То, что по тензорному произведению однозначно восстанавливаются сомножители (с точностью до скалярного множителя) как раз очевидно. Вы даже не пытались понять, что я сказал.
Ваш оператор

определен только на разложимых элементах вида

. О линейности говорить бессмысленно, поскольку даже область определения оператора не является линейным пространством. Более того, линейности нет даже по первому аргументу:

никак не связано с

и

; если вы попытаетесь "постулировать" эту линейность, то сразу же возникнут противоречия, подобные тому, что я описал, поскольку фазовые множители при

и

можно выбирать отдельно и независимо.
Т. е. этот

— это просто отображение, определенное на очень большом множестве векторов тензорного произведения (настолько большом, что для существования этого

нужно применить аксиому выбора), и у каждого из них есть произвол в виде выбора фазы. Не вижу никаких причин называть это отображение оператором и тем более ожидать, что оно будет вести себя хоть как-то похоже на то, как ведут себя операторы в КМ.