить геодезических начиная ИЗ других точек ДО ("заканчивая в") точки $P$ (а не проводить геодезических ЧЕРЕЗ $P$).
Пока все понятно?
Далее, дана еще идеальная "круговая" симметрия гауссовой кривизны по отношению "удаления по геодезической" из центра $P$ - гауссова кривизна по геодезических ИЗ $P$ в любом направлении, меняется как одну и ту же функцию $K(L)$ из длины геодезической $L$.
Функция $K(L)$: ограничена снизу положительной константой, внутренне непрерывна везде кроме возможно (но не необходимо) в своих конечных точек интервала аргумента: в $L=0$, и в точку где геодезическая "заканчивается" (последняя если кривизна в ней точечно-прерывна - может либо совпадать с исходной точки $P$, либо оказаться другой "вершинной точки" многообразия, через которой геодезическую нельзя однозначно далее продолжить).
Последнее, что дано - это "геодезическая полнота" - в смысле, что к любой точкe многообразия $Q$, можно провести геодезической ИЗ $P$ и заканчивающейся в этой точке $Q$.

Следствия:
- Все геодезические ИЗ P пересекаются одновременно (на одной и той же длины L), в одной и той же общей точке $P'$. $P'$ может быть как "вершинной" (с дефицитом угла, в ней $K(L)$ прерывна), либо нет. Это нам не важно - пытаться продолжать геодезических ЧЕРЕЗ $P'$ мы не будем (хотя можем проводить через ней любых линий, в частности линий состоящих из двух геодезических с общей точке в $P'$).
- Любая точка многообразия, лежит на какой-либо геодезической соединяющей $P$ и $P'$. На многообразии НЕТ точек, которые НЕ принадлежат какой-либо геодезической соединяющей $P$ и $P'$. Как следствие, многообразие замкнуто (компакт) - итого, одни исходные ограничения на кривизну (метрику) - определили с необходимости это топологическое свойство.
- Все геодезические выходящие ИЗ $P'$, точно также радиально симметричны, и пересекаются в одной и той же точке, после того же самого расстояния L - и эта точка не может быть никакой другой, кроме исходной точки $P$ (идентична точки $P$).
Таким образом, любой путь вида $P-P'-P''$ где обе $PP'$, $P'P''$ геодезические, каждая из них длиной $L$ - начинается и заканчивается в одной и той же исходной точки $P$ - т.е. $P$ и $P''$ совпадают идентично.

Тоесть если вы начиная из $P$ в любом направлении, двигаетесь по геодезический путь L до точки схода $P'$, в точки схода $P'$ меняете направление любым образом и продолжаете опять по геодезический путь L - то опишете петлю возвращаясь обратно к исходной точки (возможно, вы даже дважды вернулись к исходной точки).
(Для вас добавляю, что выбор направления ИЗ $P$ (или $P'$) - должен однозначно определять геодезической - топологические "разветвления" не разрешены, ибо говорим про многообразии)

Наконец, примерное частное двухмерное многообразие "общего" типа вложенное в 3d, на котором вы можете примерить рассуждения выше.
Берем эллипс. Через точки конца большого диаметра, отрезаем "дугу" (меньше "половины" эллипса) - поверхность вращения этой дуги вокруг отрезка соединяющего ее концов - и есть пример такого многообразия.
Два "полюса" этой "цепелино-образной" поверхности "дуги вращения" - будут вершинные точки типа "вершины конуса" - кривизна на поверхности в них существенно положительна, и точечно-прерывна в "вершин" (меньше половины эллипса нужно брать именно из-за того чтобы в этих точек кривизна была все-таки положительной - иначе в одной из вершин получится не дефицит, а профицит угла).

epros в сообщении #1073553 писал(а):

Это будет означать то же самое, что условие, запрещающее продолжать геодезические дальше точки их схождения.

Нигде не требуется продолжать геодезических ЧЕРЕЗ "точек схождения" ($P$ или $P'$).
При этом, ЧЕРЕЗ точек схождения можно проводить любых линий (поверхность непрерывна, эти точки принадлежат многообразию - даже если "вершины") - в частности линий состоящих из двух геодезических кусков, ДО и ОТ вопросной точке.
Еще раз - выбор направления ИЗ любой точки (включительно "вершинной" - с точечным дефицитом угла) - должен однозначно определять геодезической в этом направлении - разветвления не разрешаются ибо мы говорим про многообразии.
"Выбор направления" - в частности (метрически) означает, что направление в двухмерии параметризуется однозначно единственным реальным параметром (циклическим), пробегающий "угол" (по отношению к некоему "нулевому" направлению в данной точке).
В "полном конусе", который вам так нравится - в вершине имеется разветвление - направление НЕ определяет геодизической однозначно - нужен еще и булевой параметр, определяющий по "верхнему" или "нижнему" полуконусу ("листу") будет проводиться геодезическая из вершины, в так выбранном направлении.

epros в сообщении #1073553 писал(а):

Вот представьте, что Вы захотели свернуть плоский лист в трубочку, изменив таким образом его топологию. Что Вам для этого нужно? Нужно -- точно попасть одним краем листа в другой, что не так уж тривиально. Если чуть-чуть не попадёте -- то уже не получится у Вас свернуть лист в трубочку.

Во уж никакая "точность", ничего "свертывать" и никуда "попадать" мне не нужно, чтобы топологически изометрично замыкать именно плоского листа.
Все что "нужно" - это взаимно-идентифицировать точек из границ листа - в зависимости от идентификации могу получить цилиндр, лист мебиуса, плоский тор, плоская бутылка клейна или плоская проективная плоскость (все эти многообразия будут иметь нулевой гауссовой кривизны везде).
Все ваши беды имхо - из слишком жесткой мысленной привязки к вложению в 3d пространстве (я обратно - дал маху насчет геодезических через вершинных точек, именно потому что пытаюсь не думать в рамке конкретных вложений).
Интересно какая "точность" вам нужна, и как нужно "свертывать", чтобы получить плоский тор или плоскую бутылку клейна - вполне обычные везде плоские двухмерные многообразия, которые однако не вкладываются в трехмерное пространство....

epros в сообщении #1073553 писал(а):

. А если слегка нарушить круговую симметрию, то станет ещё интереснее: тогда у Вас даже точки схождения геодезических как таковой не получится.

Разумеется идеальная круговая симметрия - одно из обязательных условий.

epros в сообщении #1073553 писал(а):

Да, капля топологически эквивалентна сфере. Но это только потому, что точка вершины была искусственно включена в это многообразие, пренебрегая исходными требованиями к гладкости. А если Вы ставите задачу таким образом, что условия на гладкость изначально не ставятся, тогда вообще непонятно по каким правилам Вы собираетесь конструировать эту поверхность.

Как именно и по каким правилам конструируется, описано выше. Условия на гладкость (непрерывность кривизны) - не ставятся только в двух точек - исходной точки центральной симметрии ($P$), и на общую точку "схода" $P'$ (в ней уж "как получится").
При этом, я легко все-таки мог бы потребовать условия гладкости (непрерывность гауссовой кривизны) везде - в виде конкретных ограничений на видe функции $K(L)$, кроме существенной положительности - например, в аналитичном виде через коеффициентов метрики (первой фундаментальной формы). Для исходной точки $P$ можно воспользоваться известном равенством $K = \lim_{r \to 0+} 3\frac{2\pi r - C(r)}{\pi r^3}$; для конечной точки "схода" будет некоторое интегральное выражение.
Но я просто не нахожу это необходимым.
В связи с интересующего меня топологическим свойством замкнутости, как следствие из центральной симметрии положительной кривизны - все равно получу ли в итоге ротационную поверхность полуокружности вокруг диаметра (т.е. сферу), или ротационную поверхность сегмента окружности вокруг хорды сегмента.
Хотя во втором случае получится радиально-переменная положительная гауссова кривизна, и "вершины" в антиподальных точек (точечные прерывности кривизны - в которых дефицит угла, и через которых не хорошо определено, как проводить геодезических) - для обоих поверхностей, следует одно и то же топологическое свойство замкнутости - и оно следует из условий на кривизны одним и тем же образом.

[epros]

manul91 в сообщении #1073587 писал(а):

Последнее, что дано - это "геодезическая полнота" - в смысле, что к любой точкe многообразия $Q$, можно провести геодезической ИЗ $P$ и заканчивающейся в этой точке $Q$.

Вот я и говорю: Вы просто запретили продолжать многообразие дальше вершин по определению. А смысл? Чего Вы хотите добиться? Разумеется, если Вы уже в условиях заложите замкнутость многообразия, то и в выводе получите замкнутость многообразия.

manul91 в сообщении #1073587 писал(а):

Следствия:
- Все геодезические ИЗ P пересекаются одновременно

Тривиально следует из круговой симметрии. И не стоило для доказательства этого так напрягаться. Единственная содержательная часть доказательства, касающаяся как раз самого факта, что геодезические вообще пересекутся (это следует из существенно положительной кривизны поверхности), была удивительным образом Вами опущена.

manul91 в сообщении #1073587 писал(а):

Любая точка многообразия, лежит на какой-либо геодезической соединяющей $P$ и $P'$.

Просто повторили то, что заложено в условии.

manul91 в сообщении #1073587 писал(а):

- Все геодезические выходящие ИЗ $P'$, точно также радиально симметричны, и пересекаются в одной и той же точке, после того же самого расстояния L - и эта точка не может быть никакой другой, кроме исходной точки $P$ (идентична точки $P$).

Просто повторили сказанное только что выше, ибо геодезическая, с какого конца её ни рассматривай, это всё та же геодезическая

manul91 в сообщении #1073587 писал(а):

Таким образом, любой путь вида $P-P'-P''$ где обе $PP'$, $P'P''$ геодезические, каждая из них длиной $L$ - начинается и заканчивается в одной и той же исходной точки $P$ - т.е. $P$ и $P''$ совпадают идентично.

Вообще ничего содержательного не сказали. Разумеется, если от A до B можно провести две разных геодезических, то из A обратно в A можно попасть по замкнутой линии, составленной из двух отрезков геодезических. Однако линия из двух отрезков геодезических не является геодезической.

Итого: Что Вы вообще пытаетесь доказать и зачем? А столько букв потратили...

manul91 в сообщении #1073587 писал(а):

Еще раз - выбор направления ИЗ любой точки (включительно "вершинной" - с точечным дефицитом угла) - должен однозначно определять геодезической в этом направлении - разветвления не разрешаются ибо мы говорим про многообразии.

Не понимаю Вашей терминологии. Геодезические во всех направлениях из вершины конуса определены однозначно. Мало того, однозначно определены геодезические через вершину конуса. Да, вершина конуса -- особая точка, потому что направления в ней определяются не полным оборотом на $2\pi$, как в точках плоскости. Но в моих глазах, например, это не делает конус каким-то "запретным" типом поверхности, который даже "не многообразие".

manul91 в сообщении #1073587 писал(а):

Все что "нужно" - это взаимно-идентифицировать точек из границ листа - в зависимости от идентификации могу получить цилиндр, лист мебиуса, плоский тор, плоская бутылка клейна или плоская проективная плоскость (все эти многообразия будут иметь нулевой гауссовой кривизны везде).

Это Ваше "взаимно-идентифицировать" означает то же самое, что я назвал словами "точно попасть".

manul91 в сообщении #1073587 писал(а):

Все ваши беды имхо - из слишком жесткой мысленной привязки к вложению в 3d пространстве

Не фантазируйте, нет у меня никакой привязки к вложению. Например, я Вам могу описать такую поверхность (назовём её "антикапля"), кривизна которой (существенно положительная) при движении от начальной точки $O$ не уменьшается как у капли, а возрастает. На такой поверхности пучок геодезических тоже сойдётся в одной точке ("антиподе" точки $O$), но полный оборот в точке схождения будет не меньше, а больше чем $2\pi$. Такая поверхность не вкладывается в 3D.

-- Вс ноя 15, 2015 14:48:55 --

epros в сообщении #1073654 писал(а):

manul91 в сообщении #1073587 писал(а):

Последнее, что дано - это "геодезическая полнота" - в смысле, что к любой точкe многообразия $Q$, можно провести геодезической ИЗ $P$ и заканчивающейся в этой точке $Q$.

Вот я и говорю: Вы просто запретили продолжать многообразие дальше вершин по определению. А смысл? Чего Вы хотите добиться? Разумеется, если Вы уже в условиях заложите замкнутость многообразия, то и в выводе получите замкнутость многообразия.

А, сорри, невнимательно прочитал. В такой формулировке продолжение геодезических дальше их точки схождения не запрещено. В верхнюю часть конуса таким образом вполне попасть можно.

[manul91]

epros в сообщении #1073654 писал(а):

Вот я и говорю: Вы просто запретили продолжать многообразие дальше вершин по определению. А смысл? Чего Вы хотите добиться? Разумеется, если Вы уже в условиях заложите замкнутость многообразия, то и в выводе получите замкнутость многообразия.

epros в сообщении #1073654 писал(а):

А, сорри, невнимательно прочитал.

С этим надеюсь все понятно - никакой замкнутости это условие само по себе не гарантирует

epros в сообщении #1073654 писал(а):

Тривиально следует из круговой симметрии. И не стоило для доказательства этого так напрягаться. Единственная содержательная часть доказательства, касающаяся как раз самого факта, что геодезические вообще пересекутся (это следует из существенно положительной кривизны поверхности), была удивительным образом Вами опущена.

Насчет "была удивительным образом опущена" - вы с этом вроде согласились - зачем тратить еще и на это время расписывать (да и то что при положительной кривизной геодезические сближаются - итак хорошо известный факт)
Насчет "тривиальности" - слышу от человека, который вначале меня долго убеждал что замкнутая топология не обязательно следует даже из условия постоянной положительной кривизны
Насчет "единственная содержательная часть" - не так, тут все важно - сходимость геодезических в точке сама по себе еще ничего не гарантирует

epros в сообщении #1073654 писал(а):

Вообще ничего содержательного не сказали. Разумеется, если от A до B можно провести две разных геодезических, то из A обратно в A можно попасть по замкнутой линии, составленной из двух отрезков геодезических. Однако линия из двух отрезков геодезических не является геодезической.
Итого: Что Вы вообще пытаетесь доказать и зачем? А столько букв потратили...

Так само по себе, ниоткуда не следует что продолжая по какой-нибудь второй геодезической - мы именно возвращаемся, и именно к исходной точке.

Два примера:

Возмем обычную плоскость, нарежем в ней дырки касающихся одинаковых кругов, заткнем их полусферами.
Начиная из некую точку касания полусфер - хотя и геодезические по полусфере сходятся в ee противоположной точке отнюдь не следует что если мы выберем одну из них, и дальше опять пойдем по геодезической постоянной кривизны - то вернемся в исходной точке поверхности (если пойдем по следующей полусфере - не вернемся). В этом случае хотя часть геодезических сходятся - это еще не все геодезические (круговая симметрия нарушена; геодезические м/у двух точек не исчерпывают многообразие).
Если разрешим разветвления как у вашего полного конуса - также не следует что продолжая по геодезической, якобы возвращаемся к именно той же точке (две симметричные капли касающиеся вершинами - хотя полная симметрия присутствует, но геодезические отрезки м/у исходной точке и точке схода НЕ исчерпывают всю поверхность).

Так что все условия важны.

epros в сообщении #1073654 писал(а):

Например, я Вам могу описать такую поверхность (назовём её "антикапля"), кривизна которой (существенно положительная) при движении от начальной точки $O$ не уменьшается как у капли, а возрастает. На такой поверхности пучок геодезических тоже сойдётся в одной точке ("антиподе" точки $O$), но полный оборот в точке схождения будет не меньше, а больше чем $2\pi$. Такая поверхность не вкладывается в 3D.

Я тоже об этом думал (отрицательная кривизна в исходной или антиподальной точке или у обоих) - и, такое допущение не влияет доказательству замкнутости - но не уверен что такое построение самосогласовано.
Тут ведь недостаточно просто задекларировать, что "полярная" угловая переменная ("долгота") меняется в интервале не $0,2\pi$ а скажем $0,3\pi$ - ее ведь можно масштабировать как угодно. Нужны достаточно нудные метрические рассуждения в окрестности "вершинной" точке схода (параллельный перенос вектора по геодезичеких вокруг гиперболической вершины, или еще как) и показать что это совместимо с иначе существенной положительности гауссовой кривизны везде на поверхности (и она не обращается с необходимостью в нуль, или отрицательной где-нибудь - обычное "сердечко вращения" в 3d уже имеет область с нулевой и отрицательной кривизны - по кривизну линий сердечка в плоскости, это не так очевидно).
Если у вас есть простое/элегантное доказательство - интересно увидеть

[epros]

manul91 в сообщении #1073726 писал(а):

Насчет "тривиальности" - слышу от человека, который вначале меня долго убеждал что замкнутая топология не обязательно следует даже из условия постоянной положительной кривизны

А что не так? Топология зависит даже от того, включаем ли мы точку схождения геодезических в многообразие.

manul91 в сообщении #1073726 писал(а):

Насчет "единственная содержательная часть" - не так, тут все важно - сходимость геодезических в точке сама по себе еще ничего не гарантирует

Конечно. Но в случае сходимости сходимость в одной точке тривиально следует из круговой симметрии.

manul91 в сообщении #1073726 писал(а):

Так само по себе, ниоткуда не следует что продолжая по какой-нибудь второй геодезической - мы именно возвращаемся, и именно к исходной точке.

Это тривиально следует из того, что мы возвращаемся из точки схождения.

manul91 в сообщении #1073726 писал(а):

Я тоже об этом думал (отрицательная кривизна в исходной или антиподальной точке или у обоих) - и, такое допущение не влияет доказательству замкнутости - но не уверен что такое построение самосогласовано.

Будьте внимательнее. Я не сказал "отрицательная кривизна". Я говорил про положительную и возрастающую кривизну.

manul91 в сообщении #1073726 писал(а):

Если у вас есть простое/элегантное доказательство - интересно увидеть

Это то самое доказательство сходимости, которое Вы элегантно пропустили. Там потребуется записать диф. уравнение и исследовать его решение. Увы, не имею на это сейчас времени.

[manul91]

epros в сообщении #1073931 писал(а):

Будьте внимательнее. Я не сказал "отрицательная кривизна". Я говорил про положительную и возрастающую кривизну.

Вы писали:
"... тоже сойдётся в одной точке ("антиподе" точки $O$), но полный оборот в точке схождения будет не меньше, а больше чем $2\pi$..."

Подчеркнутое означает, что в точке схождения - профицит угла - и по определению, в данной точке кривизна будет отрицательна (для длин $C(r)$ и площадей $A(r)$ стягивающихся геодезических окружностей радиусом r и с центром в этой точке, пределы $2\pi r - C(r)$ и $\pi r^2 - A(r)$ соответно будут оставаться отрицательными - т.е. точка центра - гиперболического типа, хотя и кривизна везде вокруг ней - существенно положительна).
Так что то что вы сказали, однозначно интерпретируется - кривизна везде существенно положительна, кроме возможно в одной (или обоих) изолированных антиподальных точек схода - в которых кривизна терпит разрыв и отрицательна.

epros в сообщении #1073931 писал(а):

Это то самое доказательство сходимости, которое Вы элегантно пропустили. Там потребуется записать диф. уравнение и исследовать его решение.

То, что диф. решение не противоречит профициту угла (метрически отрицательной кривизны) в неких изолированных точек локально - еще не значит, что оно глобально-топологически совместимо.

Например назовем "антисферой" некую гипотетическую "сфероподобную" компактную поверхность - с положительной константной кривизной $K=\text{const}>0$ везде, за исключением двух точек полюсов в которых у ней - отрицательная кривизна $K_{P} = K_{P'} < 0$ - т.е. угол полного поворота вокруг полюсов больше $2\pi$; и у которой поверхностью соответно интегральная длина геодезических окружностей с центр в полюсов бОльше чем обычной напр. $3 \pi r$. Тоесть для "антисферы" мы отождествляем точки с одинаковым геодезическим радиусом от центра и угловой полярной координатой $\theta$ отличающейся не на $2 \pi$, а на $3 \pi$.

Так вот, такая "антисфера" - глобально несогласована.
Самосогласованы только "сфероидальные" фактор-пространства константной положительной кривизны $K=\text{const}=K_0>0$ (кроме точек полюсов в которых $K_{P} = K_{P'}=K_1$, $K_1 \neq K_0$, $K_1>0$) - полный угол в вокруг полюсов у которых $\frac{2\pi}{n}$ - и как видно, у них в точек полюсов кривизна $K_1$ хотя и разрывна, остается положительной (они получаются нарезанием обычной сферы на $n$ равных долек по оси - берем поверхность одну из этих долек и отождествляем точки меридианов)

Тем не менее, любая локальная окрестность поверхность гипотетической "антисферы" - метрически/дифференциально и топологически, ничему не противоречит - чтобы показать ее несогласованность, нужны также глобальные рассуждения (например, на поведение геодезических вокруг поверхности).

Так что тут вопрос на существование/согласованность - более тонок и не так тривиален - это и все что я хотел сказать.