Автору темы, - удачи!
Не знаю, совпадают ли наши понятия об удаче.Попытка полного изложения доказательства БТФ.
Рассмотрена разность кубов с основаниями:

(1) и

(1);

; 1.1

; 2.1
![$[(6a+1)^3-1]/6=F_a$ $[(6a+1)^3-1]/6=F_a$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/e/b/5ebfa20b59c819d7315f0790113ab48782.png)
; 1.2
![$[(6c+1)^3-1]/6=F_c$ $[(6c+1)^3-1]/6=F_c$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/f/e/1fe413be0ceced90ef5e36041230a84e82.png)
; 2.2

; 2.3

; 1.3
Определена разность между 2.3 и 1.3:
![$$R=21\cdot (c_1-a_1)+6^2\cdot (c_1^3-a_1^3)+18\cdot (c_1^2-c_1-a_1^2+a_1)=
21\cdot (c_1-a_1)+6^2\cdot (c_1-a_1) \cdot[(c_1^2)+c_1\cdot(a_1)+a_1^2]+
18\cdot (c_1^2-c_1-a_1^2+a_1)$$ $$R=21\cdot (c_1-a_1)+6^2\cdot (c_1^3-a_1^3)+18\cdot (c_1^2-c_1-a_1^2+a_1)=
21\cdot (c_1-a_1)+6^2\cdot (c_1-a_1) \cdot[(c_1^2)+c_1\cdot(a_1)+a_1^2]+
18\cdot (c_1^2-c_1-a_1^2+a_1)$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/9/8/d9803f02100c9cd76a6716f6a90beb0182.png)
; 3.0
После деления каждого сомножителя на

. 3.1, имеем:
Получаем предполагаемый точный куб:
![$b_x^3=7\cdot1+12\cdot[c_1^2+c_1\cdot(a_1)+a_1^2]+6\cdot(c_1+a_1-1)$ $b_x^3=7\cdot1+12\cdot[c_1^2+c_1\cdot(a_1)+a_1^2]+6\cdot(c_1+a_1-1)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/6/6/a6683365c221bfad1e6dc7f20878365182.png)
; 3.2
Откуда, за вычетом 1 и деления на 6 получаю:
![$F_1=1+2\cdot[c_1^2+c_1\cdot(a_1)+a_1^2]+(c_1+a_1-1)$ $F_1=1+2\cdot[c_1^2+c_1\cdot(a_1)+a_1^2]+(c_1+a_1-1)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/f/0/3f0b38596bddc3b7c577b70a24ba655e82.png)
; 3.3
B тут противоречие, структурное, с выражениями 2.3 и 1.3
Чтобы выражение 3.3 делилось на

необходимо, чтобы величина

относилась к первому классу вычетов, при этом необходимо, чтобы либо

, либо

относились к данному классу вычетов.
Представляя куб:

; 4.1
Имеем:

; 4.2
Формула 4.2 позволяет видеть закономерность деления степени на

с использованием корректировки вычитанием единицы.

; 4.2.1

; 4.2.2

; 4.2.3

; 4.2.3
Таким же образом, можем определять делимость разности между выражениями 2.3 и 1.3 на основании выражения 4.2 – 4.2.3.

; 4.2.a

; 4.2.b

; 5.1
Откуда:

; 5.1
После деления каждого слагаемого выражения 5.1на

, получаем:
![$b_x^3=12\cdot[c_1^2+c_1\cdot (a_1)+a_1^2]+6\cdot(c_1+a_1)+ 1$ $b_x^3=12\cdot[c_1^2+c_1\cdot (a_1)+a_1^2]+6\cdot(c_1+a_1)+ 1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/2/c/72cd1145f89166bc8a0a16977934e46482.png)
; 5.2
Вычитаем единицу и делим остаток на

:
![$F_1=2\cdot[c_1^2+c_1\cdot (a_1)+a_1^2]+(c_1+a_1)$ $F_1=2\cdot[c_1^2+c_1\cdot (a_1)+a_1^2]+(c_1+a_1)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/3/1/13116ee6389e4bef89fb6e29176731c082.png)
; 5.2
Сравнение с:

; 4.2.1
и
![$$F_1=1+2\cdot[c_1^2+c_1\cdot(a_1)+a_1^2]+(c_1+a_1-1)=
(c_1+a_1)^2+(c_1^2+a_1^2)+(c_1+a_1)$$ $$F_1=1+2\cdot[c_1^2+c_1\cdot(a_1)+a_1^2]+(c_1+a_1-1)=
(c_1+a_1)^2+(c_1^2+a_1^2)+(c_1+a_1)$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/3/f/93fcdaa92ad60b15ba97dd256c3a814582.png)
; 3.3
Сравнение позволяет установить, что сомножители, присутствующие в слагаемых не могут быть общими сомножителями выражения, кроме сомножителей

и

.
На основании выражения:
![$F_1=1+2\cdot[c_1^2+c_1\cdot(a_1)+a_1^2]+(c_1+a_1-1)$ $F_1=1+2\cdot[c_1^2+c_1\cdot(a_1)+a_1^2]+(c_1+a_1-1)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/f/0/3f0b38596bddc3b7c577b70a24ba655e82.png)
; (1.2)
очевидно, что для того, чтобы величина

содержала сомножитель

, что является обязательным условием для величины

, необходимо, чтобы величина

принадлежала первому классу вычетов по модулю

.
При этом

, и

не могут принадлежать ко второму классу вычетов, как к единому классу вычетов, так как в этом случае, во втором слагаемом выражения:
![$b_x^3=7\cdot1+12\cdot[c_1^2+c_1\cdot(a_1)+a_1^2]+6\cdot(c_1+a_1-1)$ $b_x^3=7\cdot1+12\cdot[c_1^2+c_1\cdot(a_1)+a_1^2]+6\cdot(c_1+a_1-1)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/6/6/a6683365c221bfad1e6dc7f20878365182.png)
; (1.1)
возникают, дополнительно, сомножители

, что тоже, не обеспечивает наличия сомножителя

в сумме.
Как известно,

содержит сомножитель

(10).
И поэтому нам не удаётся обеспечить выполнение этого условия.
К какому классу вычетов относится

, к такому же классу вычетов относится и

при выполнении условия (10). Вот и всё доказательство.
Знакомясь с книгой Г.Эдвардса «Последняя теорема Ферма» я понял, что именно этот вариант, а именно, когда

содержит сомножитель

, требует доказательства.
Подобное рассмотрение может быть выполнено для любой степени.
Итак, каждый предполагаемый куб может быть рассмотрен как сомножитель разности кубов с основаниями, принадлежащими к первому классу вычетов по модулю

.
Как для точного куба, так и для предполагаемого величина

, в которой наличие сомножителя

является обязательным условием при подтверждении цело численности основания куба, может быть представлена как сумма трёх слагаемых.
Независимо от принадлежности к классам вычетов по модулю

величин

и

, при рассмотрении разности кубов, обязательное условие выполнено быть не может, что свидетельствует о справедливости утверждения БТФ для куба, что и требовалось доказать.
Для любой степени (показатель степени – простое число).
Условие -достаточное для доказательства.
Основания:

(1) и

(2);
Для общего случая основание степени

.
Количество величин

в

всегда делится на

и

, при этом, обязательно выбираются все сомножители

и

.
Что очевидно на примере пятой степени:

; 3.1
Определяем:

; 4.1

; 4.2
Разность этих величин:

; 5.1
Выражения 4.1, 4.2 и 5.1 дают возможность построения лестницы делимости на сомножители

и

с поэтапной корректировкой получаемых частных после каждого этапа деления.
Но основной формулой для анализа остаётся:

; 6.1, где:

- контрольная величина для степени

.

- третье слагаемое.
Остальные обозначения традиционные.
Для пятой степени

равно 61051.
При вычислении

для предполагаемой пятой степени каждое слагаемое , делим на

.
Это приводит к тому, что первое слагаемое в частном от деления, независимо от рассматриваемой разности степеней, остаётся неизменной.
После вычитания из этой величины единицы, остаток относится к нулевому классу вычетов по модулю

, что обеспечивает вновь деление каждого слагаемого на

.
В результате этого деления определяется величина

.
И эта величина, должна делится на

.
Что очевидно, при рассмотрении степени вида

.

; 6.1

; 6.2

; 6.3

; 6.4
![$$(F_c-F_a)=10^4\cdot[(c_1)^5-(a_1)^5]+5\cdot(10^3)\cdot[(c_1)^4-(a_1)^4]+10\cdot(10^2)\cdot[(c_1^3)-(a_1^3)]+
10\cdot(10^1)\cdot[(c_1^2)-(a_1^2)]+5\cdot[(c_1)-(a_1)]$$ $$(F_c-F_a)=10^4\cdot[(c_1)^5-(a_1)^5]+5\cdot(10^3)\cdot[(c_1)^4-(a_1)^4]+10\cdot(10^2)\cdot[(c_1^3)-(a_1^3)]+
10\cdot(10^1)\cdot[(c_1^2)-(a_1^2)]+5\cdot[(c_1)-(a_1)]$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/9/1/c919d824d048d96deb8b4cbcf8d9452082.png)
; 6.5
![$$b_x^5=
2\cdot (10^3)\cdot[c_1^4+c_1^3\cdot(a_1)+c_1^2\cdot(a_1^2)+c_1\cdot(a_1^3)+a_1^4]+
10^3(c_1+a_1)(c_1^2+a_1^2)+2\cdot(10^2) \cdot[c_1^2+c_1\cdot(a_1)+a_1^2]+
2\cdot(10) \cdot(c_1+a_1)+1$$ $$b_x^5=
2\cdot (10^3)\cdot[c_1^4+c_1^3\cdot(a_1)+c_1^2\cdot(a_1^2)+c_1\cdot(a_1^3)+a_1^4]+
10^3(c_1+a_1)(c_1^2+a_1^2)+2\cdot(10^2) \cdot[c_1^2+c_1\cdot(a_1)+a_1^2]+
2\cdot(10) \cdot(c_1+a_1)+1$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/0/4/4046daf3cc2562c92036134c28588bc882.png)
; 6.6
![$$F_1=
2\cdot (10^2)\cdot[c_1^4+c_1^3\cdot(a_1)+c_1^2\cdot(a_1^2)+c_1\cdot(a_1^3)+a_1^4]+
10^2(c_1+a_1)(c_1^2+a_1^2)+2\cdot(10) \cdot[c_1^2+c_1\cdot(a_1)+a_1^2]+
2\cdot(c_1+a_1)$$ $$F_1=
2\cdot (10^2)\cdot[c_1^4+c_1^3\cdot(a_1)+c_1^2\cdot(a_1^2)+c_1\cdot(a_1^3)+a_1^4]+
10^2(c_1+a_1)(c_1^2+a_1^2)+2\cdot(10) \cdot[c_1^2+c_1\cdot(a_1)+a_1^2]+
2\cdot(c_1+a_1)$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/3/5/13508f0b029b5ecb1e0d0a27c49cbf1182.png)
; 6.7

имеет в своём составе сомножители

и

в первой степени.
Второе слагаемое:
![$[2\cdot(n)]^{n-1}\cdot(m_1^n)$ $[2\cdot(n)]^{n-1}\cdot(m_1^n)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/5/b/05b52b45e8524e6d1a50277bb390a12182.png)
.
Поэтому, начиная с пятой степени, делимость без остатка как

, так и
![$F_c-F_a$ на $n$ и $m_1$ зависит от наполнения этими сомножителями первого и третьего слагаемых.
Поэтому, для того, чтобы было обеспечено деление без остатка [math]$F_1$ $F_c-F_a$ на $n$ и $m_1$ зависит от наполнения этими сомножителями первого и третьего слагаемых.
Поэтому, для того, чтобы было обеспечено деление без остатка [math]$F_1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/4/4f4476b557a9f6a924d339e843169e0282.png)
на

, необходимо, чтобы первое и третье слагаемые принадлежали к дополняющим классам вычетов по модулю

.
При этом, как показано в 6.1÷6.7, и

и

также должны принадлежать к дополняющим классам вычетов по модулю

, чтобы сумма

принадлежала к нулевому классу вычетов, для возможности выполнения условия делимости

на

без остатка, которое невыполнимо.
Следует заметить, что делимость величины

на

обеспечивается, когда и

, и

содержат сомножители

.
Для устранения этой неопределённости удобно использовать дополнительный сомножитель для оснований

и

, по аналогии перевода степеней с основаниями, не принадлежащими к первому классу вычетов по модулю

к степеням, принадлежащим к классу вычетов, используемых в доказательстве.
Итак, каждая предполагаемая степень может быть рассмотрена как сомножитель разности степеней с основаниями, принадлежащими к первому классу вычетов по модулю

.
Как для точной степени, так и для предполагаемой степени, величина

, в которой наличие сомножителя

является обязательным условием при подтверждении цело численности основания куба, может быть представлена как сумма трёх слагаемых.
Начиная с пятой степени, величина

, представленная тремя слагаемыми, в первом и третьем слагаемых, в результате деления

на

не может содержать сомножителей

, при этом, второе слагаемое содержит эти сомножители обязательно.
То есть, первое и третье слагаемые, должны относиться к классам вычетов, дополняющих друг друга до нулевого класса вычетов, что невыполнимо, что свидетельствует о справедливости утверждения БТФ для любой степени, что и требовалось доказать.
Старался не ошибаться.
Если не будет расстрела, изложение может совершенствоваться.
В крайнем случае, надежда на это у меня сохраняется.