Автору темы, - удачи!
Не знаю, совпадают ли наши понятия об удаче.Попытка полного изложения доказательства БТФ.
Рассмотрена разность кубов с основаниями:
![$(6a+1)$ $(6a+1)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/3/e/a3e766fc77a8a5242dee37664f3e82cf82.png)
(1) и
![$(6c+1)$ $(6c+1)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/1/b/01bf435775cd292e7e77553269d9241482.png)
(1);
![$(a-1)/6=a_1$ $(a-1)/6=a_1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/d/b/9db413764530741a81f9d4b1232c318382.png)
; 1.1
![$(c-1)/6=c_1$ $(c-1)/6=c_1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/f/2/af27205a5970929634f0ae67c048af9d82.png)
; 2.1
![$[(6a+1)^3-1]/6=F_a$ $[(6a+1)^3-1]/6=F_a$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/e/b/5ebfa20b59c819d7315f0790113ab48782.png)
; 1.2
![$[(6c+1)^3-1]/6=F_c$ $[(6c+1)^3-1]/6=F_c$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/f/e/1fe413be0ceced90ef5e36041230a84e82.png)
; 2.2
![$F_c=21\cdot (c_1)+6^2\cdot(c_1^3)+18 \cdot(c_1) \cdot(c_1-1)$ $F_c=21\cdot (c_1)+6^2\cdot(c_1^3)+18 \cdot(c_1) \cdot(c_1-1)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/b/3/7b3219cb2a339a85d6d8316c7554584182.png)
; 2.3
![$F_a=21\cdot( a_1)+6^2\cdot(a_1^3)+18 \cdot(a_1) \cdot(a_1-1)$ $F_a=21\cdot( a_1)+6^2\cdot(a_1^3)+18 \cdot(a_1) \cdot(a_1-1)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/6/e/96efe4db1e67ac3c6f07fdd045f25ed382.png)
; 1.3
Определена разность между 2.3 и 1.3:
![$$R=21\cdot (c_1-a_1)+6^2\cdot (c_1^3-a_1^3)+18\cdot (c_1^2-c_1-a_1^2+a_1)=
21\cdot (c_1-a_1)+6^2\cdot (c_1-a_1) \cdot[(c_1^2)+c_1\cdot(a_1)+a_1^2]+
18\cdot (c_1^2-c_1-a_1^2+a_1)$$ $$R=21\cdot (c_1-a_1)+6^2\cdot (c_1^3-a_1^3)+18\cdot (c_1^2-c_1-a_1^2+a_1)=
21\cdot (c_1-a_1)+6^2\cdot (c_1-a_1) \cdot[(c_1^2)+c_1\cdot(a_1)+a_1^2]+
18\cdot (c_1^2-c_1-a_1^2+a_1)$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/9/8/d9803f02100c9cd76a6716f6a90beb0182.png)
; 3.0
После деления каждого сомножителя на
![$(c_1-a_1) \cdot3$ $(c_1-a_1) \cdot3$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/a/a/eaadda3b8923ecf5951abc1f21c818a682.png)
. 3.1, имеем:
Получаем предполагаемый точный куб:
![$b_x^3=7\cdot1+12\cdot[c_1^2+c_1\cdot(a_1)+a_1^2]+6\cdot(c_1+a_1-1)$ $b_x^3=7\cdot1+12\cdot[c_1^2+c_1\cdot(a_1)+a_1^2]+6\cdot(c_1+a_1-1)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/6/6/a6683365c221bfad1e6dc7f20878365182.png)
; 3.2
Откуда, за вычетом 1 и деления на 6 получаю:
![$F_1=1+2\cdot[c_1^2+c_1\cdot(a_1)+a_1^2]+(c_1+a_1-1)$ $F_1=1+2\cdot[c_1^2+c_1\cdot(a_1)+a_1^2]+(c_1+a_1-1)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/f/0/3f0b38596bddc3b7c577b70a24ba655e82.png)
; 3.3
B тут противоречие, структурное, с выражениями 2.3 и 1.3
Чтобы выражение 3.3 делилось на
![$3$ $3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/c/5dc642f297e291cfdde8982599601d7e82.png)
необходимо, чтобы величина
![$(c_1+a_1)$ $(c_1+a_1)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/2/4/c2472a827d193328594ee77475e6a77c82.png)
относилась к первому классу вычетов, при этом необходимо, чтобы либо
![$c_1$ $c_1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/8/8/988584bba6844388f07ea45b7132f61c82.png)
, либо
![$a_1$ $a_1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/e/8/8e830a5ab471143f1bb80e525c09bbaa82.png)
относились к данному классу вычетов.
Представляя куб:
![$m^3=(6\cdot m_1+1)^3=6^3\cdot(m_1^3)+6^2\cdot(m_1^2)+6(m_1)+1$ $m^3=(6\cdot m_1+1)^3=6^3\cdot(m_1^3)+6^2\cdot(m_1^2)+6(m_1)+1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/5/1/651be8256f83e9139dc619e2ec32063f82.png)
; 4.1
Имеем:
![$m^3=6^3\cdot(m_1^3)+108\cdot(m_1^2)+ 18\cdot (m_1)+1$ $m^3=6^3\cdot(m_1^3)+108\cdot(m_1^2)+ 18\cdot (m_1)+1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/f/2/8f273643c816e6cda9f0bd2ea2ff6fce82.png)
; 4.2
Формула 4.2 позволяет видеть закономерность деления степени на
![$m_1$ $m_1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/4/2/0429e3dd940669f4c728ca27fe91530182.png)
с использованием корректировки вычитанием единицы.
![$F_m=6^2\cdot(m_1^3)+18\cdot(m_1^2)+ 3\cdot (m_1)$ $F_m=6^2\cdot(m_1^3)+18\cdot(m_1^2)+ 3\cdot (m_1)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/a/5/2a51cb2d1cc057801b85e09aaa4e936482.png)
; 4.2.1
![$F_{2m}=F_m/3\cdot (m_1)=12\cdot(m_1^2)+6\cdot(m_1)+ 1$ $F_{2m}=F_m/3\cdot (m_1)=12\cdot(m_1^2)+6\cdot(m_1)+ 1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/8/c/68c8c9521b136efd5b90372f6a9ba7a182.png)
; 4.2.2
![$F_{3m}=F_{2m}/6\cdot (m_1)=2\cdot(m_1)+ 1$ $F_{3m}=F_{2m}/6\cdot (m_1)=2\cdot(m_1)+ 1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/4/1/c413e909837de91ade58bfedcb2717e382.png)
; 4.2.3
![$F_{4m}=F_{3m}-(m_1)=2\cdot{m_1}$ $F_{4m}=F_{3m}-(m_1)=2\cdot{m_1}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/0/1/80164dc189fd95bfc1e94294f868d50a82.png)
; 4.2.3
Таким же образом, можем определять делимость разности между выражениями 2.3 и 1.3 на основании выражения 4.2 – 4.2.3.
![$c^3=6^3\cdot(c_1^3)+108\cdot(c_1^2)+ 18\cdot (c_1)+1$ $c^3=6^3\cdot(c_1^3)+108\cdot(c_1^2)+ 18\cdot (c_1)+1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/c/3eceae0156e8e0ed1eb62ca1b4bc584c82.png)
; 4.2.a
![$a^3=6^3\cdot(a_1^3)+108\cdot(a_1^2)+ 18\cdot (a_1)+1$ $a^3=6^3\cdot(a_1^3)+108\cdot(a_1^2)+ 18\cdot (a_1)+1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/2/7/a27a69be4534ffb3d011a2dea4e7c9c582.png)
; 4.2.b
![$c^3-a^3=6^3\cdot(c_1^3-a_1^3)+108\cdot(c_1^2-a_1^2)+ 18\cdot (c_1-a_1)$ $c^3-a^3=6^3\cdot(c_1^3-a_1^3)+108\cdot(c_1^2-a_1^2)+ 18\cdot (c_1-a_1)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/0/3/a03f90ecd073efa1f24268d88d93fa0c82.png)
; 5.1
Откуда:
![$b^3=6^3\cdot(c_1^3-a_1^3)+108\cdot(c_1^2-a_1^2)+ 18\cdot (c_1-a_1)$ $b^3=6^3\cdot(c_1^3-a_1^3)+108\cdot(c_1^2-a_1^2)+ 18\cdot (c_1-a_1)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/e/c/1ec9b4f5ba2487f092bb3f2a2532889082.png)
; 5.1
После деления каждого слагаемого выражения 5.1на
![$6\cdot 3\cdot (c_1-a_1)$ $6\cdot 3\cdot (c_1-a_1)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/e/a/cea0e10667e6ee5ecc67f4729189f73582.png)
, получаем:
![$b_x^3=12\cdot[c_1^2+c_1\cdot (a_1)+a_1^2]+6\cdot(c_1+a_1)+ 1$ $b_x^3=12\cdot[c_1^2+c_1\cdot (a_1)+a_1^2]+6\cdot(c_1+a_1)+ 1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/2/c/72cd1145f89166bc8a0a16977934e46482.png)
; 5.2
Вычитаем единицу и делим остаток на
![$6$ $6$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/2/7/327c36301dc71617dc7032f8ce30b23682.png)
:
![$F_1=2\cdot[c_1^2+c_1\cdot (a_1)+a_1^2]+(c_1+a_1)$ $F_1=2\cdot[c_1^2+c_1\cdot (a_1)+a_1^2]+(c_1+a_1)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/3/1/13116ee6389e4bef89fb6e29176731c082.png)
; 5.2
Сравнение с:
![$F_m=6^2\cdot(m_1^3)+18\cdot(m_1^2)+ 3\cdot (m_1)$ $F_m=6^2\cdot(m_1^3)+18\cdot(m_1^2)+ 3\cdot (m_1)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/a/5/2a51cb2d1cc057801b85e09aaa4e936482.png)
; 4.2.1
и
![$$F_1=1+2\cdot[c_1^2+c_1\cdot(a_1)+a_1^2]+(c_1+a_1-1)=
(c_1+a_1)^2+(c_1^2+a_1^2)+(c_1+a_1)$$ $$F_1=1+2\cdot[c_1^2+c_1\cdot(a_1)+a_1^2]+(c_1+a_1-1)=
(c_1+a_1)^2+(c_1^2+a_1^2)+(c_1+a_1)$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/3/f/93fcdaa92ad60b15ba97dd256c3a814582.png)
; 3.3
Сравнение позволяет установить, что сомножители, присутствующие в слагаемых не могут быть общими сомножителями выражения, кроме сомножителей
![$2$ $2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/c/76c5792347bb90ef71cfbace628572cf82.png)
и
![$3$ $3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/c/5dc642f297e291cfdde8982599601d7e82.png)
.
На основании выражения:
![$F_1=1+2\cdot[c_1^2+c_1\cdot(a_1)+a_1^2]+(c_1+a_1-1)$ $F_1=1+2\cdot[c_1^2+c_1\cdot(a_1)+a_1^2]+(c_1+a_1-1)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/f/0/3f0b38596bddc3b7c577b70a24ba655e82.png)
; (1.2)
очевидно, что для того, чтобы величина
![$F_1$ $F_1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/4/2144c3c4436ef35026e895fed8fd671f82.png)
содержала сомножитель
![$3$ $3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/c/5dc642f297e291cfdde8982599601d7e82.png)
, что является обязательным условием для величины
![$F_m$ $F_m$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/d/a/1da74420643db3db21b5ca496085cf9282.png)
, необходимо, чтобы величина
![$(c_1+a_1)$ $(c_1+a_1)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/2/4/c2472a827d193328594ee77475e6a77c82.png)
принадлежала первому классу вычетов по модулю
![$3$ $3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/c/5dc642f297e291cfdde8982599601d7e82.png)
.
При этом
![$a_1$ $a_1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/e/8/8e830a5ab471143f1bb80e525c09bbaa82.png)
, и
![$c_1$ $c_1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/8/8/988584bba6844388f07ea45b7132f61c82.png)
не могут принадлежать ко второму классу вычетов, как к единому классу вычетов, так как в этом случае, во втором слагаемом выражения:
![$b_x^3=7\cdot1+12\cdot[c_1^2+c_1\cdot(a_1)+a_1^2]+6\cdot(c_1+a_1-1)$ $b_x^3=7\cdot1+12\cdot[c_1^2+c_1\cdot(a_1)+a_1^2]+6\cdot(c_1+a_1-1)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/6/6/a6683365c221bfad1e6dc7f20878365182.png)
; (1.1)
возникают, дополнительно, сомножители
![$3$ $3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/c/5dc642f297e291cfdde8982599601d7e82.png)
, что тоже, не обеспечивает наличия сомножителя
![$3$ $3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/c/5dc642f297e291cfdde8982599601d7e82.png)
в сумме.
Как известно,
![$(c-a)$ $(c-a)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/1/0/e104e244c23f2bdfa6eb923ad455f4fe82.png)
содержит сомножитель
![$6$ $6$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/2/7/327c36301dc71617dc7032f8ce30b23682.png)
(10).
И поэтому нам не удаётся обеспечить выполнение этого условия.
К какому классу вычетов относится
![$a_1$ $a_1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/e/8/8e830a5ab471143f1bb80e525c09bbaa82.png)
, к такому же классу вычетов относится и
![$c_1$ $c_1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/8/8/988584bba6844388f07ea45b7132f61c82.png)
при выполнении условия (10). Вот и всё доказательство.
Знакомясь с книгой Г.Эдвардса «Последняя теорема Ферма» я понял, что именно этот вариант, а именно, когда
![$(c-a)$ $(c-a)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/1/0/e104e244c23f2bdfa6eb923ad455f4fe82.png)
содержит сомножитель
![$2n$ $2n$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/7/c/47c124971e1327d1d3882a141f95face82.png)
, требует доказательства.
Подобное рассмотрение может быть выполнено для любой степени.
Итак, каждый предполагаемый куб может быть рассмотрен как сомножитель разности кубов с основаниями, принадлежащими к первому классу вычетов по модулю
![$2n$ $2n$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/7/c/47c124971e1327d1d3882a141f95face82.png)
.
Как для точного куба, так и для предполагаемого величина
![$F$ $F$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/8/b/b8bc815b5e9d5177af01fd4d3d3c2f1082.png)
, в которой наличие сомножителя
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
является обязательным условием при подтверждении цело численности основания куба, может быть представлена как сумма трёх слагаемых.
Независимо от принадлежности к классам вычетов по модулю
![$2n$ $2n$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/7/c/47c124971e1327d1d3882a141f95face82.png)
величин
![$c_1$ $c_1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/8/8/988584bba6844388f07ea45b7132f61c82.png)
и
![$a_1$ $a_1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/e/8/8e830a5ab471143f1bb80e525c09bbaa82.png)
, при рассмотрении разности кубов, обязательное условие выполнено быть не может, что свидетельствует о справедливости утверждения БТФ для куба, что и требовалось доказать.
Для любой степени (показатель степени – простое число).
Условие -достаточное для доказательства.
Основания:
![$(a=2\cdot\ndot a_1+1)$ $(a=2\cdot\ndot a_1+1)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/6/d/d6db7698a4429cd76050215480675f3382.png)
(1) и
![$c=(2\cdotn \cdot c_1+1)$ $c=(2\cdotn \cdot c_1+1)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/2/b/f2b0dccb680e96346fcc689a035c6a8882.png)
(2);
Для общего случая основание степени
![$m$ $m$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/5/0e51a2dede42189d77627c4d742822c382.png)
.
Количество величин
![$2\cdotn$ $2\cdotn$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/1/2/912ae444cda3fea16d1283f3e2611b9982.png)
в
![$F_m$ $F_m$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/d/a/1da74420643db3db21b5ca496085cf9282.png)
всегда делится на
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
и
![$m_1$ $m_1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/4/2/0429e3dd940669f4c728ca27fe91530182.png)
, при этом, обязательно выбираются все сомножители
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
и
![$m_1$ $m_1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/4/2/0429e3dd940669f4c728ca27fe91530182.png)
.
Что очевидно на примере пятой степени:
![$$m^5=10^5\cdot(m_1^5)+ 5\cdot (10^4)\cdot(m_1^4)+ 10\cdot (10^3)\cdot(m_1^3)+ 10\cdot (10^2)\cdot(m_1^2)+ 5\cdot (10)\cdot(m_1)+1$$ $$m^5=10^5\cdot(m_1^5)+ 5\cdot (10^4)\cdot(m_1^4)+ 10\cdot (10^3)\cdot(m_1^3)+ 10\cdot (10^2)\cdot(m_1^2)+ 5\cdot (10)\cdot(m_1)+1$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/f/3/5f3343c1be8acaf1824a16e458333ba482.png)
; 3.1
Определяем:
![$$F_c=10^4\cdot(c_1^5)+ 5\cdot (10^3)\cdot(c_1^4)+ 10\cdot (10^2)\cdot(c_1^3)+ 10\cdot (10^1)\cdot(c_1^2)+ 5\cdot(c_1)$$ $$F_c=10^4\cdot(c_1^5)+ 5\cdot (10^3)\cdot(c_1^4)+ 10\cdot (10^2)\cdot(c_1^3)+ 10\cdot (10^1)\cdot(c_1^2)+ 5\cdot(c_1)$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/a/c/aac791ac9302280377ac5ddc27009e0082.png)
; 4.1
![$$F_a=10^4\cdot(a_1^5)+ 5\cdot (10^3)\cdot(a_1^4)+ 10\cdot (10^2)\cdot(a_1^3)+ 10\cdot (10^1)\cdot(a_1^2)+ 5\cdot(a_1)$$ $$F_a=10^4\cdot(a_1^5)+ 5\cdot (10^3)\cdot(a_1^4)+ 10\cdot (10^2)\cdot(a_1^3)+ 10\cdot (10^1)\cdot(a_1^2)+ 5\cdot(a_1)$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/3/f93cb769caefa44994eb0e9cd915f32882.png)
; 4.2
Разность этих величин:
![$$(F_c-F_a)=10^4\cdot(c_1^5-a_1^5)+ 5\cdot (10^3)\cdot(c_1^4-a_1^4)+ 10\cdot (10^2)\cdot(c_1^3-a_1^3)+ 10\cdot (10^1)\cdot(c_1^2-a_1^2)+ 5\cdot(c_1-a_1)$$ $$(F_c-F_a)=10^4\cdot(c_1^5-a_1^5)+ 5\cdot (10^3)\cdot(c_1^4-a_1^4)+ 10\cdot (10^2)\cdot(c_1^3-a_1^3)+ 10\cdot (10^1)\cdot(c_1^2-a_1^2)+ 5\cdot(c_1-a_1)$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/b/a/1bacb3924cae02a797a9e966f205980e82.png)
; 5.1
Выражения 4.1, 4.2 и 5.1 дают возможность построения лестницы делимости на сомножители
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
и
![$m_1$ $m_1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/4/2/0429e3dd940669f4c728ca27fe91530182.png)
с поэтапной корректировкой получаемых частных после каждого этапа деления.
Но основной формулой для анализа остаётся:
![$F_m=K_n\cdot(m_1) +2\cdotn^{n-1}\cdot(m_1^{n})+Q$ $F_m=K_n\cdot(m_1) +2\cdotn^{n-1}\cdot(m_1^{n})+Q$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/9/9/c997635c03f6d514e7c4ceb566a3dc7182.png)
; 6.1, где:
![$K_n$ $K_n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/6/b/96b697078d351b7b43bd5b5dce0254cd82.png)
- контрольная величина для степени
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
.
![$Q$ $Q$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/a/f/1afcdb0f704394b16fe85fb40c45ca7a82.png)
- третье слагаемое.
Остальные обозначения традиционные.
Для пятой степени
![$K_n$ $K_n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/6/b/96b697078d351b7b43bd5b5dce0254cd82.png)
равно 61051.
При вычислении
![$F_1$ $F_1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/4/2144c3c4436ef35026e895fed8fd671f82.png)
для предполагаемой пятой степени каждое слагаемое , делим на
![$(c_1-a_1) \cdot(n)$ $(c_1-a_1) \cdot(n)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/0/5/e057a98478f321763dc607da8653315882.png)
.
Это приводит к тому, что первое слагаемое в частном от деления, независимо от рассматриваемой разности степеней, остаётся неизменной.
После вычитания из этой величины единицы, остаток относится к нулевому классу вычетов по модулю
![$2n$ $2n$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/7/c/47c124971e1327d1d3882a141f95face82.png)
, что обеспечивает вновь деление каждого слагаемого на
![$2n$ $2n$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/7/c/47c124971e1327d1d3882a141f95face82.png)
.
В результате этого деления определяется величина
![$F_1$ $F_1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/4/2144c3c4436ef35026e895fed8fd671f82.png)
.
И эта величина, должна делится на
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
.
Что очевидно, при рассмотрении степени вида
![$(2n+1)^n$ $(2n+1)^n$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/7/6/07683f5e8c63056425740795a8d5e19682.png)
.
![$$c^5=(10c_1)^5=10^5\cdot(c_1)^5+5\cdot(10^4)\cdot(c_1)^4+10\cdot(10^3)\cdot(c_1^3)+
10\cdot(10^2) \cdot(c_1^2)+5\cdot(10) \cdot(c_1)+1$$ $$c^5=(10c_1)^5=10^5\cdot(c_1)^5+5\cdot(10^4)\cdot(c_1)^4+10\cdot(10^3)\cdot(c_1^3)+
10\cdot(10^2) \cdot(c_1^2)+5\cdot(10) \cdot(c_1)+1$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/9/2/29256b61efa256d1c8418e78ddd5115f82.png)
; 6.1
![$$a^5=(10a_1)^5=10^5\cdot(a_1)^5+5\cdot(10^4)\cdot(a_1)^4+10\cdot(10^3)\cdot(a_1^3)+
10\cdot(10^2) \cdot(a_1^2)+5\cdot(10) \cdot(a_1)+1$$ $$a^5=(10a_1)^5=10^5\cdot(a_1)^5+5\cdot(10^4)\cdot(a_1)^4+10\cdot(10^3)\cdot(a_1^3)+
10\cdot(10^2) \cdot(a_1^2)+5\cdot(10) \cdot(a_1)+1$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/c/e/fcec8f6cbc1743fbe83bb496cf058bf782.png)
; 6.2
![$$F_c=10^4\cdot(c_1)^5+5\cdot(10^3)\cdot(c_1)^4+10\cdot(10^2)\cdot(c_1^3)+
10\cdot(10^1) \cdot(c_1^2)+5\cdot(c_1)$$ $$F_c=10^4\cdot(c_1)^5+5\cdot(10^3)\cdot(c_1)^4+10\cdot(10^2)\cdot(c_1^3)+
10\cdot(10^1) \cdot(c_1^2)+5\cdot(c_1)$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/f/0/3f0cdceb9e35314e0a038c2e6e342a5882.png)
; 6.3
![$$F_a=10^4\cdot(a_1)^5+5\cdot(10^3)\cdot(a_1)^4+10\cdot(10^2)\cdot(a_1^3)+
10\cdot(10^1) \cdot(a_1^2)+5\cdot(a_1)$$ $$F_a=10^4\cdot(a_1)^5+5\cdot(10^3)\cdot(a_1)^4+10\cdot(10^2)\cdot(a_1^3)+
10\cdot(10^1) \cdot(a_1^2)+5\cdot(a_1)$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/0/b/50b8e26df9172a0263f223af0d356e2282.png)
; 6.4
![$$(F_c-F_a)=10^4\cdot[(c_1)^5-(a_1)^5]+5\cdot(10^3)\cdot[(c_1)^4-(a_1)^4]+10\cdot(10^2)\cdot[(c_1^3)-(a_1^3)]+
10\cdot(10^1)\cdot[(c_1^2)-(a_1^2)]+5\cdot[(c_1)-(a_1)]$$ $$(F_c-F_a)=10^4\cdot[(c_1)^5-(a_1)^5]+5\cdot(10^3)\cdot[(c_1)^4-(a_1)^4]+10\cdot(10^2)\cdot[(c_1^3)-(a_1^3)]+
10\cdot(10^1)\cdot[(c_1^2)-(a_1^2)]+5\cdot[(c_1)-(a_1)]$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/9/1/c919d824d048d96deb8b4cbcf8d9452082.png)
; 6.5
![$$b_x^5=
2\cdot (10^3)\cdot[c_1^4+c_1^3\cdot(a_1)+c_1^2\cdot(a_1^2)+c_1\cdot(a_1^3)+a_1^4]+
10^3(c_1+a_1)(c_1^2+a_1^2)+2\cdot(10^2) \cdot[c_1^2+c_1\cdot(a_1)+a_1^2]+
2\cdot(10) \cdot(c_1+a_1)+1$$ $$b_x^5=
2\cdot (10^3)\cdot[c_1^4+c_1^3\cdot(a_1)+c_1^2\cdot(a_1^2)+c_1\cdot(a_1^3)+a_1^4]+
10^3(c_1+a_1)(c_1^2+a_1^2)+2\cdot(10^2) \cdot[c_1^2+c_1\cdot(a_1)+a_1^2]+
2\cdot(10) \cdot(c_1+a_1)+1$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/0/4/4046daf3cc2562c92036134c28588bc882.png)
; 6.6
![$$F_1=
2\cdot (10^2)\cdot[c_1^4+c_1^3\cdot(a_1)+c_1^2\cdot(a_1^2)+c_1\cdot(a_1^3)+a_1^4]+
10^2(c_1+a_1)(c_1^2+a_1^2)+2\cdot(10) \cdot[c_1^2+c_1\cdot(a_1)+a_1^2]+
2\cdot(c_1+a_1)$$ $$F_1=
2\cdot (10^2)\cdot[c_1^4+c_1^3\cdot(a_1)+c_1^2\cdot(a_1^2)+c_1\cdot(a_1^3)+a_1^4]+
10^2(c_1+a_1)(c_1^2+a_1^2)+2\cdot(10) \cdot[c_1^2+c_1\cdot(a_1)+a_1^2]+
2\cdot(c_1+a_1)$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/3/5/13508f0b029b5ecb1e0d0a27c49cbf1182.png)
; 6.7
![$F$ $F$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/8/b/b8bc815b5e9d5177af01fd4d3d3c2f1082.png)
имеет в своём составе сомножители
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
и
![$m_1$ $m_1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/4/2/0429e3dd940669f4c728ca27fe91530182.png)
в первой степени.
Второе слагаемое:
![$[2\cdot(n)]^{n-1}\cdot(m_1^n)$ $[2\cdot(n)]^{n-1}\cdot(m_1^n)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/5/b/05b52b45e8524e6d1a50277bb390a12182.png)
.
Поэтому, начиная с пятой степени, делимость без остатка как
![$F_m$ $F_m$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/d/a/1da74420643db3db21b5ca496085cf9282.png)
, так и
![$F_c-F_a$ на $n$ и $m_1$ зависит от наполнения этими сомножителями первого и третьего слагаемых.
Поэтому, для того, чтобы было обеспечено деление без остатка [math]$F_1$ $F_c-F_a$ на $n$ и $m_1$ зависит от наполнения этими сомножителями первого и третьего слагаемых.
Поэтому, для того, чтобы было обеспечено деление без остатка [math]$F_1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/4/4f4476b557a9f6a924d339e843169e0282.png)
на
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
, необходимо, чтобы первое и третье слагаемые принадлежали к дополняющим классам вычетов по модулю
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
.
При этом, как показано в 6.1÷6.7, и
![$c_1$ $c_1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/8/8/988584bba6844388f07ea45b7132f61c82.png)
и
![$a_1$ $a_1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/e/8/8e830a5ab471143f1bb80e525c09bbaa82.png)
также должны принадлежать к дополняющим классам вычетов по модулю
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
, чтобы сумма
![$(c_1+a_1)$ $(c_1+a_1)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/2/4/c2472a827d193328594ee77475e6a77c82.png)
принадлежала к нулевому классу вычетов, для возможности выполнения условия делимости
![$F_1$ $F_1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/4/2144c3c4436ef35026e895fed8fd671f82.png)
на
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
без остатка, которое невыполнимо.
Следует заметить, что делимость величины
![$F_1$ $F_1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/4/2144c3c4436ef35026e895fed8fd671f82.png)
на
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
обеспечивается, когда и
![$c_1$ $c_1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/8/8/988584bba6844388f07ea45b7132f61c82.png)
, и
![$a_1$ $a_1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/e/8/8e830a5ab471143f1bb80e525c09bbaa82.png)
содержат сомножители
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
.
Для устранения этой неопределённости удобно использовать дополнительный сомножитель для оснований
![$c$ $c$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/1/3e18a4a28fdee1744e5e3f79d13b9ff682.png)
и
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
, по аналогии перевода степеней с основаниями, не принадлежащими к первому классу вычетов по модулю
![$2n$ $2n$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/7/c/47c124971e1327d1d3882a141f95face82.png)
к степеням, принадлежащим к классу вычетов, используемых в доказательстве.
Итак, каждая предполагаемая степень может быть рассмотрена как сомножитель разности степеней с основаниями, принадлежащими к первому классу вычетов по модулю
![$2n$ $2n$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/7/c/47c124971e1327d1d3882a141f95face82.png)
.
Как для точной степени, так и для предполагаемой степени, величина
![$F$ $F$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/8/b/b8bc815b5e9d5177af01fd4d3d3c2f1082.png)
, в которой наличие сомножителя
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
является обязательным условием при подтверждении цело численности основания куба, может быть представлена как сумма трёх слагаемых.
Начиная с пятой степени, величина
![$F_1$ $F_1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/4/2144c3c4436ef35026e895fed8fd671f82.png)
, представленная тремя слагаемыми, в первом и третьем слагаемых, в результате деления
![$(F_c-F_a)$ $(F_c-F_a)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/2/3/623d5b8b29acd8cd4b831f5e28a5281682.png)
на
![$n\cdot(c_1-a_1)$ $n\cdot(c_1-a_1)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/1/7/b1709b5889895030d7c3b2e74415b96d82.png)
не может содержать сомножителей
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
, при этом, второе слагаемое содержит эти сомножители обязательно.
То есть, первое и третье слагаемые, должны относиться к классам вычетов, дополняющих друг друга до нулевого класса вычетов, что невыполнимо, что свидетельствует о справедливости утверждения БТФ для любой степени, что и требовалось доказать.
Старался не ошибаться.
Если не будет расстрела, изложение может совершенствоваться.
В крайнем случае, надежда на это у меня сохраняется.